Giroscopio e momento angolare
Ultimamente mi sono imbattuto nel classico fenomeno del giroscopio che se appeso per un'estremità invece di cadere si mantiene orizzontale e ruota (per esempio http://www.youtube.com/watch?v=8H98BgRzpOM)... ho cercato in giro spiegazioni esaurienti di questo fenomeno, ma ciò che sono riuscito a capire meglio è che la spiegazione è a dir poco ostica.
Le spiegazioni più verosimili (e da fonti più affidabili) sono quello che fanno notare come la presenza della forza di gravità applicata al centro di massa del giroscopio generi un momento meccanico, che porta ad una variazione del momento angolare con conseguente effetto sul giroscopio. Ho parecchi problemi con questa spiegazione: dal punto di vista matematico, ovvero delle formule della dinamica dei sistemi, è palese che non possa non essere così, perché il cadere del giroscopio comporterebbe una consistente variazione di momento angolare senza un corrispondente momento meccanico, ma...
1) dal punto di vista energetico, da dove proviene l'energia necessaria per far girare il giroscopio attorno al perno? In condizioni ideali da quel che ho capito la situazione è di equilibrio con il giroscopio che non scende mai e gira eternamente, dunque da dove prende l'energia necessaria per girare? Bisogna allora presumere che anche in condizioni ideali il centro di massa scenda di un poco in modo da prendere dalla gravità la necessaria energia per la nuova rotazione?
2) il fatto che il giroscopio giri attorno al perno, non significa forse che è presente una velocità angolare in direzione verticale (verso l'alto o il basso a seconda del verso di rotazione del giroscopio attorno al suo asse)? Ma se è presente una velocità angolare, questo non corrisponde alla presenza di un momento angolare verticale attorno all'asse verticale passante per il perno? Ma questo non è possibile perché per generarlo sarebbe necessario un momento meccanico, che però dovrebbe andare a modificare il già presente momento angolare facendo alzare il giroscopio... cosa ovviamente assurda.
Dove sbaglio??
Grazie
Le spiegazioni più verosimili (e da fonti più affidabili) sono quello che fanno notare come la presenza della forza di gravità applicata al centro di massa del giroscopio generi un momento meccanico, che porta ad una variazione del momento angolare con conseguente effetto sul giroscopio. Ho parecchi problemi con questa spiegazione: dal punto di vista matematico, ovvero delle formule della dinamica dei sistemi, è palese che non possa non essere così, perché il cadere del giroscopio comporterebbe una consistente variazione di momento angolare senza un corrispondente momento meccanico, ma...
1) dal punto di vista energetico, da dove proviene l'energia necessaria per far girare il giroscopio attorno al perno? In condizioni ideali da quel che ho capito la situazione è di equilibrio con il giroscopio che non scende mai e gira eternamente, dunque da dove prende l'energia necessaria per girare? Bisogna allora presumere che anche in condizioni ideali il centro di massa scenda di un poco in modo da prendere dalla gravità la necessaria energia per la nuova rotazione?
2) il fatto che il giroscopio giri attorno al perno, non significa forse che è presente una velocità angolare in direzione verticale (verso l'alto o il basso a seconda del verso di rotazione del giroscopio attorno al suo asse)? Ma se è presente una velocità angolare, questo non corrisponde alla presenza di un momento angolare verticale attorno all'asse verticale passante per il perno? Ma questo non è possibile perché per generarlo sarebbe necessario un momento meccanico, che però dovrebbe andare a modificare il già presente momento angolare facendo alzare il giroscopio... cosa ovviamente assurda.
Dove sbaglio??
Grazie
Risposte
Per la domanda 2 hai fatto una considerazione più che lecita, ma considera anche che la velocità angolare di precessione è quasi trascurabile rispetto alla velocità di rotazione della ruota intorno al suo asse, quando osservi il fenomeno. In realtà sono inversamente proporzionali. In ogni caso ti accorgi anche tu del fatto che quando la ruota rallenta il giroscopio inizia ad andare su e giù (questo proprio perchè il momento angolare perpendicolare alla ruota cambia direzione in quanto è influenzato anche dall'altra velocità angolare che hai osservato.)
Per la domanda uno invece è un po' lungo da spiegare, comunque ci sono diverse discussioni molto dettagliate a riguardo, prova a cercare in questa sezione!
