Forze conservative
Ed eccoci anche oggi con un problema matematico in un problema di meccanica 
Si ha quindi un triangolo rettangolo con A nel vertice del sistema cartesiano, B e ipotenusa formata dal segmento AB della retta passante per questi due punti e BC parallelo all'asse y.
Per calcolare il lavoro svolge il seguente passaggio
$W_AB=int_A^B axy dx+int_A^B a/2x^2 dy$
Poi dice quando mi muovo su y=2x ->dy=2dx e sostituendo
$W_AB=int_A^B axy dx+int_A^B a/2x^2 *(2dx)$
Argh: ma cosa è successo matematicamente? Posso davvero cambiare un integrale da y a x con questo trucco. Non riesco a mandare giù questo boccone amaro. Non riesco a capirlo e formalizzarlo. (primo problema)
Molto più avanti nella spiegazione per verificare che non sia conservativa asserisce, essendo:
$F_x=-(dU)/dx$ e
$F_y=-(dU)/dy$
Che il gradiente di U, cambiato di segno sia la forza lo so, però ora viene una cosa che in teoria non abbiamo fatto ma il Prof. di esercitazione fa ed è il seguente..
scelgo una delle due formule qui sopra e:
$(dF_x)/dy=>(d^2U)/(dxdy)=(d^2U)/(dydx)$
cioè se le derivate parziali miste del secondo ordine hanno la proprietà di essere identiche, ma la domanda è: perché? :O
Vi ringrazio come sempre.
Si ha quindi un triangolo rettangolo con A nel vertice del sistema cartesiano, B e ipotenusa formata dal segmento AB della retta passante per questi due punti e BC parallelo all'asse y.
Per calcolare il lavoro svolge il seguente passaggio
$W_AB=int_A^B axy dx+int_A^B a/2x^2 dy$
Poi dice quando mi muovo su y=2x ->dy=2dx e sostituendo
$W_AB=int_A^B axy dx+int_A^B a/2x^2 *(2dx)$
Argh: ma cosa è successo matematicamente? Posso davvero cambiare un integrale da y a x con questo trucco. Non riesco a mandare giù questo boccone amaro. Non riesco a capirlo e formalizzarlo. (primo problema)
Molto più avanti nella spiegazione per verificare che non sia conservativa asserisce, essendo:
$F_x=-(dU)/dx$ e
$F_y=-(dU)/dy$
Che il gradiente di U, cambiato di segno sia la forza lo so, però ora viene una cosa che in teoria non abbiamo fatto ma il Prof. di esercitazione fa ed è il seguente..
scelgo una delle due formule qui sopra e:
$(dF_x)/dy=>(d^2U)/(dxdy)=(d^2U)/(dydx)$
cioè se le derivate parziali miste del secondo ordine hanno la proprietà di essere identiche, ma la domanda è: perché? :O
Vi ringrazio come sempre.
Risposte
Per il primo punto, l'operazione e' legittima. Poiche la y varia con 2x, la dy varia con 2dx.
Per il secondo punto, prendilo per buono, si chiama teorema di Schwarz.
Molto più avanti nella spiegazione per verificare che non sia conservativa asserisce, essendo:
Il campo dato', e' conservativo.
Quindi sul percorso chiuso il lavoro A-B-C-A il lavoro e' nullo.
Per il secondo punto, prendilo per buono, si chiama teorema di Schwarz.
Molto più avanti nella spiegazione per verificare che non sia conservativa asserisce, essendo:
Il campo dato', e' conservativo.
Quindi sul percorso chiuso il lavoro A-B-C-A il lavoro e' nullo.
Innanzitutto grazie,
Grazie per la precisazione, volevo dire che utilizza quel metodo delle derivate miste per verificare che è conservativo o non consevativo. Diciamo che conosco quel teorema per l'hessiana in analisi II, ma non riesco a capire il collegamento col garantirmi che sia conservativa la forza se le derivate parziali coincidono; mentre non sarebbe conservativo se non coincidessero.
Per quanto invece riguarda il giochetto sulla dy, prendendo il concetto di differenziale formale dell'analisi non riesco a vedere che giochetto abbia attuato. Intuitivamente e geometricamente ok, ma formalmente non capisco.
Grazie
Grazie per la precisazione, volevo dire che utilizza quel metodo delle derivate miste per verificare che è conservativo o non consevativo. Diciamo che conosco quel teorema per l'hessiana in analisi II, ma non riesco a capire il collegamento col garantirmi che sia conservativa la forza se le derivate parziali coincidono; mentre non sarebbe conservativo se non coincidessero.
Per quanto invece riguarda il giochetto sulla dy, prendendo il concetto di differenziale formale dell'analisi non riesco a vedere che giochetto abbia attuato. Intuitivamente e geometricamente ok, ma formalmente non capisco.
Grazie
Quando l'integrale di linea $f_1(x,y,z)dx+f_2(x,y,z)dy+f_3(x,y,z)dz$ e' in generale dipendente dal percorso scelto.
Se il percorso e' indipendente allora esiste una funzione $V(x,y,z)$ tale che le derivate parziali siano
$ (partial V)/(partial x)=f_1(x,y,z) $
$(partial V)/(partial y)=f_2(x,y,z)$
$(partial V)/(partial z)=f_3(x,y,z)$
Allora si puo' scrivere che $dV=f_1(x,y,z)dx+f_2(x,y,z)dy+f_3(x,y,z)dz= (partial V)/(partial x)dx+(partial V)/(partial y)dy+(partial V)/(partial z)dz$
Una condizione necessaria (ma non sufficiente) affinche questo accada e' che le 3 derivate parziali miste siano identiche. Ne scrivo una per esempio
$ (partial^2 V)/(partial xpartialy) = (partial^2 V)/(partial ypartialx) $. Questo e' per il teorema di Schwarz (che pero' io non saprei dimostrarti).
Ma $ (partial V)/(partial x)=f_1$ e derivando parzialmente rispetto a y entrambi i membri si ha:
$(partial^2 V)/(partial ypartialx) =[partialf_1]/[partialy]$
e si ha anche che
$ (partial V)/(partial y)=f_2$ che derivata rispetto a x a entrambi i membri da':
$(partial^2 V)/(partial xpartialy) =[partialf_2]/[partialx]$
Da cui risulta, per Schwarz, che deve essere:
$[partialf_1]/[partialy]=[partialf_2]/[partialx]$
Svolgendo gli altri calcoli, il set di condizioni per avere un differenziale esatto, e quindi l'esistenza del potenziale V e' dato da
$[partialf_1]/[partialy]=[partialf_2]/[partialx]$
$[partialf_2]/[partialz]=[partialf_3]/[partialy]$
$[partialf_1]/[partialz]=[partialf_3]/[partialx]$
Per quanto riguarda $y=2x$ non fa nessun giochetto. Applica la definizione di derivata
$dy=f'dx$ dove $f'=[df]/[dx]=2$
Se il percorso e' indipendente allora esiste una funzione $V(x,y,z)$ tale che le derivate parziali siano
$ (partial V)/(partial x)=f_1(x,y,z) $
$(partial V)/(partial y)=f_2(x,y,z)$
$(partial V)/(partial z)=f_3(x,y,z)$
Allora si puo' scrivere che $dV=f_1(x,y,z)dx+f_2(x,y,z)dy+f_3(x,y,z)dz= (partial V)/(partial x)dx+(partial V)/(partial y)dy+(partial V)/(partial z)dz$
Una condizione necessaria (ma non sufficiente) affinche questo accada e' che le 3 derivate parziali miste siano identiche. Ne scrivo una per esempio
$ (partial^2 V)/(partial xpartialy) = (partial^2 V)/(partial ypartialx) $. Questo e' per il teorema di Schwarz (che pero' io non saprei dimostrarti).
