Galaxy rotation curve - materia oscura
non fatevi spaventare dal titolo, bastano conoscenze di fisica 1 o poco più.
spesso si vedono in giro immagini come questa
Rotation curve of a typical spiral galaxy: predicted (A) and observed (B).
il fatto che osserviamo la curva B e non la A dovrebbe essere la prova della presenza di materia oscura nell'alone galattico (una sfera con diametro di decine di kpc).
ho provato a ricavare la curva teorica A. anticipo che ho tralasciato diverse costanti.
supponiamo la galassia sia un disco (è una buona approssimazione, lo spessore della viaLattea è di 200pc nei bracci e di un paio di kpc nel nucleo, a fronte di un diametro di 20kpc) con una densità di materia gaussiana (suppongo, a questo livello di precisione va bene qualunque funzione a campana centrata in 0, o comunque che permetta di distinguere un nucleo più massiccio)
$rho(r) = e^-(r^2)$
qualcuno potrebbe obiettare che la densità dipende anche dai parametri angolari e non solo dalla distanza, per via della presenza dei bracci a spirale. non è così, perchè i bracci sono semplicemente popolati da stelle più luminose. la densità è praticamente costante, definito il raggio.
la massa entro una distanza r è dunque $M(r) prop int_0 ^r rho(r) r dr$
infine, la velocità al punto r va come $v(r) prop ( (M(r)) /r)^(1/2) $
plottando ottengo:
bene, viene una cosa concorde con la curva A
il problema è questo. aggiungendo dell'altra distribuzione di massa in una zona esterna sferoidale non dovrebbe cambiare nulla, in virtù del teorema dei gusci, che vuole che una distribuzione sferoidale di materia uniforme non produca nessun campo gravitazionale all'interno della sfera.
come ottengo dunque la curva B?
è probabilissimo che il mio ragionamento abbia un baco clamoroso da qualche parte. aiutatemi a trovarlo
spesso si vedono in giro immagini come questa
Rotation curve of a typical spiral galaxy: predicted (A) and observed (B).
il fatto che osserviamo la curva B e non la A dovrebbe essere la prova della presenza di materia oscura nell'alone galattico (una sfera con diametro di decine di kpc).
ho provato a ricavare la curva teorica A. anticipo che ho tralasciato diverse costanti.
supponiamo la galassia sia un disco (è una buona approssimazione, lo spessore della viaLattea è di 200pc nei bracci e di un paio di kpc nel nucleo, a fronte di un diametro di 20kpc) con una densità di materia gaussiana (suppongo, a questo livello di precisione va bene qualunque funzione a campana centrata in 0, o comunque che permetta di distinguere un nucleo più massiccio)
$rho(r) = e^-(r^2)$
qualcuno potrebbe obiettare che la densità dipende anche dai parametri angolari e non solo dalla distanza, per via della presenza dei bracci a spirale. non è così, perchè i bracci sono semplicemente popolati da stelle più luminose. la densità è praticamente costante, definito il raggio.
la massa entro una distanza r è dunque $M(r) prop int_0 ^r rho(r) r dr$
infine, la velocità al punto r va come $v(r) prop ( (M(r)) /r)^(1/2) $
plottando ottengo:
bene, viene una cosa concorde con la curva A
il problema è questo. aggiungendo dell'altra distribuzione di massa in una zona esterna sferoidale non dovrebbe cambiare nulla, in virtù del teorema dei gusci, che vuole che una distribuzione sferoidale di materia uniforme non produca nessun campo gravitazionale all'interno della sfera.
come ottengo dunque la curva B?
è probabilissimo che il mio ragionamento abbia un baco clamoroso da qualche parte. aiutatemi a trovarlo
Risposte
L'argomento sembra molto interessante. Credi possa essere oggetto di tesina/percorso, anche a seguito di uno studio sul neutrino (e le implicazioni di questo sulla materia oscura)? 
"ExMarco88":
L'argomento sembra molto interessante. Credi possa essere oggetto di tesina/percorso, anche a seguito di uno studio sul neutrino (e le implicazioni di questo sulla materia oscura)?
si, è decisamente interessante. sulla tesina... boh, si potrebbe fare, ad un livello bassissimo. altrimenti a te starebbe spiegare cos'è l'oscillazione dei neutrini e perchè questa implicherebbe che il neutrino non sia massless. io non ne sarei capace
"wedge":
perchè questa implicherebbe che il neutrino non sia massless. io non ne sarei capace
Una spiegazione sempre ed esclusivamente qualitativa del doppio decadimento beta, della differenza tra il neutrino Dirac e quello Majorana...
[chiudo qui perché sto andando in off topi, sorry]
Ciao wedge.
Ho già sentito parlare di questo discorso, ma non ho mai approfondito. In questi giorni non ho tempo causa trasferta di lavoro ma mi riprometto di indagare.
