Funzione d'onda e probabilità in meccanica quantistica
Ciao ragazzi stavolta ho un problema proprio concettuale..sto studiando da un libro in inglese e non è cosi semplice..la questione è questa:
In meccanica quantistica si associa al modulo quadro di una determinata funzione d'onda una certa probabilita:
$P(x,y,z,t) = |\Psi(x,y,z,t)|^2$
oppure:$P(vec r,t) = |\Psi(vec r,t)|^2$.
perciò :$P(vec r,t)dvecr = |\Psi(vec r,t)|^2dvecr$ esprime la probabilita che una particella si trovi nell'elemento di volume $dvecr$.
Poichè la probabilità varia da zero a uno allora dovrà valere la condizione di normalizzazione per cui la densita di probabilita integrata su tutto lo spazio deve dare uno.
$int_{- infty}^{+ infty}P(vec r,t)dvecr =int_{- infty}^{+ infty} |\Psi(vec r,t)|^2dvecr = 1$.
Da ciò si evince che la funzione $\Psi$ deve essere al quadrato sommabile.Ed è anche immediato comprendere che nel casi di onde piane non si possa fare la normalizzazione poichè tale integrale dovrebbe divergere.Data cioè le'spressione di una onda piana qualsiasi:
$\Psi(vecr,t)=e^{i[veck.vecr-omega(k)t]}$
allota varrà:
$int_{- infty}^{+ infty}P(vec r,t)dvecr =int_{- infty}^{+ infty} |\Psi(vec r,t)|^2dvecr$ = $|A|^2int_{- infty}^{+ infty}dvecr$.
e quindi l'integrale diverge.(la funzione non è a quadrato sommabile o integrabile).
Il libro a questo punto conclude dicendo che ,per i motivi sopraesposti,nel caso di un'onda piana c'è un eguale possibilita di trovare la particella in ogni punto e in piusiamo in presenza di una particella avente un momento ben definito ma è completamente delocalzzata.
Qualcuno potrebbe spiegarmi perfavore???
In meccanica quantistica si associa al modulo quadro di una determinata funzione d'onda una certa probabilita:
$P(x,y,z,t) = |\Psi(x,y,z,t)|^2$
oppure:$P(vec r,t) = |\Psi(vec r,t)|^2$.
perciò :$P(vec r,t)dvecr = |\Psi(vec r,t)|^2dvecr$ esprime la probabilita che una particella si trovi nell'elemento di volume $dvecr$.
Poichè la probabilità varia da zero a uno allora dovrà valere la condizione di normalizzazione per cui la densita di probabilita integrata su tutto lo spazio deve dare uno.
$int_{- infty}^{+ infty}P(vec r,t)dvecr =int_{- infty}^{+ infty} |\Psi(vec r,t)|^2dvecr = 1$.
Da ciò si evince che la funzione $\Psi$ deve essere al quadrato sommabile.Ed è anche immediato comprendere che nel casi di onde piane non si possa fare la normalizzazione poichè tale integrale dovrebbe divergere.Data cioè le'spressione di una onda piana qualsiasi:
$\Psi(vecr,t)=e^{i[veck.vecr-omega(k)t]}$
allota varrà:
$int_{- infty}^{+ infty}P(vec r,t)dvecr =int_{- infty}^{+ infty} |\Psi(vec r,t)|^2dvecr$ = $|A|^2int_{- infty}^{+ infty}dvecr$.
e quindi l'integrale diverge.(la funzione non è a quadrato sommabile o integrabile).
Il libro a questo punto conclude dicendo che ,per i motivi sopraesposti,nel caso di un'onda piana c'è un eguale possibilita di trovare la particella in ogni punto e in piusiamo in presenza di una particella avente un momento ben definito ma è completamente delocalzzata.
Qualcuno potrebbe spiegarmi perfavore???
Risposte
Uhm.. secondo me non è vero che c'è un'eguale possibilità di trovare la particella in ogni punto... semplicemente hai un infinità di punti in cui hai una certa probabilità diversa da 0 di trovare la particlella;
per questo la particella è completamente delocalizzata: potrebbe essere in uno qualsiasi degli infiniti punti in cui il quadrato della funzione d'onda non si annulla.
Viceversa il momento è ben definito perchè in MQ il momento è definito come la trasformata di fourier della funzione d'onda spaziale e se fai la trasformata di fourier di un'onda piana trovi una delta di dirac, quindi hai un solo punto in cui la trasformata non si annulla e quindi hai un solo momento.
per questo la particella è completamente delocalizzata: potrebbe essere in uno qualsiasi degli infiniti punti in cui il quadrato della funzione d'onda non si annulla.
Viceversa il momento è ben definito perchè in MQ il momento è definito come la trasformata di fourier della funzione d'onda spaziale e se fai la trasformata di fourier di un'onda piana trovi una delta di dirac, quindi hai un solo punto in cui la trasformata non si annulla e quindi hai un solo momento.
potresti mostrarmi quello che hai detto con le formule?(mi riferisco alla questione del momento e della traformata di fourier)poi non riesco a capire come possano essere legati il momento e la posizione...
il momento e la posizione sono legati proprio dalla trasformata di fourier.
