Gatto e topo
Per chi volesse cimentarsi in un secondo esercizio:
Nel frattempo copiando da voi sto cercando di imparare a scrivere le formule sul forum
Un gatto insegue un topo che scappa, ed en trambi si muovono con velocità in modulo costante pari a $v_g$ ed $v_t$ , rispettivamente, aventi in ogni istante stessa direzione e stesso verso. Dimostrare che indipendentemente dalla traietto-
ria il gatto raggiunge il topo soltanto se $v_g>v_t$.
Il mio ragionamento è stato il seguente
-Scompondo in un sistema di riferimento cartesiano le varie velocità istantanee:
$v_(gx)=vg*cos\theta$
$v_(tx)=vt*cos\theta$
identicamente sulle y.
Poi ho pensato che per raggiungersi dovrei avere (xg,yg)=(xt,yt)
Quindi sapendo che
$ds/dt=v => ds=v*dt$
risolvendo con l'integrazione avrei, dvoendo essere sg>st per raggiungersi
$int v_(gx)*cos\theta dt=int v_(tx)*cos\theta dt$
cioè $v_(gx)*cos\theta int dt= v_(tx)*cos\theta int dt$
da cui
$v_(gx)*cos(\theta) t>v_(tx)*cos(\theta) t$ e semplificando: $v_(gx)>v_(tx)$ come voluto
Il dubbio è nel passaggio dove porto fuori dal segno di integrale $cos\theta$ perché non capisco se sia funzione di t il mio theta, infatti in ogni istante il gatto e il topo possono cambiare direzione, dunque ilcoseno non è certamente una funzione di theta costante (theta varia sempre), però bisogna anche vedere se sia theta in funzione del tempo o no (e questo non lo capisco), perché se non lo fosse potrei portarlo fuori senza troppe remore. E non riesco a capirlo se lo sia o meno.
Spero in qualche vostro gentile aiuto.
Grazie
Nel frattempo copiando da voi sto cercando di imparare a scrivere le formule sul forum
Un gatto insegue un topo che scappa, ed en trambi si muovono con velocità in modulo costante pari a $v_g$ ed $v_t$ , rispettivamente, aventi in ogni istante stessa direzione e stesso verso. Dimostrare che indipendentemente dalla traietto-
ria il gatto raggiunge il topo soltanto se $v_g>v_t$.
Il mio ragionamento è stato il seguente
-Scompondo in un sistema di riferimento cartesiano le varie velocità istantanee:
$v_(gx)=vg*cos\theta$
$v_(tx)=vt*cos\theta$
identicamente sulle y.
Poi ho pensato che per raggiungersi dovrei avere (xg,yg)=(xt,yt)
Quindi sapendo che
$ds/dt=v => ds=v*dt$
risolvendo con l'integrazione avrei, dvoendo essere sg>st per raggiungersi
$int v_(gx)*cos\theta dt=int v_(tx)*cos\theta dt$
cioè $v_(gx)*cos\theta int dt= v_(tx)*cos\theta int dt$
da cui
$v_(gx)*cos(\theta) t>v_(tx)*cos(\theta) t$ e semplificando: $v_(gx)>v_(tx)$ come voluto
Il dubbio è nel passaggio dove porto fuori dal segno di integrale $cos\theta$ perché non capisco se sia funzione di t il mio theta, infatti in ogni istante il gatto e il topo possono cambiare direzione, dunque ilcoseno non è certamente una funzione di theta costante (theta varia sempre), però bisogna anche vedere se sia theta in funzione del tempo o no (e questo non lo capisco), perché se non lo fosse potrei portarlo fuori senza troppe remore. E non riesco a capirlo se lo sia o meno.
Spero in qualche vostro gentile aiuto.
Grazie
Risposte
Dopo aver orientato la traiettoria nel verso comune del moto, conviene procedere mediante l'ascissa curvilinea:
Ipotesi
$x_t(t_0) gt x_(g)(t_0)$
Topo
$[x_t(t)=x_t(t_0)+\int_{t_0}^{t}dotx_t(t)dt] rarr [x_t(t)=x_t(t_0)+v_t(t-t_0)]$
Gatto
$[x_(g)(t)=x_(g)(t_0)+\int_{t_0}^{t}dotx_(g)(t)dt] rarr [x_(g)(t)=x_(g)(t_0)+v_(g)(t-t_0)]$
Tesi
$EE t gt t_0 : x_t(t)=x_(g)(t)$
Grazie mille, ora ho capito. Non so perchéma ho sempre dubbi a svolgere integrali curvilinei non sapendo ancora cosa siano dall'analisi. Mi pare si svolgano come integrali normali su questi percorsi anche non rettilinei se non sbaglio.
