Forza magneto motrice (fmm) di un magnete permanente

[davyponte]

Ciao ragazzi,come da titolo sto cercando il modo per arrivare alla equazione risolutiva della fmm di un magnete permanente.il magnete che ho preso in questione è di forma paralellepipeda.Grazie alla consultazione di un libro in inglese, in formato pdf, riesco ad arrivare alla calcolo della sua densità di flusso o del suo campo conoscendone le dimensioni il valore di permeabilità magnetica ed induzione residua.ma ho visto e rivisto ed il metodo analitico per ricondursi alla fmm non è stato esplicitato o almeno sono presenti solo le seguenti relazioni che legano la fmm alla densità di corrente $J$
$vec fmm=\int_S vecJ vecdS$
e poi per tanto , essendo il campo magnetico $H$ nel punto $P(x,y,z)$
$vecJ=\nablaxxvecH$
da solo sono solo arrivato ad una conclusione, applicando vari teoremi,che:
essendo $hat N$ la normale alla superficie della geometria del magnete
$vec fmm=\int_S vecJ vecdS => vec fmm=\int_S vecJ *hat N dS$
quale per il teorema della divergenza
$\int_S vecJ *hat N dS=\int_V \nabla* vecJ dV$
quindi:
$vec fmm=\int_V \nabla* vecJ dV$
a questo punto poiché $vecJ=\nablaxxvecH$ ed essendo $vec fmm=\int_V \nabla* vecJ dV$
si avrà
$vec fmm=\int_V \nabla* (\nablaxxvecH) dV$
allora, dato che per le identità differenziali per un vettore $vecA$ , $\nabla* (\nablaxxvecA)=0$
$\ {(\nabla* (\nablaxxvecH)=0),(vec fmm=\int_V \nabla* (\nablaxxvecH) dV):} => \{vec fmm=\int_V 0 dV => vec fmm=0$
in pratica la fmm è nulla in un magnete permanente, possibile? ho avrò sbagliato qualche passaggio?
ho provato a ricondurmi una formula inversa dall'equazione che descriva il potenziale magnetico $vec A$ al valore della densità di corrente $vec J$ ...ma entrano in campo le funzioni di Green che modestamente non so manipolare tanto.
è da tempo che ci provo ma non riesco ad avere risultati.
spero tanto che qualcuno riesca ad aitarmi

[Raptorista1]

[xdom="Raptorista"]Dopo 18 messaggi sarebbe ora di postare nella sezione giusta, no?
Sposto[/xdom]

[davyponte]

aggiorno ed aggiungo che,le relazioni leganti il potenziale magnetico $vecA$ e la densità di corrente $vecJ$ è la seguente
$-\mu_0 vecJ =\nabla^2 vecA$
ne consegue che applicando la funzione di green per il laplaciano $\nabla^2 vecA$ la soluzione per ottenere il potenziale magnetico $vecA$ sarà
$vecA(R)=\mu_0/(4\pi) \int_V (vecJ_m(r)) /|R-r| dV + \mu_0/(4\pi) \int_S (vecj_m(r)) /|R-r| dS$
ove $\mu_0$ è la permeabilità magnetica nel vuoto $vecJ_m(r)$ è la densità di corrente volumetrica nel magnete permanente equivalente a
$vecJ_m(r)= \nabla xx vecM$ con $vecM$ il vettore di magnetizzazione del magnete
mentre $j_m(r)$ è la densità di corrente superficiale ,essa equivalente a
$j_m(r)=vecM xx \hatN$ con $\hatN$ la normale alla superfice dipendente dalla forma geometrica del magnete
ho voluto indicare le variabili di integrazione con $r$ quindi per esempio $J_m(r)=J_m(x,y,z)$ e con $R$ il punto di coordinate $P(X,Y,Z)$.per tanto $vecA(R)=vecA(X,Y,Z)$
in definitiva ho voluto fare un calcolo a ritroso per tornare a $vecJ$ che per via di sostituzione sono solo arrivato a (anche se per intuito)
$-vecJ =vecJ_m(r)+1/(4\pi)\nabla^2\int_S (vecj_m(r)) /|R-r| dS$
penso che ci sia quasi...ma l'ultimo membro
$1/(4\pi)\nabla^2\int_S (vecj_m(r)) /|R-r| dS$
non so come strizzarlo anche applicando il teorema della divergenza....

ma aspetto solo qualcuno che mi desse una mano..