"lucagalbu":
Uhm.. secondo me non è vero che c'è un'eguale possibilità di trovare la particella in ogni punto... semplicemente hai un infinità di punti in cui hai una certa probabilità diversa da 0 di trovare la particlella;
Questo è errato, c'è un'uguale probabilità di trovare la particella in ogni regione finita (poi tecnicamente non ha molto senso parlare di probabilità in un punto).
Considera ad esempio una particella libera confinata in una regione finita di volume [tex]V[/tex], che ha funzione d'onda normalizzabile [tex]\psi(x) = e^{ikx} / \sqrt{V}[/tex].
Chiaramente la densità di probabilità è costante su tutta la regione [tex]|\psi(x)|^2 = 1/V[/tex] e la probabilità di trovare la particella in un volume [tex]\Delta V[/tex] è [tex]\Delta V / V[/tex].
Questa non dipende dalle coordinate ma soltanto dal volume in considerazione.
Per quanto riguarda il legame tra posizione e momento funziona in questo modo.
Dopo aver introdotto gli autostati della posizione [tex]\hat{x} |x\rangle = x |x\rangle[/tex] introduci gli autostati dell'impulso [tex]\hat{p} |p\rangle = p |p\rangle[/tex].
Per trovare il legame tra di loro considera il prodotto scalare [tex]\langle x| \hat{p} |p\rangle[/tex].
Scritto in termini di funzioni d'onda questo è uguale a [tex]\langle x| \hat{p} |p\rangle = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x} \langle x|p\rangle[/tex].
D'altronde essendo [tex]|p\rangle[/tex] un autostato dell'operatore [tex]\hat{p}[/tex] hai anche [tex]\langle x| \hat{p} |p\rangle = p \langle x|p\rangle[/tex].
Risolvendo l'equazione differenziale [tex]p \langle x|p\rangle = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x} \langle x|p\rangle[/tex] ottieni [tex]\langle x|p\rangle = N e^{ipx/\hbar}[/tex], dove [tex]N[/tex] è una costante di normalizzazione.
A questo punto possiamo esprimere il legame tra un autostato della posizione e gli autostati dell'impulso.
Usando la relazione di completezza [tex]\int dx |x \rangle \langle x| = 1[/tex] abbiamo infatti [tex]|p\rangle = \int dx \langle x|p \rangle |x\rangle = N \int dx e^{ipx/\hbar} |x \rangle[/tex].
Questo è proprio il legame che c'è tra due funzioni legate tra loro dalla trasformata di Fourier.
Innanzitutto, devo correggere quanto ho detto nel post precedente:
In realtà se la funzione d'onda è l'esponenziale, allora il modulo quadrato è una costante quindi c'è un'eguale probabilità di trovare la particella in ogni punto dello spazio.
Prendiamo un'onda piana in una dimensione:
$\psi(x,t)=Ae^i[kx-\omega t]
il modulo quadro che dà la densità di probabilità è:
$|\psi(x,t)|^2=|A|^2$
quindi se grafichi la densità di probabilità ottieni una linea retta orizzontale a quota $A^2$. Dato che in parole povere si può dire che l'altezza della densità di probabilità in un punto x indica la probabilità di trovare la particella in quel punto, hai che in ogni punto dell'asse x hai la stessa probabilità di trovare la particella. Quindi la particella è delocalizzata perchè non sai dove si trova esattamente.
Supponiamo adesso di voler sapere il valore del momento della particella. Dobbiamo ricavarci la funzione d'onda del momento. Per fare questo facciamo una trasformata di Fourier della $\psi(x,t)$ e troviamo:
$\hat\psi(p,t)=C\delta(p,k)$
dove $C$ è una costante. Il grafico di questa funzione (e anche del suo modulo quadro) è diverso da zero solo nel punto p=k, quindi sai con certezza che la tua particella ha un momento pari a k.
Per quanto riguarda perchè il momento è dato dalla trasformata di fourier della posizione, considera che la soluzione dell'equazione di Schrodinger per una particella libera è un'onda piana che soddisfa la relazione:
$\omega=\frac{\hbar k^2}{2m}$
Inoltre l'equazione di Schrodinger è lineare, quindi qualsiasi combinazione lineare di onde piane che soddisfano questa relazione sarà soluzione. Questa combinazione lineare può essere scritta come:
$\Psi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sumA_j e^{i[k_j x-\omega(k_j)t]}$
Se adesso supponi di sommare infinite onde piane che distano tra loro di $dk$, allora $A_j$ diventa una funzione di k: $A_j -> A(k)dk$ e la somma diventa un integrale:
$\Psi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\intA(k)e^{i[kx-\omega(k)t]}dk$
se poni $g(k,t)=A(k)e^{-iwt}$ ottieni:
$\Psi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\intg(k,t)e^{ikx}dk$ $[1]$
Ora, le funzioni $e^{ikx}$ formano una base per le funzioni definite da R in R (esattamente come (1,0) e (0,1) formano una base per i vettori di $R^2$). Nell'integrale precedente hai scomposto la funzione $\Psi(x,t)$ nella base di questi esponenziali, cioè vedi la $\Psi$ come combinazione lineare delle funzioni di base $e^{ikx}$, dove il coefficiente della k-esima funzione di base è g(k).
