Gravità esercitata verso il centro di massa?
Ciao a tutti! Il campo gravitazionale esercitato in un punto $\mathbf{y}$ da un insieme di particelle di massa $m_i$ e posizione $\mathbf{x}_i$ è $$\sum_i\frac{Gm_i}{\|\mathbf{x}_i-\mathbf{y}\|^3}(\mathbf{x}_i-\mathbf{y}).$$
Ora, intuitivamente avrei immaginato che tale campo fosse diretto lungo la congiungente $\mathbf{y}$ e il centro di massa $\mathbf{x}_c$ dell'insieme di particelle, cioè che avesse la direzione, e il verso, del vettore$$\mathbf{x}_c-\mathbf{y}=\left(\frac{1}{\sum_i m_i}\sum_i m_i\mathbf{x}_i\right)-\mathbf{y}$$tuttavia $$\sum_i\frac{Gm_i}{\|\mathbf{x}_i-\mathbf{y}\|^3}(\mathbf{x}_i-\mathbf{y})=G\left(\sum_i\frac{m_i}{\|\mathbf{x}_i-\mathbf{y}\|^3}\mathbf{x}_i-\sum_i\frac{m_i}{\|\mathbf{x}_i-\mathbf{y}\|^3}\mathbf{y}\right)$$ma \(\frac{\sum_i\frac{m_i\mathbf{x}_i}{\|\mathbf{x}_i-\mathbf{y}\|^3}}{\sum_i\frac{m_i}{\|\mathbf{x}_i-\mathbf{y}\|^3}}\) non mi sembra lo stesso di \(\frac{1}{\sum_i m_i}\sum_i m_i\mathbf{x}_i\).
È sbagliata la mia intuizione iniziale?
Grazie a tutti!!!
Ora, intuitivamente avrei immaginato che tale campo fosse diretto lungo la congiungente $\mathbf{y}$ e il centro di massa $\mathbf{x}_c$ dell'insieme di particelle, cioè che avesse la direzione, e il verso, del vettore$$\mathbf{x}_c-\mathbf{y}=\left(\frac{1}{\sum_i m_i}\sum_i m_i\mathbf{x}_i\right)-\mathbf{y}$$tuttavia $$\sum_i\frac{Gm_i}{\|\mathbf{x}_i-\mathbf{y}\|^3}(\mathbf{x}_i-\mathbf{y})=G\left(\sum_i\frac{m_i}{\|\mathbf{x}_i-\mathbf{y}\|^3}\mathbf{x}_i-\sum_i\frac{m_i}{\|\mathbf{x}_i-\mathbf{y}\|^3}\mathbf{y}\right)$$ma \(\frac{\sum_i\frac{m_i\mathbf{x}_i}{\|\mathbf{x}_i-\mathbf{y}\|^3}}{\sum_i\frac{m_i}{\|\mathbf{x}_i-\mathbf{y}\|^3}}\) non mi sembra lo stesso di \(\frac{1}{\sum_i m_i}\sum_i m_i\mathbf{x}_i\).
È sbagliata la mia intuizione iniziale?
Grazie a tutti!!!
Risposte
Di sicuro ti posso dire che un corpo NON esercita la sua azione gravitazionale come se tutta la sua massa fosse nel centro di massa (pensa al caso di un anello, il CM sta nel centro, vuoto, e ovviamente il campo gravitazionale dell'anello non tende all'infinito avvicinandosi al centro, ma semmai a zero).
Questo succede solo con i corpi a simmetria sferica (salvo ricordarsi del teorema di Gauss, se ti venisse in mente di usare sfere CAVE)
Sulla direzione non saprei, meglio sentire i guru del calcolo vettoriale.
Questo succede solo con i corpi a simmetria sferica (salvo ricordarsi del teorema di Gauss, se ti venisse in mente di usare sfere CAVE)
Sulla direzione non saprei, meglio sentire i guru del calcolo vettoriale.
E' ovviamente sbagliata. Hai fatto un po' di teoria dei momenti e dei sistemi di vettori? Nel tuo caso il sistema di vettori formato da tutte quelle forze gravitazionali è un sistema "generico" senza alcuna proprietà particolare, non esiste quindi un punto privilegiato in cui può essere applicata la risultante dei vettori senza creare un "momento di trasporto".
Nel caso di vettori paralleli invece esiste una bella proprietà:
Un sistema di vettori paralleli è equivalente alla risultante applicata sul cosiddetto "centro C del sistema di vettori, o baricentro", definito come: $C-O=sum(v_i(P_i-O))/(sumv_i)$
Se si considera la forza di gravità esercitata dalla terra su un sistema di punti in prossimità della superficie, allora si può considerare tali forze parallele tra loro e con $g$ costante, si ha quindi:
$C-O=sum(m_ig(P_i-O))/(summ_ig)=sum(m_i(P_i-O))/(summ_i)=G-O$
Ossia nel caso della attrazione gravitazionale tra la terra e un corpo in prossimità di essa, il sistema di vettori delle forze peso è equivalente alla risultante applicata nel centro di vettori C (o baricentro), che coincide (SOLO in questo caso) con il centro di massa G del sistema. In tutti gli altri casi non è assolutamente vero che la risultante delle attrazioni gravitazionali è applicata nel centro di massa ( a parte casi di estrema simmetria come nel caso di corpo sferici)
Nel caso di vettori paralleli invece esiste una bella proprietà:
Un sistema di vettori paralleli è equivalente alla risultante applicata sul cosiddetto "centro C del sistema di vettori, o baricentro", definito come: $C-O=sum(v_i(P_i-O))/(sumv_i)$
Se si considera la forza di gravità esercitata dalla terra su un sistema di punti in prossimità della superficie, allora si può considerare tali forze parallele tra loro e con $g$ costante, si ha quindi:
$C-O=sum(m_ig(P_i-O))/(summ_ig)=sum(m_i(P_i-O))/(summ_i)=G-O$
Ossia nel caso della attrazione gravitazionale tra la terra e un corpo in prossimità di essa, il sistema di vettori delle forze peso è equivalente alla risultante applicata nel centro di vettori C (o baricentro), che coincide (SOLO in questo caso) con il centro di massa G del sistema. In tutti gli altri casi non è assolutamente vero che la risultante delle attrazioni gravitazionali è applicata nel centro di massa ( a parte casi di estrema simmetria come nel caso di corpo sferici)
Grazie a tutti!!!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo