Gittata di un cannone

[giuscri]

Un cannone giocattolo è appoggiato al pavimento di una grande stanza il cui soffitto si trova ad altezza $H$. Si determini una espressione analitica della distanza massima $D$ a cui è possibile sparare i proiettili di questo cannone senza colpire il soffitto, in funzione della velocità a cui vengono sparati.
Suggerimento: al di sotto di una certa velocità di sparo la presenza del soffitto non influenza il moto, e quindi nemmeno la gittata massima. Trovare il valore della velocità "critica"; al di sopra di questa velocità, il soffitto limita il valore di $D$. Trovare, in questo caso, $D(H)$; calcolare di quanto viene diminuito il valore di $D$ nel caso in cui si ha $v_0 = 20 [m/s]$ e $H = 5 [m]$.

Ecco come mi verrebbe di risolverlo: il valore massimo di gittata ce l'ho quando il rapporto le due componenti della velocità con cui viene lanciato il "proietto" (che termine antico... ) sono in rapporto $1:1$ ; i.e. se appoggiata per terra, la canna formerà un angolo $\alpha = pi/4$ con un asse parallelo al suolo.

Fissato l'angolo, l'idea è di trovare l'espressione della traiettoria, cercarne il picco e imporre qualche condizione di modo che questo non superi $H$.

Valgono le solite equazioni:

$x(t) = v_0 * cos(\alpha) * t$
$y(t) = v_0 * sin(\alpha) * t - 1/2 * g* t^2$

Dunque:

$t = x / (v_0 * cos(\alpha))$

allora

$y(x) = -g/(v_0)^2 * x^2 + x$

il cui picco sarà individuato da:

$x_v = (v_0) ^ 2 / (2g)$

$y_v = y(x_v) = (v_0)^2 / 4g$

A me interessa che valga $y_v <= H$.Troverò che questa condizione vale quando $v_0 <= sqrt(4gH)$.

Questa dovrebbe essere quella che il testo dell'esercizio chiama "velocità critica", no?

Ora, c'è una dipendenza fra $D$ e $H$ ?
Sì, per velocità superiori a quella critica. Perché, in "generale", se la mia traiettoria è

$y(x) = -g/(v_0)^2 * x^2 + x$

allora la sua gittata sarà a

$D = (v_0)^2 / g$

(via $y(x) = 0$).

Ma se $v_0 > v_("critica")$, allora vale la seguente cosa:

$D = ((v_0)^2 / g) <= (sqrt(4gH) / g) = sqrt(4H/g)$

Cioé: la presenza del soffitto limita superiormente il valore della gittata.

Prendendo i dati numerici proposti dal testo, se la $v_0 = 20 [m/s]$ e se $H = 5 [m]$, so che il valore di $v_0$ è superiore alla velocità critica per quel soffitto (che è di $14 [m/s]$). Dunque la massima gittata che potrò ottenere il limite superiore di $D(H) = sqrt(4H/g)$, cioé di $1.43 [m]$.

Cosa sto sbagliando?

Grazie! E scusate per com'è scritto il messaggio -veramente pietoso.

[giuscri]

Up

[Sk_Anonymous]

Premetto che ho fatto una fatica tremenda a seguire il tuo scritto, in verità un po' contorto...ma alla fine ce l'ho fatta,penso.
Mettiamo dei punti fermi. La traiettoria nel moto di un proiettile è parabolica. Trovando l'eq. cartesiana della parabola (il che si fa eliminando $t$ ) , e imponendo che la gittata sia max, si trova che la gittata max corrisponde ad un angolo di lancio (angolo che la tangente nell'origine forma con l'asse $x$) pari a $45º$ , di tangente trigonometrica $1$.
Perciò , d'ora in avanti, ragioniamo su parabole che hanno questo angolo di lancio di $45º$.

Sempre che questa sia l'interpretazione giusta del problema...dopo ti darò un'altra interpretazione, che forse è quella corretta.

Stabilito che l'angolo di lancio è sempre $45º$, sia la gittata max $D$ che l'altezza max $H$ sono funzioni della sola velocità iniziale, essendo ogni gittata max legata alla altezza max dall'equazione della parabola.
Essendo $D = v_0^2/g$ , ed essendo l'equazione della parabola (angolo di lancio $45º$!) data da : $ y = x - x^2/D$ , si ricava $H$ ponendo : $x = D/2$, e si trova : $ H = v_0^2/(4g) $ .
Perciò la "velocità critica" richiesta, essendo nota la $H$, è uguale a : $ v_(cr) = sqrt(4gH)$ . Quindi il tuo risultato è giusto.

Per $H = 5m$ risulta una "velocità critica" di $14m/s$. Con questa velocità potresti lanciare il proiettile a $D = 19.98 m$
Ma tu hai una velocità di $20 m/s$ pertanto il "proietto" ( perché ti fa ridere? ....A me....mi fa sghignazzare! Neanche D'Annunzio diceva proietto... e allora io dico " a me...mi...") urterebbe il soffitto.

Ma forse il tuo problema chiede un'altra cosa, però il testo non è per nulla chiaro. Vediamo.

Forse chiede: visto che con una velocità iniziale di $20m/s$ non posso sparare a $45º$ perché urto il soffitto, a quanto devo abbassare l'angolo di sparo, perché il proietto, ferma restando la velocità di $20 m/s$, descriva una parabola che nel suo punto più alto sia alta $5m$ ? E quanto è, in questo caso, la gittata ?