UN'ultima domanda:per quanto dicevo verso la fine, ilpassaggio di "tirar fuori" cos theta dall'integrale sarebbe sbagliato?Non parlo nel caso dell'esercizio in sé, più che altro vorrei capire il ragionamento generale e capire se quella funzione [cosϑ] è in dipendenza da t [cioé cos(ϑ(t)] o meno. Non riesco bene a capirlo
Grazie mille
UN'ultima domanda:per quanto dicevo verso la fine, ilpassaggio di "tirar fuori" cos theta dall'integrale sarebbe sbagliato?Non parlo nel caso dell'esercizio in sé, più che altro vorrei capire il ragionamento generale e capire se quella funzione [cosϑ] è in dipendenza da t [cioé cos(ϑ(t)] o meno. Non riesco bene a capirlo
Grazie mille
"randomico":
... il dubbio è nel passaggio dove porto fuori dal segno di integrale $cos\theta$ ...
Infatti, se la traiettoria non è una retta, non puoi farlo. Tra l'altro, in questo esercizio, non è proprio il caso di procedere mediante le equazioni parametriche.
In sostanza è in dipendenza dal tempo quindi?
Perché lamia idea era che se cosϑ non dipendesse dal tempo esso sarebbe una funzione differente da f(t) e quindi nell'integrale si comporta come una costante, ad esempio:
$int x*y^2 dx=y^2 int x dx= y^2*x^2/2$ non si potrebbe fare?
E' una curiosità matematica più che dell'esercizio in sé
Ti ringrazio moltissimo
Perché lamia idea era che se cosϑ non dipendesse dal tempo esso sarebbe una funzione differente da f(t) e quindi nell'integrale si comporta come una costante, ad esempio:
$int x*y^2 dx=y^2 int x dx= y^2*x^2/2$ non si potrebbe fare?
E' una curiosità matematica più che dell'esercizio in sé
Ti ringrazio moltissimo
"randomico":
... in sostanza è in dipendenza dal tempo ...
Certamente.
$int x*y^2 dx=y^2 int xdx= y^2*x^2/2$ non si potrebbe fare?
E' una curiosità matematica più che dell'esercizio in sé3
Mentre questo è in linea di principio fattibile?
Cioè avendo una f(x) e una g(y) fare quel passaggio?
Scusa ma mi incuriosisce un sacco
Quale sarebbe la variabile di integrazione? Inoltre, non so se è il caso di scomodare gli integrali curvilinei. Tra l'altro, anche quello relativo alla soluzione del mio primo messaggio, può non essere considerato tale. Basta rettificare la curva. Insomma, l'equazione oraria, l'ascissa curvilinea in funzione del tempo per intenderci, non ha nulla a che vedere con la traiettoria. Infatti, una stessa equazione oraria può essere associata a traiettorie diverse. Ad ogni modo, rileggendo più attentamente la consegna:
non riesco a immaginare un caso in cui la traiettoria comune non sia una retta.
"randomico":
... entrambi si muovono con velocità in modulo costante ... aventi in ogni istante stessa direzione e stesso verso.
non riesco a immaginare un caso in cui la traiettoria comune non sia una retta.
Hai ragione:
ho corretto.
$int x*y^2 dx=y^2 int xdx= y^2*x^2/2$ non si potrebbe fare?
E' una curiosità matematica più che dell'esercizio in sé3
ho corretto.
Visto che compare anche la variabile $y$, si tratta di un integrale curvilineo e il calcolo dipende dalla curva in esame. Meglio fare due esempi. Mentre nel primo esempio la $y$ non è costante (circonferenza percorsa in senso antiorario):
nel secondo lo è (segmento percorso da sinistra verso destra):
$0 lt= t lt 2\pi$
$\{(x=Rcos\omegat),(y=Rsin\omegat):} rarr \{(dx=-\omegaRsin\omegatdt),(dy=\omegaRcos\omegatdt):}$
$\int_{C_R}xy^2dx=-\omegaR^4\int_{0}^{2\pi}cos\omegatsin^3\omegatdt$
nel secondo lo è (segmento percorso da sinistra verso destra):
$2 lt= t lt= 5$
$\{(x=t),(y=3):} rarr \{(dx=dt),(dy=0):}$
$\int_{L}xy^2dx=9\int_{2}^{5}tdt$
Molto chiaro, grazie.
Nel primo caso x e y dipendono da t (cioè sono entrambe funzioni di t),ma se x e y fossero due funzioni diverse nella variabile indipendente?
In quel caso come funzionerebbe
Nel primo caso x e y dipendono da t (cioè sono entrambe funzioni di t),ma se x e y fossero due funzioni diverse nella variabile indipendente?
In quel caso come funzionerebbe
Premesso che le formule matematiche andrebbero contestualizzate, la proprietà sottostante:
nel caso in cui le variabili $u$ e $v$ siano indipendenti, come in un integrale doppio per intenderci, è senz'altro valida. Insomma, ho l'impressione che tu stia mettendo troppa carne al fuoco. Soprattutto se, come presumo, non hai ancora affrontato l'analisi in due o più variabili.
$\intx(u)y(v)du=y(v)\intx(u)du$
nel caso in cui le variabili $u$ e $v$ siano indipendenti, come in un integrale doppio per intenderci, è senz'altro valida. Insomma, ho l'impressione che tu stia mettendo troppa carne al fuoco. Soprattutto se, come presumo, non hai ancora affrontato l'analisi in due o più variabili.
Ehm esatto 
Comunque grazie, e scusa la curiosità.
Comunque grazie, e scusa la curiosità.
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