Ciao
P.
Ho già sentito parlare di questo discorso, ma non ho mai approfondito. In questi giorni non ho tempo causa trasferta di lavoro ma mi riprometto di indagare.
Ciao
P.
Ciao wedge.
Ho già sentito parlare di questo discorso, ma non ho mai approfondito. In questi giorni non ho tempo causa trasferta di lavoro ma mi riprometto di indagare.
Ciao
P.
Ho già sentito parlare di questo discorso, ma non ho mai approfondito. In questi giorni non ho tempo causa trasferta di lavoro ma mi riprometto di indagare.
Ciao
P.
".Pupe.":
Ciao wedge.
Ho già sentito parlare di questo discorso, ma non ho mai approfondito. In questi giorni non ho tempo causa trasferta di lavoro ma mi riprometto di indagare.
Ciao
P.
ciao Pupe, anche io approfondirò la cosa settimana prossima quando avrò tempo di andare in biblioteca.
purtroppo l'unico libro serio di Astrofisica che ho a portata di mano (l'Harwit) skippa l'argomento.
per adesso quello che ho scritto sembra sensato a te che hai molta più esperienza?
a presto allora
Vabbè non so granchè di astrofisica, a parte un corso seguito durante ildottorato.
Comunque mi interessava provare a ricavare la distribuzione della materia oscura che desse la curva b. A occhio immagino sia una distribuzione non gaussiana o comunque a campana, e senz'altro con la massima densità non verso il centro.
Quello che scrivi direi che è corretto.
P.
Comunque mi interessava provare a ricavare la distribuzione della materia oscura che desse la curva b. A occhio immagino sia una distribuzione non gaussiana o comunque a campana, e senz'altro con la massima densità non verso il centro.
Quello che scrivi direi che è corretto.
P.
premetto che io non so niente di astrofisica
cmq sembra interessante, io farei una cosa del genere:
supponiamo v(r) l'espressione che vuoi ottenere, la curva sperimentale;
sai che $v(r)prop( (Massa(r)) /r)^(1/2)$ dato che M(r) teorico non rispetta la curva sperimentale
poni $Massa(r)=M(r)+O(r)$ dove O(r) è la distribuzione di materia oscura che ti serve per far tornare la curva.
$v(r)=K ((M(r)+O(r))/r)^(1/2)$
=> $O(r)=(rv(r)^2)/K-M(r)$
credo che il ragionamento fili... aspetto conferme (o insulti da astrofisici
)
cmq sembra interessante, io farei una cosa del genere:
supponiamo v(r) l'espressione che vuoi ottenere, la curva sperimentale;
sai che $v(r)prop( (Massa(r)) /r)^(1/2)$ dato che M(r) teorico non rispetta la curva sperimentale
poni $Massa(r)=M(r)+O(r)$ dove O(r) è la distribuzione di materia oscura che ti serve per far tornare la curva.
$v(r)=K ((M(r)+O(r))/r)^(1/2)$
=> $O(r)=(rv(r)^2)/K-M(r)$
credo che il ragionamento fili... aspetto conferme (o insulti da astrofisici
)
il problema è che v(r) non è una funzione nota analiticamente... si potrà ottenere un best-fit dai dati con qualche polinomiale di grado elevato....
tranquillo, non ce ne sono nel forum
ora comunque mi è venuta un'altra idea...
se la curva di velocità tende a stabilizzarsi, dv/dr = 0 e quindi per r sufficientemente grande M(r) deve necessariamente essere proporzionale a r. è questo il fatto!
ovviamente c'è un contrasto con le osservazioni sperimentali: insomma la materia luminosa (per una stella di main sequence vale la relazione $L prop M^3.5$) e domina praticamente solo nel nucleo
più tardi magari cerco di rendere questa esposizione più precisa
"Fox":
(o insulti da astrofisici
tranquillo, non ce ne sono nel forum
ora comunque mi è venuta un'altra idea...
se la curva di velocità tende a stabilizzarsi, dv/dr = 0 e quindi per r sufficientemente grande M(r) deve necessariamente essere proporzionale a r. è questo il fatto!
ovviamente c'è un contrasto con le osservazioni sperimentali: insomma la materia luminosa (per una stella di main sequence vale la relazione $L prop M^3.5$) e domina praticamente solo nel nucleo
più tardi magari cerco di rendere questa esposizione più precisa
a occhio io v(r) l'approssimerei con un bel $C*(1-e^-a)$ dove a si potrebbe trovare impostando il tempo di salita di quella funzione sperimentale ma ci sarebbe bisogno di sapere in quale punto arriva ad essere + o - costante
riprendo quello che ho detto sopra.
