Funzione di partizione ed energia in meccanica statistica
Studiando la meccanica statistica mi sono trovata davanti alla funzione di partizione scritta nel seguente modo:
$Z=inte^(-epsilon_s/(K_BT))d{x}d{p}$
Non riesco a capire se è una definizione che si dà o ci si arriva facendo varie osservazioni..
E poi $d{x}d{p}$ dove penso che $p$ indichi la quantità di moto, sta ad indicare che consideriamo tutto lo spazio delle fasi?
Utilizzando questo tipo di scrittura, l'energia vale:
$U=(intepsilon_se^(-epsilon_s/(K_BT))d{ })/(inte^(-epsilon_s/(K_BT))d{ })$
(riporto in modo uguale dagli appunti che ho)
Ma non ho capito il perché l'energia si possa scrivere in questo modo e che $d{ }$ va all'interno della formula.
Grazie a tutti
$Z=inte^(-epsilon_s/(K_BT))d{x}d{p}$
Non riesco a capire se è una definizione che si dà o ci si arriva facendo varie osservazioni..
E poi $d{x}d{p}$ dove penso che $p$ indichi la quantità di moto, sta ad indicare che consideriamo tutto lo spazio delle fasi?
Utilizzando questo tipo di scrittura, l'energia vale:
$U=(intepsilon_se^(-epsilon_s/(K_BT))d{ })/(inte^(-epsilon_s/(K_BT))d{ })$
(riporto in modo uguale dagli appunti che ho)
Ma non ho capito il perché l'energia si possa scrivere in questo modo e che $d{ }$ va all'interno della formula.
Grazie a tutti
Risposte
"leena":
Studiando la meccanica statistica mi sono trovata davanti alla funzione di partizione scritta nel seguente modo:
$Z=inte^(-epsilon_s/(K_BT))d{x}d{p}$
Non riesco a capire se è una definizione che si dà o ci si arriva facendo varie osservazioni..
E' una definizione. Particolarmente comoda perchè attraverso la $Z$ riesci a calcolare tutte le grandezze termodinamiche di interesse (energia, entropia, pressione...) in termini delle sue derivate.
"leena":
E poi $d{x}d{p}$ dove penso che $p$ indichi la quantità di moto, sta ad indicare che consideriamo tutto lo spazio delle fasi?
Quello attraverso gli integrali nello spazio delle fasi è un modo di scrivere quella somma sugli stati che citavi in un post qualche tempo fa (qui)....si chiama limite del continuo....
"leena":
Ma non ho capito il perché l'energia si possa scrivere in questo modo e che $d{ }$ va all'interno della formula.
Supponendo che quello che tu chiami $\epsilon_s$ sia l'energia dello stato di momento $p$ e posizione $x$ (dove per un sistema di $N$ particelle tridimensionali $p,x \in RR^(3N)$) hai che il tuo $d{}$ diventa l'elemento di volume dello spazio delle fasi $V^N \ x \ RR^(3N)$, cioè esplicitamente
$d{}= d \vec p_1 d \vec p_2 ... d \vec p_N \ d \vec x_1 d \vec x_2 ... d \vec x_N$
Siccome stai lavorando nell'insieme canonico (perchè si conserva il numero di particelle ma non l'energia, siccome sei in equilibrio con il "termostato") sai che la distribuzione di particelle nello spazio delle fasi vale
$\rho_c (p,x) = (e^(- (\epsilon(p,x))/(kT)))/(Z)$
e che la media di una variabile dinamica $f=f(p,x)$ si calcola come (e questo è un fatto generale della statistica)
$
Ora che hai tutti gli ingredienti puoi fare la fisica, cioè affermare che l'energia macroscopica del sistema $U$ è data dalla media, fatta come in (1), dell'energia del sistema. E quindi
$U = <\epsilon> =1/Z \int \epsilon \ e^(- (\epsilon(p,x))/(kT)) \ dp \ dx$
Grazie mille, non so davvero come ringraziarti, leggendo ora ciò che mi hai scritto mi suona tutto ovvio.
Eppure sono stata ore su queste formule e non riuscivo a collegare nulla.
Sarà che sto prendendo in antipatia questo esame.. Non so
Grazie ancora
Eppure sono stata ore su queste formule e non riuscivo a collegare nulla.
Sarà che sto prendendo in antipatia questo esame.. Non so
Grazie ancora
Scusa se ti disturbo ancora, ora ho la funzione di partizione scritta nel seguente modo:
$Z=1/(N!)inte^(-betaepsilon)d{x}d{p}$
dove $beta=1/(K_BT)$
Con quel N! ora si intende che le particelle sono indistinguibili.. Giusto?
Ora la voglio scrivere in funzione dell'energia esplicitata nel seguente modo:
$epsilon=\sum_{i=1}^(N)(\vecp_i^2)/(2m)$
e quindi Z diventa:
$Z=1/(N!)inte^(-beta*\sum_{i=1}^(N)(\vecp_i^2)/(2m))d{x}d{p}$
Ora ho questo passaggio che non mi è chiaro:
$Z=V^N/(N!)intprod_{i=1}^(N)e^(-beta*(\vecp_i^2)/(2m))d{ }$
Da dove esce quel $V^N$?
Grazie ancora..
$Z=1/(N!)inte^(-betaepsilon)d{x}d{p}$
dove $beta=1/(K_BT)$
Con quel N! ora si intende che le particelle sono indistinguibili.. Giusto?
Ora la voglio scrivere in funzione dell'energia esplicitata nel seguente modo:
$epsilon=\sum_{i=1}^(N)(\vecp_i^2)/(2m)$
e quindi Z diventa:
$Z=1/(N!)inte^(-beta*\sum_{i=1}^(N)(\vecp_i^2)/(2m))d{x}d{p}$
Ora ho questo passaggio che non mi è chiaro:
$Z=V^N/(N!)intprod_{i=1}^(N)e^(-beta*(\vecp_i^2)/(2m))d{ }$
Da dove esce quel $V^N$?
Grazie ancora..
intanto si....la $N!$ indica che stai considerando particelle indistinguibili. Poi per come la vedo io ti manca il fattore $h^(-d)$ dove $h$ è la costante di Planck e $d$ è il numero di gradi di libertà del sistema, in questo caso $3N$. Quel fattore $V^N$ ti viene dall'integrale sulle posizioni. Infatti se ricordi la definizione $d{x} = d \vec x_1 \ d \vec x_2 \ ... \ d \vec x_N$. Quando vai a fare l'integrale, siccome l'integranda non dipende da nessuna delle posizioni, puoi fattorizzare nel prodotto di $N$ integrali sul volume $V$. E il risultato è $N$ volte il volume, cioè $V^N$. Ti torna?
Poi, giusto per puntualizzare, stai attenta che nella maggior parte della letteratura come argomento dell'esponenziale trovi l'espressione $- \beta H(p,x)$. Immagino che avrai seguito un corso di meccanica analitica (o razionale) e quindi saprai che con $H(p,x)$ si intende l'Hamiltoniana del sistema, che nella maggior parte dei casi di interesse coincide con l'energia del sistema. Quindi puoi salvare la tua notazione.
Poi, giusto per puntualizzare, stai attenta che nella maggior parte della letteratura come argomento dell'esponenziale trovi l'espressione $- \beta H(p,x)$. Immagino che avrai seguito un corso di meccanica analitica (o razionale) e quindi saprai che con $H(p,x)$ si intende l'Hamiltoniana del sistema, che nella maggior parte dei casi di interesse coincide con l'energia del sistema. Quindi puoi salvare la tua notazione.
Si si ora mi torna.. Grazie. Il problema è che il prof ha lasciato tutti i differenziali con le parentesi vuote, senza specificare a chi si riferissero e sul libro che ci ha dato come riferimento questi passaggi non ci sono.
Per quanto riguarda la seconda parte, non ho proprio idea di cosa tu mi abbia detto, questo argomento fa parte di un esame di Fisica Moderna.
L'importante è che ho risolto quest'altro dubbio!!!
Grazie grazie grazie
Per quanto riguarda la seconda parte, non ho proprio idea di cosa tu mi abbia detto, questo argomento fa parte di un esame di Fisica Moderna.
L'importante è che ho risolto quest'altro dubbio!!!
Grazie grazie grazie
Ok......ignora il secondo commento.......per curiosità: tu cosa studi?
Studio matematica, ma tu dove hai studiato questi argomenti?
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