Ma $ (partial V)/(partial x)=f_1$ e derivando parzialmente rispetto a y entrambi i membri si ha:
$(partial^2 V)/(partial ypartialx) =[partialf_1]/[partialy]$
e si ha anche che
$ (partial V)/(partial y)=f_2$ che derivata rispetto a x a entrambi i membri da':
$(partial^2 V)/(partial xpartialy) =[partialf_2]/[partialx]$
Da cui risulta, per Schwarz, che deve essere:
$[partialf_1]/[partialy]=[partialf_2]/[partialx]$
Svolgendo gli altri calcoli, il set di condizioni per avere un differenziale esatto, e quindi l'esistenza del potenziale V e' dato da
$[partialf_1]/[partialy]=[partialf_2]/[partialx]$
$[partialf_2]/[partialz]=[partialf_3]/[partialy]$
$[partialf_1]/[partialz]=[partialf_3]/[partialx]$
Per quanto riguarda $y=2x$ non fa nessun giochetto. Applica la definizione di derivata
$dy=f'dx$ dove $f'=[df]/[dx]=2$
Bellissimo grazie, domani me lo guardo con minuzia
Grazie tutto chiaro, solo due piccole cosette per fissare le idee:
1) mi dicevi che è una condizione necessaria ma non sufficiente. Però poi hai detto che se vale luguaglianza per quelle parziali è (=>) un differenziale esatto. Non ho capito quindi se è sufficiente verificare quelle tre uguaglianze per capire se sia un differenziale esatto (campo conservativo) o se sia una condizione necessaria debba fare anche altro.
2)
Quello mi era chiaro, più che altro non capivo la sostituzione all'interno del segno di integrale di dy come fosse una variabile (quando è solo un simbolo che indica per cosa integriamo), inoltre faccio un bel cambio: trasformo un integrale che definito su due estremi fissi per una funzione y in un integrale per un'altra funzione (stavolta in x) in cui mantengo fissi gli estremi.
Un bel giochetto a livello di analisi matematica intendo.
Grazie mille e buona domenica
1) mi dicevi che è una condizione necessaria ma non sufficiente. Però poi hai detto che se vale luguaglianza per quelle parziali è (=>) un differenziale esatto. Non ho capito quindi se è sufficiente verificare quelle tre uguaglianze per capire se sia un differenziale esatto (campo conservativo) o se sia una condizione necessaria debba fare anche altro.
2)
"professorkappa":
$dy=f'dx$ dove $f'=[df]/[dx]=2$
Quello mi era chiaro, più che altro non capivo la sostituzione all'interno del segno di integrale di dy come fosse una variabile (quando è solo un simbolo che indica per cosa integriamo), inoltre faccio un bel cambio: trasformo un integrale che definito su due estremi fissi per una funzione y in un integrale per un'altra funzione (stavolta in x) in cui mantengo fissi gli estremi.
Un bel giochetto a livello di analisi matematica intendo.
Grazie mille e buona domenica
La condizione e' necessaria, ma non sufficiente. Per la sufficienza, il campo deve essere semplicemente connesso (un arco chiuso deve poter collassare in un punto e ogni archetto infinitamente piccolo deve appartenere interamente al campo. In pratica il campo non deve avere buchi e deve essere definito su R.
Non e' vero che dy e' solo un simbolo per ricordarci su cosa integriamo. Dove l'hai sentita questa?
$dy$ e' proprio l'incremento che subisce la y quando fai variare la variabile x infinitesimalmente
Non e' vero che dy e' solo un simbolo per ricordarci su cosa integriamo. Dove l'hai sentita questa?