Per la domanda uno invece è un po' lungo da spiegare, comunque ci sono diverse discussioni molto dettagliate a riguardo, prova a cercare in questa sezione!
"Pdirac":
Ultimamente mi sono imbattuto nel classico fenomeno del giroscopio che se appeso per un'estremità invece di cadere si mantiene orizzontale e ruota (per esempio http://www.youtube.com/watch?v=8H98BgRzpOM)... ho cercato in giro spiegazioni esaurienti di questo fenomeno, ma ciò che sono riuscito a capire meglio è che la spiegazione è a dir poco ostica.
Hai ragione, in genere è spiegato in modo penoso facendo uso della matematica in modo brutale e asettico.
Le spiegazioni più verosimili (e da fonti più affidabili) sono quello che fanno notare come la presenza della forza di gravità applicata al centro di massa del giroscopio generi un momento meccanico, che porta ad una variazione del momento angolare con conseguente effetto sul giroscopio.
Si, ma solo se il giroscopio è imperniato lungo l'asse di rotazione, come si vede nelle dimostrazioni dei giroscopi giocattolo.
Se il giroscopio viene lasciato cadere senza vincoli, cade come ogni altro oggetto.
Ho parecchi problemi con questa spiegazione: dal punto di vista matematico, ovvero delle formule della dinamica dei sistemi, è palese che non possa non essere così, perché il cadere del giroscopio comporterebbe una consistente variazione di momento angolare senza un corrispondente momento meccanico, ma...
1) dal punto di vista energetico, da dove proviene l'energia necessaria per far girare il giroscopio attorno al perno? In condizioni ideali da quel che ho capito la situazione è di equilibrio con il giroscopio che non scende mai e gira eternamente, dunque da dove prende l'energia necessaria per girare? Bisogna allora presumere che anche in condizioni ideali il centro di massa scenda di un poco in modo da prendere dalla gravità la necessaria energia per la nuova rotazione?
Si hai ragione. Il giroscopio, quando viene lasciato libero sul perno, scende un poco di quota. Se la sua velocità angolare è alta, la perdita di quota è impercettibile. Se la sua velocità non è alta, allora si nota il caratteristico movimento detto nutazione. In realtà la nutazione c'è sempre, ma se il giroscopio ruota velocemente, non si nota. Credo che in pratica, in questo caso la nutazione scompaia per effetto degli attriti, ossia sia come una oscillazione smorzata.
2) il fatto che il giroscopio giri attorno al perno, non significa forse che è presente una velocità angolare in direzione verticale (verso l'alto o il basso a seconda del verso di rotazione del giroscopio attorno al suo asse)? Ma se è presente una velocità angolare, questo non corrisponde alla presenza di un momento angolare verticale attorno all'asse verticale passante per il perno? Ma questo non è possibile perché per generarlo sarebbe necessario un momento meccanico, che però dovrebbe andare a modificare il già presente momento angolare facendo alzare il giroscopio... cosa ovviamente assurda.
Dove sbaglio??
Non sono sicuro di aver capito i tuoi dubbi, comunque:
l'asse di rotazione è uno e uno solo. Se il giroscopio è sottoposta a una coppia di forze (come il giroscopio giocattolo su un perno), allora inizia il movimento di precessione. Ma la precessione non è un momento angolare, è appunto la precessione, che modifica continuamente l'asse di rotazione cioè la direzione del momento angolare.
La precessione del giroscopio imperniato crea una coppia che si oppone alla coppia generata dalla forza di gravità sul baricentro e dalla reazione del perno, sul perno. Le due coppie si annullano e il giroscopio non "cade giù".
Non dovresti pensare alla rotazione lungo l'asse z come un momento angolare. Il vero e unico momento angolare del giroscopio è quello che avrebbe in un dato istante se su di esso cessasse ogni forza esterna.
Forse non ho capito i tuoi dubbi.
Grazie
Non dovresti pensare alla rotazione lungo l'asse z come un momento angolare. Il vero e unico momento angolare del giroscopio è quello che avrebbe in un dato istante se su di esso cessasse ogni forza esterna.
