Forze conservative e gradiente di energia potenziale
Mi stanno sorgendo diversi interrogativi riguardo alle forze conservative, in particolare riguardo alla loro definizione. Nelle dispense fornite dal mio professore, viene affermato che una forza è definita conservativa quando è uguale all'opposto del gradiente dell'energia potenziale, cioè \(\displaystyle \vec{f} = -\nabla \mathbf{U} \). Sarebbe possibile per qualcuno spiegarmi il motivo di questa definizione? Inoltre, sarei interessato ad approfondire il concetto di gradiente dell'energia potenziale e alla sua relazione con le forze conservative. Gradirei se qualcuno potesse fornire una spiegazione più dettagliata in merito.
Risposte
Puoi guardare in questo post, dove c'era una domanda simile.
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... e#p8626137
In generale si dimostra (T. di Stokes) che se un campo (forza) vettoriale è conservativo ovvero la sua circuitazione attraverso una qualunque linea chiusa è nulla allora esiste una funzione scalare detta "potenziale" che:
1) permette attraverso il suo gradiente di ricavare il campo stesso e questa è una grossa semplificazione perchè invece di 3 funzioni ne uso una sola
2) il lavoro ovvero la circuitazione del campo fatto tra due punti è pari alla variazione della suddetta funzione.
Il segno negativo è poi un discorso di convenzione per distinguere il "potenziale" dall'"energia potenziale".
La forza peso è un ottimo esempio per capire il perchè. Il potenziale della forza peso è $-mg*z$, e infatti derivando ottengo $-mg*u_z$ (dove $u_z$ è il versore dell'asse z rivolto verso l'alto), mentre l'energia potenziale è definita notoriamente come $mgz$, e di nuovo derivando e cambiando segno ottengo $-mg*u_z$.
Ritornando al discorso principale puoi vedere il tutto come un'estensione al caso multivariabile del T. Fondamentale del Calcolo Integrale, dove l'area sottesa (in questo caso la circuitazione) ad una funzione f(x) (in questo caso la forza o il campo) era data dalla differenza tra i valori finali e iniziali della primitiva (in questo caso il "potenziale") che era quella funzione la cui derivata (in questo caso il gradiente) era pari a f(x).
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... e#p8626137
In generale si dimostra (T. di Stokes) che se un campo (forza) vettoriale è conservativo ovvero la sua circuitazione attraverso una qualunque linea chiusa è nulla allora esiste una funzione scalare detta "potenziale" che:
1) permette attraverso il suo gradiente di ricavare il campo stesso e questa è una grossa semplificazione perchè invece di 3 funzioni ne uso una sola
2) il lavoro ovvero la circuitazione del campo fatto tra due punti è pari alla variazione della suddetta funzione.
Il segno negativo è poi un discorso di convenzione per distinguere il "potenziale" dall'"energia potenziale".
La forza peso è un ottimo esempio per capire il perchè. Il potenziale della forza peso è $-mg*z$, e infatti derivando ottengo $-mg*u_z$ (dove $u_z$ è il versore dell'asse z rivolto verso l'alto), mentre l'energia potenziale è definita notoriamente come $mgz$, e di nuovo derivando e cambiando segno ottengo $-mg*u_z$.
Ritornando al discorso principale puoi vedere il tutto come un'estensione al caso multivariabile del T. Fondamentale del Calcolo Integrale, dove l'area sottesa (in questo caso la circuitazione) ad una funzione f(x) (in questo caso la forza o il campo) era data dalla differenza tra i valori finali e iniziali della primitiva (in questo caso il "potenziale") che era quella funzione la cui derivata (in questo caso il gradiente) era pari a f(x).
Grazie mille per la risposta! Ora mi sono molto più chiari i concetti. Vedrò di approfondire lo studio del T. di Stokes 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo