Forza gravitazionale e energia termica
Salve a tutti, desideravo avere un piccolo aiuto riguardo alcune formule;
la prima riguarda l'energia termica per un gas monoatomico:
\(\displaystyle T=N\left(\frac{3}{2}KT\right) \), dove per N si intende il numero di gradi di libertà del sistema
Supponendo che il gas abbia 3 gradi di libertà si ottiene:
\(\displaystyle T=3\left(\frac{3}{2}KT\right) \)
Successivamente poi trovo la stessa formula che viene riscritta in un modo diverso:
\(\displaystyle T=\frac{3}{2}KTnV=\frac{3}{2}KT\left(\frac{M}{m_{H}\mu}\right) \) sapendo che mH è la massa di un protone e \(\displaystyle mu \) è il peso molecolare.
Non ho capito la correlazione tra questa formula e quella scritta precedentemente.
Un'ultima cosa, questa volta sul teorema del Viriale.
Dopo lo sviluppo di alcuni passaggi si arriva a dire che:
\(\displaystyle 2T+\Omega=0 \) dove \(\displaystyle \Omega=-G\frac{Mm}{r} \)
Il testo dice che si può inoltre mostrare che:
\(\displaystyle \Omega=\int_{0}^{R}\frac{4\pi r^{3}\rho4\pi r^{2}\rho}{3r}dr=-\frac{16}{15}G\pi^{2}\rho^{2}R^{5} \) dove \(\displaystyle rho \) non è altro che la densità del gas
MI potete spiegare cosa è quello che è stato messo dentro il segno di integrale? Ho capito che la massa M è stata scritta come densità per volume di una sfera (immaginiamo che il gas occupi un volume sferico), al denominatore compare già r, ma la m in cosa è stata trasformata?
C'è poi scritto: se si riformula utilizzando la massa totale della sfera, pari al prodotto di volume e densità, si ottiene:
\(\displaystyle \Omega=\frac{3M^{2}G}{5R} \)
Sareste anche così gentili da spiegarmi quest'ultima frase?
Grazie davvero.
Distinti saluti e buona giornata a tutti
Enrico Catanzani
la prima riguarda l'energia termica per un gas monoatomico:
\(\displaystyle T=N\left(\frac{3}{2}KT\right) \), dove per N si intende il numero di gradi di libertà del sistema
Supponendo che il gas abbia 3 gradi di libertà si ottiene:
\(\displaystyle T=3\left(\frac{3}{2}KT\right) \)
Successivamente poi trovo la stessa formula che viene riscritta in un modo diverso:
\(\displaystyle T=\frac{3}{2}KTnV=\frac{3}{2}KT\left(\frac{M}{m_{H}\mu}\right) \) sapendo che mH è la massa di un protone e \(\displaystyle mu \) è il peso molecolare.
Non ho capito la correlazione tra questa formula e quella scritta precedentemente.
Un'ultima cosa, questa volta sul teorema del Viriale.
Dopo lo sviluppo di alcuni passaggi si arriva a dire che:
\(\displaystyle 2T+\Omega=0 \) dove \(\displaystyle \Omega=-G\frac{Mm}{r} \)
Il testo dice che si può inoltre mostrare che:
\(\displaystyle \Omega=\int_{0}^{R}\frac{4\pi r^{3}\rho4\pi r^{2}\rho}{3r}dr=-\frac{16}{15}G\pi^{2}\rho^{2}R^{5} \) dove \(\displaystyle rho \) non è altro che la densità del gas
MI potete spiegare cosa è quello che è stato messo dentro il segno di integrale? Ho capito che la massa M è stata scritta come densità per volume di una sfera (immaginiamo che il gas occupi un volume sferico), al denominatore compare già r, ma la m in cosa è stata trasformata?
C'è poi scritto: se si riformula utilizzando la massa totale della sfera, pari al prodotto di volume e densità, si ottiene:
\(\displaystyle \Omega=\frac{3M^{2}G}{5R} \)
Sareste anche così gentili da spiegarmi quest'ultima frase?
Grazie davvero.
Distinti saluti e buona giornata a tutti
Enrico Catanzani
Risposte
Nella prima formula che hai dato per T la N non rappresenta i gradi di libertà ma il numero di particelle.
Nella seconda mi pare di capire (ma sarebbe meglio che tu facessi lo sforzo di spiegare il significato dei simboli che usi...) che n sia la densità spaziale di particelle e V il volume, quindi nV ti dà il numero totale di particelle del gas (e questo conferma che la N dell'altra formula è il numero di particelle).
Il numero di particelle, poi, lo puoi anche scrivere come la massa totale del gas divisa per la massa di una particella e la massa di una particella (in pratica di una molecola) la puoi scrivere, per definizione di peso molecolare, come peso molecolare per massa del protone (o per l'unità di massa atomica, ma sono praticamente uguali...). E da ciò deriva il secondo membro della seconda equazione per T.
Per l'altro problema spiega meglio la notazione, in particolare cosa sono m ed R
Nella seconda mi pare di capire (ma sarebbe meglio che tu facessi lo sforzo di spiegare il significato dei simboli che usi...) che n sia la densità spaziale di particelle e V il volume, quindi nV ti dà il numero totale di particelle del gas (e questo conferma che la N dell'altra formula è il numero di particelle).
Il numero di particelle, poi, lo puoi anche scrivere come la massa totale del gas divisa per la massa di una particella e la massa di una particella (in pratica di una molecola) la puoi scrivere, per definizione di peso molecolare, come peso molecolare per massa del protone (o per l'unità di massa atomica, ma sono praticamente uguali...). E da ciò deriva il secondo membro della seconda equazione per T.
Per l'altro problema spiega meglio la notazione, in particolare cosa sono m ed R
Chiedo scusa se non ho spiegato le notazioni, ma mi sembravano scontate dal contesto. Ovviamente la M rappresenta la massa del corpo che emette il campo gravitazionale, mentre m è la massa del corpo che subisce la forza di gravità quando si trova nella regione interessata dal suddetto campo. R è invece il raggio della sfera che suppongo come dominio all'interno della quale è definito il campo gravitazionale.
Non ho capito più che altro perchè dovrei introdurre il concetto di integrale...
Grazie di tutto e scusate per l'eventuale ambiguità.
Distinti saluti
Non ho capito più che altro perchè dovrei introdurre il concetto di integrale...
Grazie di tutto e scusate per l'eventuale ambiguità.
Distinti saluti
Scusa ma non riesco proprio a capire....se.si sta parlando di due masse m ed M, cosa c'entra la densità del gas? ma sei sicuro che le tre equazioni per omega si riferiscono alla stessa omega? Ad esempio nell'ultima è sparita m che invece si trova nella prima.... puoi spiegare meglio il contesto,?
Dentro all'integrale la m è stata scritta come la massa contenuta in un guscio sferico di raggio r e spessore dr. il volume di tale guscio è $4\pi r^2dr$
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