Nota che $e^{ikx}$ è una base dello spazio dei momenti, perchè dipende da k che rappresenta il momento.
Il postulato di decomposizione spettrale afferma che la probabilità di ottenere un valore $\bark$ lo ottieni espandendo la funzione d'onda nella base dei momenti (che è $e^{ikx}$) e prendendo il modulo quadro del coefficiente associato alla base $\bark$-esima, cioè:
$|g(\bark,t)|^2$
Dalla formula $[1]$ vedi che la funzione $g(k,t)$ è la trasformata di Fourier della funzione d'onda spaziale.
E' questo che non ti era chiaro?
"lucagalbu":
Uhm.. secondo me non è vero che c'è un'eguale possibilità di trovare la particella in ogni punto... semplicemente hai un infinità di punti in cui hai una certa probabilità diversa da 0 di trovare la particlella;
In realtà se la funzione d'onda è l'esponenziale, allora il modulo quadrato è una costante quindi c'è un'eguale probabilità di trovare la particella in ogni punto dello spazio.
Prendiamo un'onda piana in una dimensione:
$\psi(x,t)=Ae^i[kx-\omega t]
il modulo quadro che dà la densità di probabilità è:
$|\psi(x,t)|^2=|A|^2$
quindi se grafichi la densità di probabilità ottieni una linea retta orizzontale a quota $A^2$. Dato che in parole povere si può dire che l'altezza della densità di probabilità in un punto x indica la probabilità di trovare la particella in quel punto, hai che in ogni punto dell'asse x hai la stessa probabilità di trovare la particella. Quindi la particella è delocalizzata perchè non sai dove si trova esattamente.
Supponiamo adesso di voler sapere il valore del momento della particella. Dobbiamo ricavarci la funzione d'onda del momento. Per fare questo facciamo una trasformata di Fourier della $\psi(x,t)$ e troviamo:
$\hat\psi(p,t)=C\delta(p,k)$
dove $C$ è una costante. Il grafico di questa funzione (e anche del suo modulo quadro) è diverso da zero solo nel punto p=k, quindi sai con certezza che la tua particella ha un momento pari a k.
Per quanto riguarda perchè il momento è dato dalla trasformata di fourier della posizione, considera che la soluzione dell'equazione di Schrodinger per una particella libera è un'onda piana che soddisfa la relazione:
$\omega=\frac{\hbar k^2}{2m}$
Inoltre l'equazione di Schrodinger è lineare, quindi qualsiasi combinazione lineare di onde piane che soddisfano questa relazione sarà soluzione. Questa combinazione lineare può essere scritta come:
$\Psi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sumA_j e^{i[k_j x-\omega(k_j)t]}$
Se adesso supponi di sommare infinite onde piane che distano tra loro di $dk$, allora $A_j$ diventa una funzione di k: $A_j -> A(k)dk$ e la somma diventa un integrale:
$\Psi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\intA(k)e^{i[kx-\omega(k)t]}dk$
se poni $g(k,t)=A(k)e^{-iwt}$ ottieni:
$\Psi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\intg(k,t)e^{ikx}dk$ $[1]$
Ora, le funzioni $e^{ikx}$ formano una base per le funzioni definite da R in R (esattamente come (1,0) e (0,1) formano una base per i vettori di $R^2$). Nell'integrale precedente hai scomposto la funzione $\Psi(x,t)$ nella base di questi esponenziali, cioè vedi la $\Psi$ come combinazione lineare delle funzioni di base $e^{ikx}$, dove il coefficiente della k-esima funzione di base è g(k).
Nota che $e^{ikx}$ è una base dello spazio dei momenti, perchè dipende da k che rappresenta il momento.
Il postulato di decomposizione spettrale afferma che la probabilità di ottenere un valore $\bark$ lo ottieni espandendo la funzione d'onda nella base dei momenti (che è $e^{ikx}$) e prendendo il modulo quadro del coefficiente associato alla base $\bark$-esima, cioè:
$|g(\bark,t)|^2$
Dalla formula $[1]$ vedi che la funzione $g(k,t)$ è la trasformata di Fourier della funzione d'onda spaziale.
E' questo che non ti era chiaro?
"Eredir":
[quote="lucagalbu"]Uhm.. secondo me non è vero che c'è un'eguale possibilità di trovare la particella in ogni punto... semplicemente hai un infinità di punti in cui hai una certa probabilità diversa da 0 di trovare la particlella;
Questo è errato, c'è un'uguale probabilità di trovare la particella in ogni regione finita (poi tecnicamente non ha molto senso parlare di probabilità in un punto).
[/quote]
Mi hai preceduto eheh!
capito.Credo però mi manchi il passaggio piu importante:probabilmente mi è sfuggito qualcosa ma come si vede da queste formule che se la particella è completamente delocalizzata allora il momento è determinato?immagino si tratti del principio di indeterminazione di heisenberg che in effetti il libro dice derivi dalla trasformata di fourier...
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