Funzione d'onda di una particella libera nello spazio delle quantità di moto

[Calvin]

Ciao, devo risolvere un problema relativamente semplice, ma credo ci sia qualche errore nel mio ragionamento.
Abbiamo una particella libera di massa m che si muove di moto unidimensionale.
La soluzione dell'equazione di Schroedinger all'istante iniziale è:

$ psi (x,0)=Ae^(-(x^2)/(a^2)) $

Bisogna determinare l'ampiezza di probabilità all'istante iniziale nello spazio delle quantità di moto, cioè $ psi (p,0) $ .
Siccome per una particella libera si ha:

$ psi (x,t)= 1/sqrt(2pi) int_(-oo )^(+oo) hat(phi)(k)e^(i(kx-omega t)) dk $

$ psi (x,0)= 1/sqrt(2pi) int_(-oo )^(+oo) hat(phi)(k)e^(ikx) dk $

Ho calcolato $ hat(phi)(k) $ (che coincide con $ hat(psi)(k,0) $ ) facendo la trasformata di Fourier della condizione iniziale che mi dava il problema, ottenendo:

$ hat(psi)(k,0)= (Aa)/sqrt2 e^(-(k^2a^2)/4) $

e poi pensavo che, esplicitando che $ k = 2pip/h $ avrei ottenuto la funzione di p che cercavo. In realtà nel risultato, oltre a questo cambio di variabile, dovrebbe comparire un h tagliato sotto la radice insieme al 2. Forse per ottenere una funzione d'onda dipendente dalle p bisogna seguire un procedimento diverso dall'inizio?

[dissonance]

Penso ci sia un errore nella normalizzazione della trasformata di Fourier, dovrebbe comparire un $\hbar$ da qualche parte nell'esponenziale.

[Calvin]

Intendi l'esponenziale nell'integrale che definisce la trasformata?

[dissonance]

Si. Anche dimensionalmente lo vedi: $k$ ha le dimensioni del momento ($M*L*T^{-1}$) mentre $x$ ha le dimensioni della lunghezza ($L$) quindi il prodotto $kx$ non è adimensionale e non può essere argomento di una esponenziale. Ci vuole una costante che normalizzi le dimensioni e credo che sia una potenza di \(\hbar\).

[Calvin]

Ma k non dovrebbe essere l'inverso di una lunghezza?

[dissonance]

Hai ragione. Ignora il mio commento precedente, stai facendo bene. Ho provato a fare lo stesso calcolo e ottengo il tuo stesso risultato. L'errore sta nel fatto che la "giusta" normalizzazione della trasformata di Fourier, in QM, è \(\frac 1 {2\pi\hbar}\) e non \(\frac 1{2\pi}\).

[dissonance]

(Vedi Sakurai-Napolitano "Modern quantum mechanics" 3a edizione, pag. 54, formula (1.7.34a))

[Calvin]

Ok, grazie! Alla fine se il cambio di variabile da k a p venisse richiesto "dall'inizio" (cioè proprio quando uno vuole costruire la serie di Fourier di una funzione su tutta la retta reale, fa il limite, definisce la trasformata etc...) allora mi trovo che il fattore di normalizzazione sarebbe proprio $ 1/sqrt(2pibar(h) ) $ .