$dy$ e' proprio l'incremento che subisce la y quando fai variare la variabile x infinitesimalmente
Grazie,
Ok, perché l'esercitatore l'aveva applicato per verifica (quindi sufficienza) ci fosse la potenziale. Ma se esiste potenziale è conservativo. Fose ha fatto così proprio perché lo riteneva con ipotesi di connessione. (non saprei)
Da quelle cattive persone che sono i matematici viewtopic.php?f=36&t=112665
(scherzo ovviamente eh
)
"professorkappa":
La condizione e' necessaria, ma non sufficiente. Per la sufficienza, il campo deve essere semplicemente connesso (un arco chiuso deve poter collassare in un punto e ogni archetto infinitamente piccolo deve appartenere interamente al campo. In pratica il campo non deve avere buchi e deve essere definito su R.
Ok, perché l'esercitatore l'aveva applicato per verifica (quindi sufficienza) ci fosse la potenziale. Ma se esiste potenziale è conservativo. Fose ha fatto così proprio perché lo riteneva con ipotesi di connessione. (non saprei)
"professorkappa":
Non e' vero che dy e' solo un simbolo per ricordarci su cosa integriamo. Dove l'hai sentita questa?
$dy$ e' proprio l'incremento che subisce la y quando fai variare la variabile x infinitesimalmente
Da quelle cattive persone che sono i matematici viewtopic.php?f=36&t=112665
(scherzo ovviamente eh
)
Non mi trova d'accordo, ma d'altronde sono un ingegnere e non un matematico.
Per me $[df(x)]/[dx]$ e' la funzione "derivata della funzione $f(x)$". Il "numero" (valore dl coefficiente angolare della tangente in $x_0$ ti viene fuori quando sostiuisci a x il valore di $x_0$
Stesso discorso per l'integrale in cui ,ripeto, il dx serve a determinare l'area della superficie infinitesima che poi andra integrata su tutto l'intervallo.
Saro' un sempliciotto io...
Per me $[df(x)]/[dx]$ e' la funzione "derivata della funzione $f(x)$". Il "numero" (valore dl coefficiente angolare della tangente in $x_0$ ti viene fuori quando sostiuisci a x il valore di $x_0$
Stesso discorso per l'integrale in cui ,ripeto, il dx serve a determinare l'area della superficie infinitesima che poi andra integrata su tutto l'intervallo.
Saro' un sempliciotto io...
Sì, certo, intuitivamente la vedo anche io così, però so che matematicamente viene intesa in modo diverso. Più che altro per la formalizzazione che ne viene data della funzione integrale (anche in quella secondo Riemann la funzione a scala ecc..). E' più un retaggio storico quel dx, però, funziona anche vedendolo come "intervallino", insomma, fatico ancora a discernere formalità dell'analisi all'utilizzo fisico. Ma è più un problema mio..
Si tratta di elementari tecniche e metodi di integrazione...sembra che tu non abbia mai svolto qualche integrale doppio oppure integrale di linea.
Ciao Vulplasir,
Di linea non lo prevede il mio corso di analisi 2 purtroppo, ho fatto solo l'integrazione doppia e tripla settimana scorsa e sto iniziando ad esercitarmi in quelli da lunedì.
Diciamo che so calcolarli operativamente con coordinate polari, cambi di dominio ecc. Ma l'applciazione fisica mi sembra ben diversa, sorpattutto il ragionamento sulle forze conservative.
Anche la nozione di campo vettoriale conservativo matematico non mi è stata fatta (forse sarà in analisi 3 o in istituzioni matematiche, non saprei), ecco perché del dubbio per come applicare quei concetti al corso di Meccanica.
Di linea non lo prevede il mio corso di analisi 2 purtroppo, ho fatto solo l'integrazione doppia e tripla settimana scorsa e sto iniziando ad esercitarmi in quelli da lunedì.
Diciamo che so calcolarli operativamente con coordinate polari, cambi di dominio ecc. Ma l'applciazione fisica mi sembra ben diversa, sorpattutto il ragionamento sulle forze conservative.
Anche la nozione di campo vettoriale conservativo matematico non mi è stata fatta (forse sarà in analisi 3 o in istituzioni matematiche, non saprei), ecco perché del dubbio per come applicare quei concetti al corso di Meccanica.
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