[davyponte]

allora..aggiornamento:
so di per certo che posso annullare l'inegrale con il laplaciano a meno che esso non sia un itegrale di volume quindi se
al posto di
$1/(4\pi) \int_S (\vec j_m(r))/(|R-r|) dS$ introddurrei $1/(4\pi) \int_V (\vec K(r))/(|R-r|) dV$ tale che il risultato dei due integrali sarebbe uguale
e cioè

$\{(\vec V(R)=-1/(4\pi) \int_S (\vec j_m(r))/(|R-r|) dS),(\vec V(R)=-1/(4\pi) \int_V (\vec K(r))/(|R-r|) dV):}=> {-1/(4\pi) \int_S (\vec j_m(r))/(|R-r|) dS = -1/(4\pi) \int_V (\vec K(r))/(|R-r|) dV:}$

sicchè

$\vec V(R)=-1/(4\pi) \int_V (\vec K(r))/(|R-r|) dV -> \nabla^2 \vec V = -\vec K(r)$

medesima cosa per il primo membro

$\vec U(R)=-1/(4\pi) \int_V (\vec J_m(r))/(|R-r|) dV -> \nabla^2 \vec U = -\vec J_m(r)$

che sostituendo si avrà

$-\vec J = \nabla^2(-1/(4\pi)\int_V (\vec J_m(r))/(|R-r|) dV) + \nabla^2(-1/(4\pi) \int_V (\vec K(r))/(|R-r|) dV)$

Quale in definitiva

$-\vec J = \vec J_m(r) + \vec K(r)$

a questo punto mancherebbe solo risolvere i due integrali per conoscere $\vec K(r)$....

[davyponte]

allora....
per avere una identità tra le i due integrali

$−1/(4\pi) \int_S (\vec jm(r))/(|R−r|)dS=−1/(4\pi) \int_V (\vec K(r))/(|R−r|)dV$

prima di tutto gli elementi simili $-1/(4 \pi)$ gli elimino e poi sostituiso (per il primo integrale)

$(\vec jm(r))/(|R−r|)$ con $ \vec Q(r)$

e per il secondo integrale

$(\vec K(r))/(|R−r|)$ con $\vec T(r)$

tale che alla fine l'identità tra i due integrali sarà

$\int_S \vec Q(r) dS= \int_V \vec T(r) dV$

ora per avere questa identità cerco di sfruttare il teorema della divergenza che esplicitato nella sua forma analitica è

$\int_S \vec S(r)*\hatN dS= \int_V \nabla \vecS(r) dV$

quale $\hat N$ è l'unità normale alla superfice del solido nonché la forma geometrica del magnete qual si voglia conoscere la sua densità di corrente $\vec J$ o la sua $\vec fmm$
adesso per

$\int_S \vec Q(r) dS =\int_S \vec S(r)*\hatN dS$ sarà $\vec Q(r) dS= \vec S(r)*\hatN$

mentre per

$\int_V \vec T(r) dV =\int_V \nabla \vecS(r) dV$ sarà $\vec T(r) =\nabla \vecS(r)$

adesso ho un nuovo dilemma quel che mi chiedo se esistesse l'inverso di $\vec Q(r) dS= \vec S(r)*\hatN$ tale da conoscere $S(r)$
mettiamo nella seguente maniera $\vec S(r) =(\vec Q(r))/(\hatN)$ allora per via sostitutiva $K(r)$ sarà

$\vec T(r) =\nabla \vecS(r) => \vec T(r) =\nabla (\vec Q(r))/(\hatN) => \vec T(r) =\nabla ((\vec jm(r))/(|R−r|))/(\hatN) => (\vec K(r))/(|R−r|) = \nabla ((\vec jm(r))/(|R−r|))/(\hatN) => \vec K(r) = |R−r|*\nabla ((\vec jm(r))/(|R−r|))/(\hatN)$

e qui un'altra volta intoppato... non capisco se i membri $|R-r|$ si possano eliminare....

questo lavoro mi sta facendo impazzire