Ok, ma perché? Voglio dire, se considero il giroscopio abbastanza pesante rispetto a filo perno e compagnia il centro di massa è ragionevolmente nel suo centro. Durante la precessione il centro di massa ruota attorno al perno, con conseguente velocità angolare, perché questo moto rotatorio è diverso da quello "solito", ad esempio del disco attorno al suo asse, tanto da non essere correlato ad alcun momento angolare?
Dal punto di vista poi matematico, tramite le leggi della dinamica dei sistemi, posso arrivare a comprendere la ragione del comportamento del giroscopio, ciò che però non mi va giù, è il fatto che tali leggi derivano dall'applicazione della legge di Newton più qualche definizione, dunque in linea di principio, almeno dal punto di vista qualitativo, ad essa si dovrebbe poter ricondurre il comportamento del sistema: utilizzando il solo concetto di forza e di accelerazione... è da questo punto di vista che proprio non riesco a figurarmi da dove esca fuori la forza che tiene su il giroscopio; è davvero un sistema troppo complesso per essere compreso, anche solo qualitativamente, da questo punto di vista?
Io la metterei in termini di seconda equazione della dinamica: forza è variazione della quantità di moto. La versione angolare è: momento della forza è variazione del momento angolare.
Quando gira molto velocemente il giroscopio ha un grande momento angolare attorno all'asse giroscopico, il momento della forza peso invece è sempre quello. Quindi la variazione del momento angolare che essa induce è sempre la stessa, e se il momento angolare iniziale è grande, essa finisce col risultare trascurabile.
Però questa, naturalmente, è una interpretazione così, da fesso. Così facendo non ti spieghi un sacco di cose. E poi non sono neanche sicurissimo che sia corretto, ti dico la verità!
Quando gira molto velocemente il giroscopio ha un grande momento angolare attorno all'asse giroscopico, il momento della forza peso invece è sempre quello. Quindi la variazione del momento angolare che essa induce è sempre la stessa, e se il momento angolare iniziale è grande, essa finisce col risultare trascurabile.
Però questa, naturalmente, è una interpretazione così, da fesso. Così facendo non ti spieghi un sacco di cose. E poi non sono neanche sicurissimo che sia corretto, ti dico la verità!
Caro Pdirac, mi pare di capire che non ti bastano le equazioni, ma vorresti “vedere” intuitivamente il motivo per cui una trottola incernierata a un suo estremo, posta in rotazione in posizione orizzontale e ruotante anche con una velocità angolare di precessione non casca giù, dico bene?
Insomma ti piacerebbe capire, ragionando in termini proprio elementari, quale momento la sostiene contrastando il momento della forza peso, è così?
Allora provo a proporti qualche ragionamento (invero poco ortodosso che forse nessun professore ti farebbe mai, ma forse più intuitivo), e vediamo se ti convince.
La trottola sia costituita da un disco pesante e sottile in forte rotazione attorno a un asse ortogonale, che poi è incernierato a un estremo su un supporto fisso.
Consideriamo due punti materiali facenti pare della periferia del disco e in posizioni diametralmente opposte. In un certo istante questi punti siano il primo esattamente al punto superiore e il secondo al punto inferiore di questo disco (che è verticale poiché ruota attorno a un asse orizzontale).
Se consideriamo la velocità angolare alla quale ruotano i due punti, notiamo però che non si tratta della semplice $\omega_g$ di rotazione del giroscopio, ma della somma vettoriale di questa più la $\omega_p$ di precessione, che supponiamo piccola rispetto alla precedente. La somma vettoriale delle due è una $\omega_t$ totale che non è posta esattamente orizzontalmente, ma è un po’ inclinata, diciamo di un piccolo angolo $\alpha$ rispetto all’orizzontale. Allora i due punti materiali si muovono con velocità istantanee ortogonali a questa $\omega_t$.
Se consideriamo le forze centrifughe con le quali questi due punti materiali “tirano” il disco, si vede pertanto che queste essendo ortogonali alla $\omega_t$ (che è inclinata di angolo $\alpha$ rispetto all’asse del disco), non sono esattamente l’una sul prolungamento dell’altra ma formano una coppia.
Questa coppia di forze agenti sul disco e causate dalle due forze centrifughe disassate di cui sopra è proprio il momento che si oppone al momento esercitato dalla gravità e che quindi tende a sostenere il disco.
Facendo lo stesso ragionamento su tutti i punti materiali di cui è costituito il disco si vede che la coppia totale risultante dalle forze centrifughe disassate a causa della rotazione di precessione contrasta il momento della forza peso, e il disco si “sostiene”.
