Funzione di Hamilton?

[Giugi921]

Non capisco la dimostrazione della funzione Hamiltoniana; data L=T-V (funzione di Lagrange) e q= coordinata libera, la funzione H di Hamilton è: $ H=((partial L)/(partial \dot(q)))dot(q) -L $ ; Il teorema dice che per un sistema olonomo ideale conservativo vale: se $ (partial L)/(partial \t)=0 $ $ H=COST $
DIMOSTRAZIONE:
$ (dH)/(dt)=d/dt[(partial L)/(partial dot(q) )-L] $ $ =d/dt((partial L)/(partial dot(q)) )dot(q) +(partial L)/(partial dot(q) )*ddot(q) -((partial L)/(partial q)*dot(q) +(partialL)/(partial dot(q))*ddot(q)+(partial L)/(partial t)) $ quindi: $ (dH)/dt=-(partial L)/(partial t) $ ; non ho capito il secondo pezzo della seconda parte della dimostrazione..qualcuno me la potrebbe spiegare? Grazie mille.

[mathbells]

"Giugi92":
DIMOSTRAZIONE:
$ (dH)/(dt)=d/dt[(partial L)/(partial dot(q) )-L] $ $ =d/dt((partial L)/(partial dot(q)) )dot(q) +(partial L)/(partial dot(q) )*ddot(q) -((partial L)/(partial q)*dot(q) +(partialL)/(partial dot(q))*ddot(q)+(partial L)/(partial t)) $ quindi: $ (dH)/dt=-(partial L)/(partial t) $ ; non ho capito il secondo pezzo della seconda parte della dimostrazione..qualcuno me la potrebbe spiegare? Grazie mille.

Poiché valgono le equazioni di Eulero-Lagrange, si ha che

\(\displaystyle \frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot q})=\frac{\partial L}{\partial q} \)

che, sostituita nell'espressione sopra (ultima ugualglianza) e semplificando i termini che si elidono, ti fornisce appunto

$ (dH)/dt=-(partial L)/(partial t) $

Ma poiché per ipotesi $ (partial L)/(partial t) =0$, segue che anche $ (dH)/dt=0 $ il che significa che H è una costante del moto

[Giugi921]

grazie, però continuo a non capire,nella seconda eguaglianza, come si ricava tutto quello che sta dentro la parentesi tonda, dopo il "meno"! Non capisco, in sostanza, come esprime il $ -(dL)/dt $ ! grazie ancora

[Giugi921]

"Giugi92":grazie, però continuo a non capire,nella seconda eguaglianza, come si ricava tutto quello che sta dentro la parentesi tonda, dopo il "meno"! Non capisco, in sostanza, come esprime il $ -(dL)/dt $ ! grazie ancora

Forse ho capito (però avrei bisogno di una conferma): dato che $ L=L(q1,..,qn,dot(q)1,..,dot(q)n,t) $ allora segue che $ -(dL)/dt $ si esprime come : $ -((partial L)/(partial q)*dot(q) +(partial L)/(partial dot(q))ddot(q) +(partial L)/(partial t)) $
giusto?

[mathbells]

"Giugi92":Non capisco, in sostanza, come esprime il \(\displaystyle \frac{dL}{dt} \)

Ha semplicemente applicato la regola di derivazione totale. In generale, se hai una funzione di tre (ma in generale di n) variabili \(\displaystyle f(x,y,z) \), e ciascuna variabile è a sua volta funzione di una quarta variabile, ad esempio del tempo \(\displaystyle x(t), y(t), z(t) \), allora la \(\displaystyle f \) la puoi vedere anche come una funzione del tempo \(\displaystyle f(t)=f(x(t),y(t),z(t)) \) e la sua derivata rispetto al tempo (che si chiama derivata totale rispetto al tempo) e si scrive

\(\displaystyle \frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\dot x+\frac{\partial f}{\partial y}\dot y+\frac{\partial f}{\partial z}\dot z \)

Nella dimostrazione lui ha applicato questa regola alla funzione

\(\displaystyle L(q(t),\dot q(t), t) \)

[Giugi921]

l'ho capito solo adesso:D grazie mille!