Funzione d'onda e autovalori Hamiltoniana

[HaldoSax]

Buona sera a tutti, ho il seguente problema:

Data la seguente hamiltoniana di due particelle di spin 1/2 in 3 dimensioni:

\begin{equation}
H=\frac{\vec{p}^2}{2\mu}-\frac{e^2}{|\vec{x}|}+\frac{\lambda (\vec{s}^2-\vec{s_1}^2-\vec{s_2}^2)}{2}
\end{equation}

dove $\vec{s}=\vec{s_1}+\vec{s_2}$ è l'operatore spin totale del sistema, e $|\vec{x}|=|\vec{x_1}-\vec{x_2}|$

Determinare la dipendenza dal tempo in rappresentazione di Schrodinger per la funzione d'onda del sistema (relativa e di spin), supponendo che esso si trovi nello stato fondamentale e scriverne la funzione d'onda esplicitamente (la normalizzazione non è richiesta).

Soluzione

La funzione d’onda dello stato fondamentale è data dalla funzione d’onda dello stato fondamentale dell’atomo di idrogeno per la parte spaziale e dal singoletto antisimmetrico per la parte spinoriale, quindi:

\begin{equation}
\psi(\vec{x})=<\vec{x}|100;s,s_z>=\psi(\vec{x})_{100}\chi_{00}
\end{equation}

Evoluzione temporale:

\begin{equation}
\psi(\vec{x},t)=<\vec{x}|100;s,s_z;t>=<\vec{x}|S(t,0)|100;s,s_z;t=0>=e^{-\frac{i}{\hbar}Et}<\vec{x}|S(t,0)100;s,s_z;>=\psi(\vec{x})_{100}\chi_{00}
\end{equation}

Per scrivere la funzione d'onda applico l'equazione di Schrodinger:

\begin{equation}
\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}-\frac{2m}{\hbar^2}(\frac{e^2}{|\vec{x}|}-E)\psi=0
\end{equation}

Se fino a qua ho fatto tutto giusto, ho due domande:
Prima domanda: Come faccio a trovare gli autovalori di E?
Seconda domanda: Come si risolve l'equazione differenziale? ho provato a utilizzare il metodo di Eulero ma non ne vengo a capo.

Grazie mille e buona serata a tutti

[Studente Anonimo]

Mi sembra un potenziale coulombiano. Se è così, la trattazione del problema è in letteratura (funzioni sferiche ecc.)