M(r)=v(r)^2 r/ G, se v costante dM = v^2/G r
ma abbiamo anche che $dM = 4 pi r^2 rho(r) $ (sono passato ad una distribuzione sferoidale, come dovrebbe essere disposta la dark matter)
quindi $rho(r) prop 1/r^2$, per r sufficientemente grande.
plottando quello che ho ricostruito:
in rosso la velocità
in blu la densità della materia visibile (ancora gaussiana come sopra, mi riprometto di approfondire questo punto)
in nero la densità della materia oscura che dovrei avere, che va come 1/r^2 (per la cronaca ho utilizzato una funzione del tipo (r+a)/(r^3+b) )
mi sembra torni tutto
nel nucleo domina la materia ordinaria, allontanandosi prende il sopravvento quella oscura.
quindi il mio errore iniziale era pensare la materia oscura come confinata in una zona esterna al disco.
grazie per la maieutica a tutti, ogni commento è ancora ben accetto.
M(r)=v(r)^2 r/ G, se v costante dM = v^2/G r
ma abbiamo anche che $dM = 4 pi r^2 rho(r) $ (sono passato ad una distribuzione sferoidale, come dovrebbe essere disposta la dark matter)
quindi $rho(r) prop 1/r^2$, per r sufficientemente grande.
plottando quello che ho ricostruito:
in rosso la velocità
in blu la densità della materia visibile (ancora gaussiana come sopra, mi riprometto di approfondire questo punto)
in nero la densità della materia oscura che dovrei avere, che va come 1/r^2 (per la cronaca ho utilizzato una funzione del tipo (r+a)/(r^3+b) )
mi sembra torni tutto
nel nucleo domina la materia ordinaria, allontanandosi prende il sopravvento quella oscura.
quindi il mio errore iniziale era pensare la materia oscura come confinata in una zona esterna al disco.
grazie per la maieutica a tutti, ogni commento è ancora ben accetto.
se riuscissimo ad avere un pò di numeri sulla curva B potremmo fare un calcolo con la forma di funzione di v(r)
perchè piazzarci una costante non è che mi convinca molto,
però d'altro canto ho provato a cercare su internet ma non riesco a trovare un grafico con qualche valore.
a parte che io discuterei il fatto se prendere la distribuzione sferoidale...
cmq dal tuo ragionamento hai trovato il $rho$ totale cioè di L(r)+O(r) (luminosa-oscura)
perchè la relazione $M(r)=r v^2/G$ la devi considerare per la massa totale $M(r)=L(r)+O(r)$
perchè piazzarci una costante non è che mi convinca molto,
però d'altro canto ho provato a cercare su internet ma non riesco a trovare un grafico con qualche valore.
se v costante dM = v^2/G r
ma abbiamo anche che $dM = 4 pi r^2 rho(r) $ (sono passato ad una distribuzione sferoidale, come dovrebbe essere disposta la dark matter)
quindi $rho(r) prop 1/r^2$, per r sufficientemente grande.
a parte che io discuterei il fatto se prendere la distribuzione sferoidale...
cmq dal tuo ragionamento hai trovato il $rho$ totale cioè di L(r)+O(r) (luminosa-oscura)
perchè la relazione $M(r)=r v^2/G$ la devi considerare per la massa totale $M(r)=L(r)+O(r)$
"Fox":
perchè la relazione $M(r)=r v^2/G$ la devi considerare per la massa totale $M(r)=L(r)+O(r)$
lo so benissimo. ma se riguardi sopra noterai che per r grande M va come 1/r^2, mentre L dalle ipotesi cade più velocemente, quindi la conclusione è che anche O va come r^-2, ed era questo che mi interessava
"Fox":
se riuscissimo ad avere un pò di numeri sulla curva B potremmo fare un calcolo con la forma di funzione di v(r)
perchè piazzarci una costante non è che mi convinca molto,
la forma della funzione v(r) è poco significativa, visto che tende ad una costante.
anche avendo "un po' di numeri"... per r grande avresti un bel v(r)->cost
perchè non prendere una distribuzione sferoidale? se abbiamo un nucleo sferico, un disco sottile e un alone sferico ove è concentrata gran parte della materia... vedi alternative migliori?
per r elevati si , ma la forma ottenuta per r medio-bassi non è detto sia quella desiderata...
poi magari non cambia molto a questo livello di approssimazione, ma dico che non puoi ipotizzare forme per r
una domanda, perchè hai fatto l'assunto di distribuzione sferica e non hai provato a vedere se ti veniva qualcosa di plausibile con una distribuzione a disco come quella di L(r)?
poi magari non cambia molto a questo livello di approssimazione, ma dico che non puoi ipotizzare forme per r
una domanda, perchè hai fatto l'assunto di distribuzione sferica e non hai provato a vedere se ti veniva qualcosa di plausibile con una distribuzione a disco come quella di L(r)?
