Forza variabile su sistema ad un gdl
Buongiorno a tutti,
vorrei sottoporre alla vostra attenzione il seguente quesito e la soluzione che ho determinato.
Chiedo gentilmente l'aiuto di qualcuno per la soluzione dell'equazione del moto.
In un riferimento cartesiano ortogonale (O,x,y) è data un'asta OG, di lunghezza R. Sia m la massa dell'asta.
L'estremo O è incernierato nell'origine degli assi.
Sull'estremo G agisce una forza F rotante, con velocità angolare w (o, equivalentemente, è sottoposto alla forza orizzontale Fx = F sen(wt) e alla forza verticale Fy = F cos(wt) ).
E' chiesto di determinare (e possibilmente risolvere) l'equazione del moto.
La soluzione che ho tentato è basata sulla scrittura della Lagrangiana, espressa in funzione dell'angolo "a" che l'asta OG forma con l'asse y.
Si perviene all'equazione del moto:
a'' = F sen (wt + a)
dove l'apice denota la derivata rispetto al tempo.
Ammesso che sia corretta, non sono, però, in grado di risolvere l'equazione. Come scritto in precedenza sarei grato a chiunque fosse capace di darmi delle indicazioni su come risolvere l'equazione del moto.
Grazie in anticipo.
vorrei sottoporre alla vostra attenzione il seguente quesito e la soluzione che ho determinato.
Chiedo gentilmente l'aiuto di qualcuno per la soluzione dell'equazione del moto.
In un riferimento cartesiano ortogonale (O,x,y) è data un'asta OG, di lunghezza R. Sia m la massa dell'asta.
L'estremo O è incernierato nell'origine degli assi.
Sull'estremo G agisce una forza F rotante, con velocità angolare w (o, equivalentemente, è sottoposto alla forza orizzontale Fx = F sen(wt) e alla forza verticale Fy = F cos(wt) ).
E' chiesto di determinare (e possibilmente risolvere) l'equazione del moto.
La soluzione che ho tentato è basata sulla scrittura della Lagrangiana, espressa in funzione dell'angolo "a" che l'asta OG forma con l'asse y.
Si perviene all'equazione del moto:
a'' = F sen (wt + a)
dove l'apice denota la derivata rispetto al tempo.
Ammesso che sia corretta, non sono, però, in grado di risolvere l'equazione. Come scritto in precedenza sarei grato a chiunque fosse capace di darmi delle indicazioni su come risolvere l'equazione del moto.
Grazie in anticipo.
Risposte
Ciao! Non credo occorra scomodare la lagrangiana. Si risolve facilmente con la seconda equazione cardinale.
\(\displaystyle \vec M=\frac{d\vec L}{dt} \)
Il momento di forza è costante e vale $FR$ e quindi si ha
\(\displaystyle FR=I\ddot \alpha \)
dove $\alpha$ è l'angolo formato dall'asta con l'asse di riferimmento, ed il momento d'inerzia dell'asta rispetto alla sua estremità è \(\displaystyle I=\frac{1}{3}mR^2 \). Quindi si trova
\(\displaystyle \ddot \alpha =\frac{3F}{mR} \) da cui \(\displaystyle \alpha(t)=\frac{3F}{2mR}t^2 \)
\(\displaystyle \vec M=\frac{d\vec L}{dt} \)
Il momento di forza è costante e vale $FR$ e quindi si ha
\(\displaystyle FR=I\ddot \alpha \)
dove $\alpha$ è l'angolo formato dall'asta con l'asse di riferimmento, ed il momento d'inerzia dell'asta rispetto alla sua estremità è \(\displaystyle I=\frac{1}{3}mR^2 \). Quindi si trova
\(\displaystyle \ddot \alpha =\frac{3F}{mR} \) da cui \(\displaystyle \alpha(t)=\frac{3F}{2mR}t^2 \)
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