Frequenza di un elettrone che scende di livello in un atomo di idrogeno

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Nella descrizione quantistica dell’atomo di idrogeno, per orbite circolari dell’elettrone sufficientemente
grandi, il momento angolare dell’elettrone rispetto al protone assume valori discreti di modulo Ln = h2πn ,
dove h `e la costante di Planck ed n un intero abbastanza grande. Applicando questa condizione a normali considerazioni di meccanica classica, calcolare al variare di n le corrispondenti energie En e le frequenze di rotazione νn dell’elettrone, nota la sua carica e e la sua massa m.
Saltando da un livello di energia En a quello adiacente En−1, l’atomo emette un quanto di luce di
frequenza νm = (En − En−1) /h. In che relazione stanno νn e νm?

Soluzione:
Usando T = 2πr/v e L = mvr e eguagliando la forza centrifuga a quella Coulombiana , si ottiene $E_n = me^4/(8\epsilon^2n^2h^2)$ e $\nu_n = me^4/(4h^3n^3\epsilon^2)$ con $\nu_n ≃ \nu_m$ per grandi n, perché $1/n^2 - 1/(n-1)^2 ≃ 2/n^3$

Ad essere onesto, a me risulta $E_n = me^4/(2\epsilon^2n^2h^2)$ e $\nu_n = me^4/(h^3n^3\epsilon^2)$. Al di là di questo (anche se mi piacerebbe capire qual è l'errore, o se magari hanno sbagliato quelli che hanno scritto la soluzione), non riesco a capire come ottenere la relazione fra le due frequenze, visto che ponendo semplicemente $\nu_n/\nu_m$ ottengo altri risultati.

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UP

[porzio1]

$mv^2/r=1/(4piepsilon_0)e^2/r^2$ ,cioè $K=1/2mv^2=1/(8piepsilon_0)e^2/r$

l'energia potenziale dell'elettrone è $U= -1/(4piepsilon_0)e^2/r$

quindi,l'energia totale dell'elettrone è $U+K= -1/(8piepsilon_0)e^2/r$

il raggio $r_n$ dell'n-sima orbita quantizzata è dato dall'espressione $r_n=n^2 (epsilon_0h^2)/(pime^2)$

$E_n=-1/(8piepsilon_0)e^2/r_n=-1/n^2(me^4)/(8epsilon_0^2h^2)$