Ecco, prova a ragionare su questo, e proponi dei calcoli. Si tratta di scrivere l'eq della parabola con un angolo $\alpha$ di lancio generico, e ricavare la gittata e la $y_(max)$, con il valore fissato di $v_0$ . Poi imporre che tale quota max, cioè l'ordinata del vertice, sia uguale a $5m$.

[giuscri]

Moto parabolico: composizione di due moti. Sia $\barv_(0)$ il vettore velocità con cui viene lanciato il proietto. Siano $v_x$ e $v_y$ le sue due componenti rispettivamente relative all'asse $x$ e all'asse $y$. Si ha:

$v_x = |\barv_(0)| cos\alpha * t$

$v_y = |\barv_(0)| sin\alpha * t - 1/2 g t^2$

$-> t = x / (|\barv_0| cos\alpha)$

$-> y(x) = tan\alpha - 1/2 gx^2 / (v_0^2 * cos\alpha)$

Senza limite del soffitto. Per avere gittata massima tengo $\alpha = \pi / 4$. Cioé:

$y(x) = x - g/v_0^2 * x^2$

Da qui con i tradizionali argomenti sulle coniche estraggo le coordinate del vertice. Trovo:

$y_v = v_0^2 / (4g)$.

Per trovare informazione sulla velocità critica cerco il valore per cui $y_v = y_v(v_0)$ valga esattamente H. Allora:

$y_v = H$
$-> v_0^2 / (4g) = H$

trovando:

$v_"critica" := v_0 = 2sqrt(gH)$.

Ora, se intendo bene il tuo ragionamento, mi chiedo: fissata una $\barv_0$, in che modo varia la gittata al variare dell'altezza del soffitto H?

Anche qui cerco le coordinate del vertice, questa volta in funzione di $\alpha$ -dato che $v_0$ è un parametro esterno del sistema. Quindi:

$x_v = v_0^2 / g sin\alpha cos\alpha$

$-> y_v = (v_0^2 / 2g) * (sin\alpha)^2$

A me interessa estrarre informazioni su $\alpha$, via

$y_v <= H$, cioé:

$v_0^2 (sin\alpha)^2 / (2g) <= H$

$->(sin\alpha)^2 <= 2gH / (v_0^2)$

$-> sin\alpha <= sqrt(2gH) / (v_0)$

Trovo che:

$\alpha <= \alpha' := arcsin(sqrt(2gH) / v_0)$

Qualche osservazione di mezzo:

$\alpha' = \alpha' (v_0)$

Quando $v_0 == v_"critica"$ si trova che

$\alpha' = \pi / 4$

i.e. si possono tirare conclusioni abbastanza convincenti per il momento!

Ad ogni modo: il valore della gittata $D$ è legato all'angolo $\alpha$, dato che:

$D = (v_0^2 / g) * sin2\alpha$

Quindi: $D = D(\alpha) = D(\alpha(H))$.

Esempio numerico: sia $v_0 = 20 m/s$.

$D_"senza soffitto" = (v_0^2 / g) * sin (2 * \pi / 4) = 40.82 m$

Se vi è il soffitto:

$\alpha' = arcsin (sqrt(2g * 5 / 20)) = 0.52 rad$, invece di $\alpha_"max D se non v'è soffitto, a parità di velocità" = \pi / 4 = 0.78rad$.

$-> D_"con soffitto" = v_0^2 / g * sin(2* 0.52) = 35.2 m$

come ci volevamo aspettare.

$\deltaD = 5.62 m$

Non se ho seguito bene quello che volevi dirmi. Voglio riguardarmelo comunque. Intanto, se vuoi darmi qualche suggerimento (anche mortificante! ) io leggo.

[Sk_Anonymous]

Giuscri, la prima parte fino alla velocità critica è la ripetizione di quello che avevi già scritto, ma non importa, repetita iuvant.
La seconda idea di soluzione che ti ho proposto è, per farla breve, questa: abbiamo un'altezza di $5m$ che limita la possibilità di alzare il cannone non più di un certo angolo $\alpha$ , visto che abbiamo una data velocità iniziale ( modulo).
Per trovare quest'angolo, scriviamo l'equazione della parabola, stavolta senza cercare quella con $\alpha = 45º$, e imponiamo che la ordinata del vertice sia non superiore all'altezza data del soffitto.

L'equazione risulta : $ y = x*tg\alpha -1/2g*x^2/(v_0^2*cos^2\alpha) $ ---------(1)

( hai mancato la $x$ al 1º termine del secondo membro).

LA gittata risulta : $ D = v_0^2/g*sen2\alpha$ -----------(2)

PErcio mettendo nella (1) la $x$ uguale a metà di D ( data dalla (2) ) si trova la quota del vertice che si pone uguale a $5m$.
Si ha: $ y_(max) = (v_0^2sen^2\alpha)/(2g)$---------(3)

Ponendo in questa $y_(max) = H = 5m$ e $v_0 = 20m/s$ , si trova : $ sen\alpha = 0.495227$ , da cui : $ \alpha = 29.68º$

E sostituendo nella (2) si trova : $ D = 35.08 m $

Se invece avessi potuto alzare il canone a $45º$, avresti avuto : $ D = 40.77m$

In sostanza, hai fatto bene! . Sempre che questa sia l'interpretazione giusta da dare al testo, poco chiaro.