Insomma è il moto di precessione che sostiene la trottola.
Ovviamente questo è un ragionamento a regime, perché la domanda a monte potrebbe essere: ma come si instaura all’inizio il moto di precessione?. La risposta va ricercata in momenti analoghi che si sviluppano inizialmente non appena si lascia libera la trottola in posizione “quasi” orizzontale, quando a causa di una lieve iniziale caduta effettua quella piccola rotazione verso il basso che sviluppa un piccolo momento iniziale responsabile dell’avviamento del moto di precessione. I ragionamenti possono essere analoghi a quanto detto sopra.
Insomma nessun mistero: tutto nasce dalle forze centrifughe e dai momenti che essi producono sul sistema trottola.
Insomma ti piacerebbe capire, ragionando in termini proprio elementari, quale momento la sostiene contrastando il momento della forza peso, è così?
Allora provo a proporti qualche ragionamento (invero poco ortodosso che forse nessun professore ti farebbe mai, ma forse più intuitivo), e vediamo se ti convince.
La trottola sia costituita da un disco pesante e sottile in forte rotazione attorno a un asse ortogonale, che poi è incernierato a un estremo su un supporto fisso.
Consideriamo due punti materiali facenti pare della periferia del disco e in posizioni diametralmente opposte. In un certo istante questi punti siano il primo esattamente al punto superiore e il secondo al punto inferiore di questo disco (che è verticale poiché ruota attorno a un asse orizzontale).
Se consideriamo la velocità angolare alla quale ruotano i due punti, notiamo però che non si tratta della semplice $\omega_g$ di rotazione del giroscopio, ma della somma vettoriale di questa più la $\omega_p$ di precessione, che supponiamo piccola rispetto alla precedente. La somma vettoriale delle due è una $\omega_t$ totale che non è posta esattamente orizzontalmente, ma è un po’ inclinata, diciamo di un piccolo angolo $\alpha$ rispetto all’orizzontale. Allora i due punti materiali si muovono con velocità istantanee ortogonali a questa $\omega_t$.
Se consideriamo le forze centrifughe con le quali questi due punti materiali “tirano” il disco, si vede pertanto che queste essendo ortogonali alla $\omega_t$ (che è inclinata di angolo $\alpha$ rispetto all’asse del disco), non sono esattamente l’una sul prolungamento dell’altra ma formano una coppia.
Questa coppia di forze agenti sul disco e causate dalle due forze centrifughe disassate di cui sopra è proprio il momento che si oppone al momento esercitato dalla gravità e che quindi tende a sostenere il disco.
Facendo lo stesso ragionamento su tutti i punti materiali di cui è costituito il disco si vede che la coppia totale risultante dalle forze centrifughe disassate a causa della rotazione di precessione contrasta il momento della forza peso, e il disco si “sostiene”.
Insomma è il moto di precessione che sostiene la trottola.
Ovviamente questo è un ragionamento a regime, perché la domanda a monte potrebbe essere: ma come si instaura all’inizio il moto di precessione?. La risposta va ricercata in momenti analoghi che si sviluppano inizialmente non appena si lascia libera la trottola in posizione “quasi” orizzontale, quando a causa di una lieve iniziale caduta effettua quella piccola rotazione verso il basso che sviluppa un piccolo momento iniziale responsabile dell’avviamento del moto di precessione. I ragionamenti possono essere analoghi a quanto detto sopra.
Insomma nessun mistero: tutto nasce dalle forze centrifughe e dai momenti che essi producono sul sistema trottola.
Bentornato Falco!
La tua spiegazione è proprio quella che piace più a me, infatti qui avevo dato una spiegazione molto simile.
In un forum di matematici però mi è parso non abbia riscosso molto successo...
tu sei stato più chiaro nella spiegazione e spero avrai maggior fortuna.
Tra l'altro ho ancora un problema in sospeso con il giroscopio in quella discussione... Questo è il mio ultimo post lì, non ho trovato però ancora il tempo di rivedere il tutto. Se tu ne avessi voglia saresti il benvenuto!
La tua spiegazione è proprio quella che piace più a me, infatti qui avevo dato una spiegazione molto simile.
