Funzioni e adimensionalità
Che le funzioni trigonometriche siano adimensionale lo si può vedere dal fatto che non sono altro che rapporti di quantità con la stessa unità di misura; che lo sia anche il loro argomento lo si ricava dalla definizione di angolo, che non è che il rapporto fra l'arco tracciato e il raggio della circonferenza.
Per quanto riguarda gli esponenti di potenze, possiamo dimostrarne l'adimensionalità ricorrendo all'analisi matematica, che ci rivela che un logaritmo non è altro che la sommatoria di addendi a loro volta adimensionali.
Come si dimostra però che l'argomento (e la base) di un logaritmo siano per forza adimensionali?
Se io considero la formula dell'area del quadrato $ A = l^2 $, non ottengo che $ log_lA = 2 $ (con $ [A]=m^2 $ e $ [l]=m $), smentento così l'ipotesi precedente?
Per quanto riguarda gli esponenti di potenze, possiamo dimostrarne l'adimensionalità ricorrendo all'analisi matematica, che ci rivela che un logaritmo non è altro che la sommatoria di addendi a loro volta adimensionali.
Come si dimostra però che l'argomento (e la base) di un logaritmo siano per forza adimensionali?
Se io considero la formula dell'area del quadrato $ A = l^2 $, non ottengo che $ log_lA = 2 $ (con $ [A]=m^2 $ e $ [l]=m $), smentento così l'ipotesi precedente?
Risposte
Ho controllato, ma non si parla dell'argomento del logaritmo, quanto del logaritmo in sé.
Io ho una mia teoria in merito a problemi di questo tipo, non so quanto sia corretta o contestabile, ma te la voglio comunque proporre.
A mio parere quando un numero può essere associato a una unità di misura, allora si può dire che "ha una dimensione", però in sé resta sempre un numero. E un numero significa sempre "quante volte prendo o considero un certo oggetto".
Mi spiego.
Se io dico che un certo segmento è lungo 3 metri, ciò significa che preso il metro come unità di misura concreta, quel segmento si ottiene dal campione utilizzato prendendolo 3 volte di seguito.
Quando dico che l'area di un quadrato è pari al lato elevato alla seconda potenza, e quindi dico che l'area del quadrato ha la dimensione del metro alla seconda potenza, cioè nell'esempio di prima se il lato è 3 l'area è 9, in realtà io dico che l'area di quel quadrato corrisponde al quadratino unitario (metro quadrato) preso per 9 volte. Dunque il 9 va inteso come 9 volte l'unità di misura, cioè 3 volte per 3 volte. Da cui si deduce che non solo l'esponente ha significato di "numero di volte per le quali moltiplico la base per sé stessa", ma anche quando moltiplico qualcosa la prendo per un certo numero di "volte". In particolare quando associo un numero a una l'unità di misura, significa che quella unità di misura ben nota e dimensionata la prendo tante volte quanto dice il numero che le metto accanto.
Venendo al logaritmo, per definirne le dimensioni bisogna ricordare il significato delle 3 quantità che lo caratterizzano, e vedere se ha senso associarle al "numero di volte che prendo una certa unità fisica".
Il numero che c'è al di là del segno di uguale ha indubbiamente senso di esponente, quindi non può avere una dimensione in quanto rappresenta il numero di volte per le quali moltiplico il numero che rappresenta la base, dunque non un numero di volte associato a una ben precisa unità di misura, ma un numero di volte "puro".
La base invece può essere associata a una unità di misura, ad esempio il metro, perché il suo quadrato ha un senso fisico, e pure il suo cubo, e così via. Dunque secondo me la base di un logaritmo può avere una dimensione. E così pure l'argomento del logaritmo, come risultato del calcolo suggerito dall'esponente, può avere una dimensione.
Questo è quanto penso. Ma se mi sono sbagliato sicuramente qualcuno mi correggerà, d'altronde ragionamenti di questo tipo non sono proprio la mia specialità.
A mio parere quando un numero può essere associato a una unità di misura, allora si può dire che "ha una dimensione", però in sé resta sempre un numero. E un numero significa sempre "quante volte prendo o considero un certo oggetto".
Mi spiego.
Se io dico che un certo segmento è lungo 3 metri, ciò significa che preso il metro come unità di misura concreta, quel segmento si ottiene dal campione utilizzato prendendolo 3 volte di seguito.
Quando dico che l'area di un quadrato è pari al lato elevato alla seconda potenza, e quindi dico che l'area del quadrato ha la dimensione del metro alla seconda potenza, cioè nell'esempio di prima se il lato è 3 l'area è 9, in realtà io dico che l'area di quel quadrato corrisponde al quadratino unitario (metro quadrato) preso per 9 volte. Dunque il 9 va inteso come 9 volte l'unità di misura, cioè 3 volte per 3 volte. Da cui si deduce che non solo l'esponente ha significato di "numero di volte per le quali moltiplico la base per sé stessa", ma anche quando moltiplico qualcosa la prendo per un certo numero di "volte". In particolare quando associo un numero a una l'unità di misura, significa che quella unità di misura ben nota e dimensionata la prendo tante volte quanto dice il numero che le metto accanto.
Venendo al logaritmo, per definirne le dimensioni bisogna ricordare il significato delle 3 quantità che lo caratterizzano, e vedere se ha senso associarle al "numero di volte che prendo una certa unità fisica".
Il numero che c'è al di là del segno di uguale ha indubbiamente senso di esponente, quindi non può avere una dimensione in quanto rappresenta il numero di volte per le quali moltiplico il numero che rappresenta la base, dunque non un numero di volte associato a una ben precisa unità di misura, ma un numero di volte "puro".
La base invece può essere associata a una unità di misura, ad esempio il metro, perché il suo quadrato ha un senso fisico, e pure il suo cubo, e così via. Dunque secondo me la base di un logaritmo può avere una dimensione. E così pure l'argomento del logaritmo, come risultato del calcolo suggerito dall'esponente, può avere una dimensione.
Questo è quanto penso. Ma se mi sono sbagliato sicuramente qualcuno mi correggerà, d'altronde ragionamenti di questo tipo non sono proprio la mia specialità.
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