Forze conservative e gradiente
Salve a tutti,
sto studiando l'espressione di una forza conservativa come gradiente dell'energia potenziale, e nel ragionamento che fa il libro (uso "Meccanica Classica" di Taylor, se può essere utile) c'è un passaggio che non capisco; forse avrei dovuto postare su analisi perché credo che la mia incomprensione sia dovuta a una piccola lacuna matematica, ma chiedo qua perché mi serve una spiegazione semplice e dritta al punto, non astratta e di piena di definizioni, tipica dei matematici!!
Io so che posso esprimere così il lavoro fatto da una forza conservativa in un tratto infinitesimo $dr$ :
$W(r->dr)=-((delU)/(delx)dx+(delU)/(dely)dy+(delU)/(delz)dz)$
dove $W$ è il lavoro, e $U$ è l'energia potenziale in $x+dx$.
Se poi considero lo spostamento $dr$ lungo l'asse x, le altre componenti si annullano e rimane:
$W(x->x+dx)=\int_(x)^(x+dx)F_x dx =-((delU)/(delx)dx)$
E fino a qui tutto ok; solo che poi il libro dice che, da qui, è $F_x=-(delU)/(delx)$ , e non ho capito perché!
Chiedo scusa se è un passaggio stupido, ma mi ci sono bloccata da stamattina e non so a chi altri chiedere!
Grazie in anticipo,
Valentina
sto studiando l'espressione di una forza conservativa come gradiente dell'energia potenziale, e nel ragionamento che fa il libro (uso "Meccanica Classica" di Taylor, se può essere utile) c'è un passaggio che non capisco; forse avrei dovuto postare su analisi perché credo che la mia incomprensione sia dovuta a una piccola lacuna matematica, ma chiedo qua perché mi serve una spiegazione semplice e dritta al punto, non astratta e di piena di definizioni, tipica dei matematici!!
Io so che posso esprimere così il lavoro fatto da una forza conservativa in un tratto infinitesimo $dr$ :
$W(r->dr)=-((delU)/(delx)dx+(delU)/(dely)dy+(delU)/(delz)dz)$
dove $W$ è il lavoro, e $U$ è l'energia potenziale in $x+dx$.
Se poi considero lo spostamento $dr$ lungo l'asse x, le altre componenti si annullano e rimane:
$W(x->x+dx)=\int_(x)^(x+dx)F_x dx =-((delU)/(delx)dx)$
E fino a qui tutto ok; solo che poi il libro dice che, da qui, è $F_x=-(delU)/(delx)$ , e non ho capito perché!
Chiedo scusa se è un passaggio stupido, ma mi ci sono bloccata da stamattina e non so a chi altri chiedere!
Grazie in anticipo,
Valentina
Risposte
allora come dici tu i matematici fanno difficili le cose semplici, si divertono così 
il discorso è semplicemente questo: il lavoro $L=-DeltaU$
ovvero il lavoro è definito come $L=U(a)-U(b)$
sicuramente saprai che $L=F*Deltax=-DeltaU$
se fai tendere il delta a zero ottieni $Deltax->dx$ da cui $Fdx=-dU$ e infine $F=-dU/dx$
che diventa $F_x=-(partialU)/(partialx)$ nel caso in cui sei in più dimensioni $F=F(vecv)$
$int_x^(x+dx)F_xdx=-DeltaU|_x^(x+dx)=U(x)-U(x+dx)=-dU=-(partialU)/(partialx)dx$
dimmi pure se qualcosa non ti è chiaro...comunque ci vuole unpò di tempo per prendere confidenza con i differenziali, non preoccuparti se non ti è chiaro subito tutto
il discorso è semplicemente questo: il lavoro $L=-DeltaU$
ovvero il lavoro è definito come $L=U(a)-U(b)$
sicuramente saprai che $L=F*Deltax=-DeltaU$
se fai tendere il delta a zero ottieni $Deltax->dx$ da cui $Fdx=-dU$ e infine $F=-dU/dx$
che diventa $F_x=-(partialU)/(partialx)$ nel caso in cui sei in più dimensioni $F=F(vecv)$
$int_x^(x+dx)F_xdx=-DeltaU|_x^(x+dx)=U(x)-U(x+dx)=-dU=-(partialU)/(partialx)dx$
dimmi pure se qualcosa non ti è chiaro...comunque ci vuole unpò di tempo per prendere confidenza con i differenziali, non preoccuparti se non ti è chiaro subito tutto
Innanzi tutto grazie; mi ero confusa nel momento in cui passavo dalle parti finite a infinitesime!
Ok, questo l'ho capito;
Ma come si fa ad arrivare a quel risultato passando per qui? (E' vero, brutto affare i differenziali
)
"Petruccioli":
se fai tendere il delta a zero ottieni $Deltax->dx$ da cui $Fdx=-dU$ e infine $F=-dU/dx$
che diventa $F_x=-(partialU)/(partialx)$
Ok, questo l'ho capito;
"Petruccioli":
$int_x^(x+dx)F_xdx=-DeltaU|_x^(x+dx)=U(x)-U(x+dx)=-dU=-(partialU)/(partialx)dx$
Ma come si fa ad arrivare a quel risultato passando per qui? (E' vero, brutto affare i differenziali
)
la forza per un tratto infinitesimo si considera costante, quindi la porti fuori dall'integrale. ad ogni modo quello che importa è la relazione = -dU, da cui ricavi l'espressione che ti serve. personalmente lascerei stare l'integrazione sul tratto (x, x+dx)
ma quando si passa dalle quantità finite a quelle infinitesime non bisogna mettere l'integrale? Cioè se il lavoro fatto da una forza in uno spostamento finito è $F*dx$ , quello fatto in uno spostamento infinitesimo non è $\intF dx$? Oppure posso dire che è $\int_0^dxFdx$ che quindi è uguale a $F\int_0^dxdx=Fdx$ ? Così verrebbe, è corretto?
quando passi a quantità infinitesime la funzione integranda la puoi considerare costante, perchè la stai valutando su un intervallo così piccolo da essere quasi approssimabile ad un punto. questa cosa vale per funzioni "abbastanza" regolari, diciamo per tutte quelle che vedrai in fisica
Quindi lascio stare il discorso dell'integrazione, e dico semplicemente che $Fdx=-(delU)/(delx)dx $ ?
detto in modo molto barbaro da far rabbrividire un matematico, sai che F_x dx = -dU: se dividi per dx ambo i membri ottieni l'espressione che cerchi. volendo fare le cose per bene ci sono i libri di analisi 2
"valentina92":
ma quando si passa dalle quantità finite a quelle infinitesime non bisogna mettere l'integrale? Cioè se il lavoro fatto da una forza in uno spostamento finito è $F*dx$ , quello fatto in uno spostamento infinitesimo non è $\intF dx$?
Ragazzi scusate per l'intromissione : Valentina, è vero proprio il contrario! enr87 te lo ha spiegato bene.
aah ho sbagliato a scrivere, volevo dire che lo se lo spostamento è finito è $F\Deltax$!! Grazie mille, anche io avevo pensato così (quel modo da far rabbrividire un matematico) ma mi ero sentita in colpa, eheh 
Adesso ho capito. Grazie mille!!
Adesso ho capito. Grazie mille!!
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