In un forum di matematici però mi è parso non abbia riscosso molto successo...
tu sei stato più chiaro nella spiegazione e spero avrai maggior fortuna. Tra l'altro ho ancora un problema in sospeso con il giroscopio in quella discussione... Questo è il mio ultimo post lì, non ho trovato però ancora il tempo di rivedere il tutto. Se tu ne avessi voglia saresti il benvenuto!
"Faussone":
Bentornato Falco!
Ti ringrazio caro Faussone per la bella accoglienza. Però non sarò più presente come una volta, non ho abbastanza tempo né energie. Guardo saltuariamente il forum, mi ha spinto a rispondere in questo topic proprio questa sete che vi ho percepito di "comprendere cosa succede davvero" al di là della matematica e delle formule astratte, tipica dei ragazzi in gamba che non si contentano delle spiegazioni di maniera dei professori di scuola, ma che vogliono entrare davvero dentro la sostanza delle cose. Spirito ingegneristico in erba, direi, che io apprezzo molto.
Ricordando quanta fatica ho fatto io a suo tempo a capire sempre da solo molte cose, nonostante (o sarebbe forse meglio dire a dispetto di) certe astruse e fumose spiegazioni elargitemi dall'incapace insegnante di turno, l'idea di accendere una scintilla in una giovane mente desiderosa di capire è la mia massima aspirazione. Penso pertanto che mi contenterò d'ora in poi di intervenire in modo spot prevalentemente in casi come questo.
Tu comunque resisti mi raccomando, che sei un caposaldo sicuro per questo forum!!!!
Ciao
"Falco5x":
[quote="Faussone"]Bentornato Falco!
Ti ringrazio caro Faussone per la bella accoglienza. Però non sarò più presente come una volta, non ho abbastanza tempo né energie. Guardo saltuariamente il forum, mi ha spinto a rispondere in questo topic proprio questa sete che vi ho percepito di "comprendere cosa succede davvero" al di là della matematica e delle formule astratte, tipica dei ragazzi in gamba che non si contentano delle spiegazioni di maniera dei professori di scuola, ma che vogliono entrare davvero dentro la sostanza delle cose. Spirito ingegneristico in erba, direi, che io apprezzo molto.
Ricordando quanta fatica ho fatto io a suo tempo a capire sempre da solo molte cose, nonostante (o sarebbe forse meglio dire a dispetto di) certe astruse e fumose spiegazioni elargitemi dall'incapace insegnante di turno, l'idea di accendere una scintilla in una giovane mente desiderosa di capire è la mia massima aspirazione. Penso pertanto che mi contenterò d'ora in poi di intervenire in modo spot prevalentemente in casi come questo.
Tu comunque resisti mi raccomando, che sei un caposaldo sicuro per questo forum!!!!
Ciao
[/quote]Condivido appieno.
Mi scuso con Pdirac, perchè vorrei aggiungere altri esempi e idee che aiutino a capire (a me stesso per primo), però a causa del poco tempo, mi devo limitare più che altro a leggere i vari commenti.
Grandissima spiegazione Falco5x, complimenti! Quando intervieni qui sopra è sempre un piacere leggere quanto scrivi.
"Falco5x":
Caro Pdirac, mi pare di capire che non ti bastano le equazioni, ma vorresti “vedere” intuitivamente il motivo per cui una trottola incernierata a un suo estremo, posta in rotazione in posizione orizzontale e ruotante anche con una velocità angolare di precessione non casca giù, dico bene?
Insomma ti piacerebbe capire, ragionando in termini proprio elementari, quale momento la sostiene contrastando il momento della forza peso, è così?
Allora provo a proporti qualche ragionamento (invero poco ortodosso che forse nessun professore ti farebbe mai, ma forse più intuitivo), e vediamo se ti convince.
La trottola sia costituita da un disco pesante e sottile in forte rotazione attorno a un asse ortogonale, che poi è incernierato a un estremo su un supporto fisso.
Consideriamo due punti materiali facenti pare della periferia del disco e in posizioni diametralmente opposte. In un certo istante questi punti siano il primo esattamente al punto superiore e il secondo al punto inferiore di questo disco (che è verticale poiché ruota attorno a un asse orizzontale).
