GIOSTRA DEL CALCIO IN C**0: ANALISI DEL MOTO
Ragazzi avete presente la giostra del calcio in c**o?
Vi allego un video per tenerla presente: http://www.youtube.com/watch?v=EtrtYtZ0Gl8
Ho cercato di scrivere le equazioni, per analizzare il moto e vorrei sapere se tutto quadra:
Allora supponendo che i seggiolini durante il moto percorrano una circonferenza approssimativamente e scrivendo il secondo principio della dinamica per un seggiolino, orientando un asse(l'asse $ y $ ) diretta in maniera uguale alla tensione della corda del seggiolino, e l'asse $ x $ perpendicolare ad esso diretto verso destra le equazioni sono, indicato con $ theta $ l'angolo formato tra la forza peso $ mvec g $ e l'asse $ x $ :
$ (x) $ $ mgcostheta=m((dv)/dt) $
$ (y) $ $ T-mgsintheta=ma_n $
Avendo $ a_n=(v^2)/R $ , e introducendo il momento d'inerzia $ I_o $ dell'intero sistema rispetto all'asse di rotazione passante per il centro della giostra, posso scrivere le altre equazioni(sotto forma scalare) del moto:
$ M=Ialpha $
$ a_n=alphaR $
da cui mettendo a sistema con l'equazione lungo y, ho un sistema 3 equazioni.
Ho un dubbio. Se il sistema ha velocità costante, risulta: $ (dv)/dt=0 $ e quindi l'equazione lungo $ x $ diventa $ mgcostheta=0 $ Come è possibile?
Vi allego un video per tenerla presente: http://www.youtube.com/watch?v=EtrtYtZ0Gl8
Ho cercato di scrivere le equazioni, per analizzare il moto e vorrei sapere se tutto quadra:
Allora supponendo che i seggiolini durante il moto percorrano una circonferenza approssimativamente e scrivendo il secondo principio della dinamica per un seggiolino, orientando un asse(l'asse $ y $ ) diretta in maniera uguale alla tensione della corda del seggiolino, e l'asse $ x $ perpendicolare ad esso diretto verso destra le equazioni sono, indicato con $ theta $ l'angolo formato tra la forza peso $ mvec g $ e l'asse $ x $ :
$ (x) $ $ mgcostheta=m((dv)/dt) $
$ (y) $ $ T-mgsintheta=ma_n $
Avendo $ a_n=(v^2)/R $ , e introducendo il momento d'inerzia $ I_o $ dell'intero sistema rispetto all'asse di rotazione passante per il centro della giostra, posso scrivere le altre equazioni(sotto forma scalare) del moto:
$ M=Ialpha $
$ a_n=alphaR $
da cui mettendo a sistema con l'equazione lungo y, ho un sistema 3 equazioni.
Ho un dubbio. Se il sistema ha velocità costante, risulta: $ (dv)/dt=0 $ e quindi l'equazione lungo $ x $ diventa $ mgcostheta=0 $ Come è possibile?
Risposte
Non ho capito come hai scritto l'equazione di Newton.
Direi che potresti procedere partendo dall'equazione nella sua forma vettoriale.
$m vec a = m vec{g} + vec T$
(con $vec T$ tensione filo).
E poi scomporre in direzione verticale e orizzontale (comodo perché la traiettoria è sul piano orizzontale), rispettivamente:
$-mg + T cos theta=0$ (con $theta$ angolo con la verticale, e tenendo conto che lungo la verticale l'accelerazione è nulla).
$m a_c= T sin theta$ (lungo l'orizzontale l'accelerazione è quella centripeta $a_c$ soltanto, se assumiamo la velocità angolare della giostra costante).
Come vedi non ci sono incongruenze.
Direi che potresti procedere partendo dall'equazione nella sua forma vettoriale.
$m vec a = m vec{g} + vec T$
(con $vec T$ tensione filo).
E poi scomporre in direzione verticale e orizzontale (comodo perché la traiettoria è sul piano orizzontale), rispettivamente:
$-mg + T cos theta=0$ (con $theta$ angolo con la verticale, e tenendo conto che lungo la verticale l'accelerazione è nulla).
$m a_c= T sin theta$ (lungo l'orizzontale l'accelerazione è quella centripeta $a_c$ soltanto, se assumiamo la velocità angolare della giostra costante).
Come vedi non ci sono incongruenze.
intanto quel diretto verso destra per l'asse x vuol dire poco. quindi, dal momento in cui metti un sistema di riferimento ne va ben specificata l'orientazione...
comunque, fai ben attenzione. te sai già a priori che il moto è circolare, e quindi accelerato! la derivata del vettore velocità, $(d \vec v)/(dt)$ non verrà mai nulla, in quanto, anche se di modulo costante, cambia di direzione nel tempo...l'hai detto te c'è almeno una componente dell'accelerazione che è centripeta. se la rotazione poi non avviene con $\omega$ costante non sarà poi l'unica componente
per come come mi sono immaginato che hai preso il sistema di riferimento la velocità risulta comunque essere sempre diretta come uno degli assi. questo non però non cambia le cose
chiamando questi assi $x'$ $y'$, i loro versori saranno $\hat i'$ $\hat j'$
quando te vai a scrivere la velocità in questo nuovo sistema di riferimento, in generale, si avrà che
$\vec v = v_x \hat i' + v_y \hat j'$ (lascia perde se nel caso specifico è solo lungo una direzione, faccio vedere un caso generale)
quando vai a derivare per l'accelerazione hai che
$\vec a = (dv_x)/(dt) \hat i' + v_x (d \hat i')/(dt) + (dv_y)/(dt) \hat i' + v_y (d \hat i')/(dt)$ per la regola di derivazione di un prodotto
solo che, ha differenza di quando prendi una terna fissa, inerziale, chiamala come ti torna, le derivate dei versori sono nulle, in quanto appunto gli assi risultano nel tempo, mentre in questo caso no!
il sistema di riferimento scelto è mobile, varia la sua posizione nel tempo rispetto un riferimento fisso! le derivate quindi non sono nulle
$\hat i'$ e $\hat j'$ si potranno quindi esprimente come una funzione temporale in $\hat i$ e $\hat j$
ti faccio un esempio, la giostra che ruota con velocità angolare cost
prendi una terna fissa con asse z parallelo $\vec g$
chiamando l'asse attorno a cui la giostra gira $z'$, di versore $\hat k'$ e un asse $u$ che dal centro della terna punta sempre il seggiolino si ha che
$\hat k = \hat k'$
$\hat u = cos(\omega _0 t) \hat i + sin (\omega _0 t) \hat j$ con t = tempo. il seggiolino fa sul piano xy una circonferenza, e la funzione che ho scritto è proprio quella
se la derivi, vedi che non è nulla
spero di esser stato chiaro
EDIT:
alcune formule, correzione di discorsi, omissioni di lettere, tolte ripetizioni
comunque, fai ben attenzione. te sai già a priori che il moto è circolare, e quindi accelerato! la derivata del vettore velocità, $(d \vec v)/(dt)$ non verrà mai nulla, in quanto, anche se di modulo costante, cambia di direzione nel tempo...l'hai detto te c'è almeno una componente dell'accelerazione che è centripeta. se la rotazione poi non avviene con $\omega$ costante non sarà poi l'unica componente
per come come mi sono immaginato che hai preso il sistema di riferimento la velocità risulta comunque essere sempre diretta come uno degli assi. questo non però non cambia le cose
chiamando questi assi $x'$ $y'$, i loro versori saranno $\hat i'$ $\hat j'$
quando te vai a scrivere la velocità in questo nuovo sistema di riferimento, in generale, si avrà che
$\vec v = v_x \hat i' + v_y \hat j'$ (lascia perde se nel caso specifico è solo lungo una direzione, faccio vedere un caso generale)
quando vai a derivare per l'accelerazione hai che
$\vec a = (dv_x)/(dt) \hat i' + v_x (d \hat i')/(dt) + (dv_y)/(dt) \hat i' + v_y (d \hat i')/(dt)$ per la regola di derivazione di un prodotto
solo che, ha differenza di quando prendi una terna fissa, inerziale, chiamala come ti torna, le derivate dei versori sono nulle, in quanto appunto gli assi risultano nel tempo, mentre in questo caso no!
il sistema di riferimento scelto è mobile, varia la sua posizione nel tempo rispetto un riferimento fisso! le derivate quindi non sono nulle
$\hat i'$ e $\hat j'$ si potranno quindi esprimente come una funzione temporale in $\hat i$ e $\hat j$
ti faccio un esempio, la giostra che ruota con velocità angolare cost
prendi una terna fissa con asse z parallelo $\vec g$
chiamando l'asse attorno a cui la giostra gira $z'$, di versore $\hat k'$ e un asse $u$ che dal centro della terna punta sempre il seggiolino si ha che
$\hat k = \hat k'$
$\hat u = cos(\omega _0 t) \hat i + sin (\omega _0 t) \hat j$ con t = tempo. il seggiolino fa sul piano xy una circonferenza, e la funzione che ho scritto è proprio quella
se la derivi, vedi che non è nulla
spero di esser stato chiaro
EDIT:
alcune formule, correzione di discorsi, omissioni di lettere, tolte ripetizioni
Ciao futuroingegnere92, per cortesia riscrivi il titolo in minuscolo! (Tasto Modifica in alto a destra)
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