perchè non prendere una distribuzione sferoidale? se abbiamo un nucleo sferico, un disco sottile e un alone sferico ove è concentrata gran parte della materia...
beh se sono dati astrofisici io li ignoravo e diciamo procedevo "alla cieca" guardando che veniva dai conti, ma se li conosci tanto meglio
sapevo solo che assomiglia ad una spirale un pò bombata nel mezzo e che poi ai lati era molto sottile...
per quel poco che ne so: da prove indipendenti (gravitational lensing) il dark matter halo ha forma sferoidale. in questi giorni di orgasmo astrofisico ho letto alcuni abstracts, secondo i quali sono stati trovati i primi fenomeni di lente gravitazionale senza che al centro ci siano ammassi di galassie visibili: insomma, degli aloni di materia oscura isolati.
ciao
ciao
Pupe:
Wedge:
Ok mi pare che il tuo discorso sia corretto, anzi i conti che fai erano, come idea, quelli che volevo buttare giu' io.
Niente da aggiungere.
P.
A occhio immagino sia una distribuzione non gaussiana o comunque a campana, e senz'altro con la massima densità non verso il centro.
Wedge:
quindi il mio errore iniziale era pensare la materia oscura come confinata in una zona esterna al disco.
Ok mi pare che il tuo discorso sia corretto, anzi i conti che fai erano, come idea, quelli che volevo buttare giu' io.
Niente da aggiungere.
P.
Sono un pò in ritardo ma in questi giorni non ero a casa... poi ieri mi era pure saltata la connessione.
Volevo fare una considerazione, se $v(r)$ tende ad una costante $=> M(r)=(v(r)^2)/K r$ tende ad una retta, una cosa inaccettabile perchè significherebbe che la massa continua ad aumentare linearmente con la distanza, quindi suppongo che v(r) dopo un certo R decresca come $1/(sqrt(r))$ visto che la massa deve rimanere costante...
Ma, tralasciando questo:
se prendo $v(r)=(1-e^(-ar))$
$M(r)=((1-e^(-ar))^2 r)/K$ ma anche $M(r)=int(sigma_L(r)*2pir+d_o(r))dr$ dove $d_o(r)$ è la distribuzione di materia oscura sulla quale non faccio ipotesi per ora
a questo punto $(dM(r))/(dr)=sigma_L(r)*2pir+d_o(r)=((1-e^(-ar))^2)/K+(2a(1-e^(-ar))r)/K$
$d_o(r)=(1-e^(-ar))/K (1-e^(-ar)+2ar) - sigma_L(r) 2pir$
ora, i termini $1-e^(-ar)$ se ne vanno a costanti per r grandi, ma è comparso il termine di derivata 2ar che viene dal fatto che derivata di v(r) non è più 0.
Adesso si capisce anche perchè $d_o(r)$ non può essere presa piana, se lo fosse si otterrebbe una densità di massa oscura costante per r grandi....
$=>d_o(r)= rho_o(r) 4pir^2$
$rho_o(r)=(1-e^(-ar))/(4piK) ((1-e^(-ar))/r^2 + (2a)/r) - (sigma_L(r))/(2r)$
come si vede per r molto grandi decresce come $1/r$
Volevo fare una considerazione, se $v(r)$ tende ad una costante $=> M(r)=(v(r)^2)/K r$ tende ad una retta, una cosa inaccettabile perchè significherebbe che la massa continua ad aumentare linearmente con la distanza, quindi suppongo che v(r) dopo un certo R decresca come $1/(sqrt(r))$ visto che la massa deve rimanere costante...
Ma, tralasciando questo:
se prendo $v(r)=(1-e^(-ar))$
$M(r)=((1-e^(-ar))^2 r)/K$ ma anche $M(r)=int(sigma_L(r)*2pir+d_o(r))dr$ dove $d_o(r)$ è la distribuzione di materia oscura sulla quale non faccio ipotesi per ora
a questo punto $(dM(r))/(dr)=sigma_L(r)*2pir+d_o(r)=((1-e^(-ar))^2)/K+(2a(1-e^(-ar))r)/K$
$d_o(r)=(1-e^(-ar))/K (1-e^(-ar)+2ar) - sigma_L(r) 2pir$
ora, i termini $1-e^(-ar)$ se ne vanno a costanti per r grandi, ma è comparso il termine di derivata 2ar che viene dal fatto che derivata di v(r) non è più 0.
Adesso si capisce anche perchè $d_o(r)$ non può essere presa piana, se lo fosse si otterrebbe una densità di massa oscura costante per r grandi....
$=>d_o(r)= rho_o(r) 4pir^2$
$rho_o(r)=(1-e^(-ar))/(4piK) ((1-e^(-ar))/r^2 + (2a)/r) - (sigma_L(r))/(2r)$
come si vede per r molto grandi decresce come $1/r$
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