Se consideriamo la velocità angolare alla quale ruotano i due punti, notiamo però che non si tratta della semplice $\omega_g$ di rotazione del giroscopio, ma della somma vettoriale di questa più la $\omega_p$ di precessione, che supponiamo piccola rispetto alla precedente. La somma vettoriale delle due è una $\omega_t$ totale che non è posta esattamente orizzontalmente, ma è un po’ inclinata, diciamo di un piccolo angolo $\alpha$ rispetto all’orizzontale. Allora i due punti materiali si muovono con velocità istantanee ortogonali a questa $\omega_t$.
Se consideriamo le forze centrifughe con le quali questi due punti materiali “tirano” il disco, si vede pertanto che queste essendo ortogonali alla $\omega_t$ (che è inclinata di angolo $\alpha$ rispetto all’asse del disco), non sono esattamente l’una sul prolungamento dell’altra ma formano una coppia.
Questa coppia di forze agenti sul disco e causate dalle due forze centrifughe disassate di cui sopra è proprio il momento che si oppone al momento esercitato dalla gravità e che quindi tende a sostenere il disco.
Facendo lo stesso ragionamento su tutti i punti materiali di cui è costituito il disco si vede che la coppia totale risultante dalle forze centrifughe disassate a causa della rotazione di precessione contrasta il momento della forza peso, e il disco si “sostiene”.
Insomma è il moto di precessione che sostiene la trottola.
Ovviamente questo è un ragionamento a regime, perché la domanda a monte potrebbe essere: ma come si instaura all’inizio il moto di precessione?. La risposta va ricercata in momenti analoghi che si sviluppano inizialmente non appena si lascia libera la trottola in posizione “quasi” orizzontale, quando a causa di una lieve iniziale caduta effettua quella piccola rotazione verso il basso che sviluppa un piccolo momento iniziale responsabile dell’avviamento del moto di precessione. I ragionamenti possono essere analoghi a quanto detto sopra.
Insomma nessun mistero: tutto nasce dalle forze centrifughe e dai momenti che essi producono sul sistema trottola.
Veramente io non ho capito. Questa $\omega_t$ è una rotazione.
L'asse di rotazione per dove passa, per il centro del giroscopio, passa per il perno che sostiene il tutto ?
"Quinzio":
Veramente io non ho capito. Questa $\omega_t$ è una rotazione.
L'asse di rotazione per dove passa, per il centro del giroscopio, passa per il perno che sostiene il tutto ?
Non ho detto quale sia l'asse di rotazione, ho solo detto che la omega totale è la somma della omega di giroscopio e la omega di precessione, dunque ha una certa inclinazione, e tanto basta a spiegare la coppia che si genera.
Determinare l'asse istantaneo di questa rotazione non è un calcolo proprio immediato da fare, e io non intendo certo mettermi a farlo.
"Falco5x":
[quote="Quinzio"]Veramente io non ho capito. Questa $\omega_t$ è una rotazione.
L'asse di rotazione per dove passa, per il centro del giroscopio, passa per il perno che sostiene il tutto ?
Non ho detto quale sia l'asse di rotazione, ho solo detto che la omega totale è la somma della omega di giroscopio e la omega di precessione, dunque ha una certa inclinazione, e tanto basta a spiegare la coppia che si genera.
Determinare l'asse istantaneo di questa rotazione non è un calcolo proprio immediato da fare, e io non intendo certo mettermi a farlo.
[/quote]Eh, mi sta bene che non vuoi metterti a fare dei calcoli (del resto è un forum di matematica), ma il fatto è che questo asse di rotazione "leggermente inclinato" crea più dubbi di quanti ne chiarisce.
La spiegazione in se è suggestiva perchè un disco che ruota secondo un asse leggermente inclinato effettivamente è soggetto a forze centrifughe, piccole, ma seppur presenti.
Intanto però queste forze centrifughe rimangono solidali col disco, ovvero seguono la rotazione del disco, mentre nel giroscopio mentre il disco ruota la forza punta sempre in alto, o comunque sempre in una direzione, per cui la forza si "sposta" nel suo punto di applicazione nel disco.
Poi, questo asse inclinato: o esiste o non esiste.
Se esiste deve incrociare l'asse geometrico del disco in qualche punto. Ma allora immagina un giroscopio imperniato abbastanza lontano, sarebbe sottoposto a vibrazioni ampie e veloci, mentre questo non si nota mai nel movimento dei giroscopi.
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