Forza esercitata da campo magnetico indotto
Un Campo magnetico variabile nel tempo con la legge B(t)=0.05t^2-0.2tT è definito in una regione Cilindrica di raggio R=5cm.
In tale regione, il Campo B è uniforme ed è parallelo all'asse (nel disegno è entrante nel foglio).
Sapendo che la carica dell'elettrone è : e= 1,6*10^-19C
Calcolare 1) La forza $F_1$ che agisce sull'elettrone a distanza $r_1=0,04m$ dall'asse ed all'istante $t=4s$
2) La forza $F_2$ che agisce nello stesso istante su un elettrone a distanza $r_2=0,07m$ dall'asse.
[n.8,24 Elementi di Fisica-mazzoldi]
Mi servirebbe una conferma sul ragionamento da fare e sulla correttezza del risultato.
[Ragionamento]
Per la terza equazione di maxwell : se c'è un campo magnetico che varia nel tempo --> ci sarà un campo elettrico indotto.
Ora, nel caso particolare di una distribuzione di carica a simmetria cilindrica -->
il campo elettrico indotto è uniforme ed ha solo componente tangenziale ad una circonferenza.
Per calcolare il campo elettrico indotto , dobbiamo utilizzare la III di Maxwell.
Per calcolare la circuitazione del campo elettrico , scegliamo una curva chiusa orientata (in particolare una circonferenza)
dove il verso del campo elettrico indotto è il verso della corrente indotta i.
Ciò significa che è anch'esso deciso dalla Legge di lenz.
Nel nostro caso , il campo magnetico "diminuisce" nel tempo , quindi le linee di campo elettrico indotto devono essere orientate in senso orario.
Le Forze agenti , sono solo quelle dovute alla presenza del campo elettrico perché il testo non accenna ad una carica in moto.
Quindi vettorialmente si ha che : $ vec(F)=-evec(E) $ (tangenti alla circonferenza ed orientate in senso antiorario).
[Risultato]
$|vec(F_1)|=|e|E_1= -1/2 er_1(0.1t-0.2)$
Domanda1: è corretta la logica seguita?
Domanda2: la soluzione del libro presenta anch'essa un segno meno nel modulo della forza. Ma è lecito ? Un modulo non dovrebbe essere positivo?
In tale regione, il Campo B è uniforme ed è parallelo all'asse (nel disegno è entrante nel foglio).
Sapendo che la carica dell'elettrone è : e= 1,6*10^-19C
Calcolare 1) La forza $F_1$ che agisce sull'elettrone a distanza $r_1=0,04m$ dall'asse ed all'istante $t=4s$
2) La forza $F_2$ che agisce nello stesso istante su un elettrone a distanza $r_2=0,07m$ dall'asse.
[n.8,24 Elementi di Fisica-mazzoldi]
Mi servirebbe una conferma sul ragionamento da fare e sulla correttezza del risultato.
[Ragionamento]
Per la terza equazione di maxwell : se c'è un campo magnetico che varia nel tempo --> ci sarà un campo elettrico indotto.
Ora, nel caso particolare di una distribuzione di carica a simmetria cilindrica -->
il campo elettrico indotto è uniforme ed ha solo componente tangenziale ad una circonferenza.
Per calcolare il campo elettrico indotto , dobbiamo utilizzare la III di Maxwell.
Per calcolare la circuitazione del campo elettrico , scegliamo una curva chiusa orientata (in particolare una circonferenza)
dove il verso del campo elettrico indotto è il verso della corrente indotta i.
Ciò significa che è anch'esso deciso dalla Legge di lenz.
Nel nostro caso , il campo magnetico "diminuisce" nel tempo , quindi le linee di campo elettrico indotto devono essere orientate in senso orario.
Le Forze agenti , sono solo quelle dovute alla presenza del campo elettrico perché il testo non accenna ad una carica in moto.
Quindi vettorialmente si ha che : $ vec(F)=-evec(E) $ (tangenti alla circonferenza ed orientate in senso antiorario).
[Risultato]
$|vec(F_1)|=|e|E_1= -1/2 er_1(0.1t-0.2)$
Domanda1: è corretta la logica seguita?
Domanda2: la soluzione del libro presenta anch'essa un segno meno nel modulo della forza. Ma è lecito ? Un modulo non dovrebbe essere positivo?
Risposte
Ciao.
Risposta 1: grossolanamente, sì. Più in dettaglio: è poco chiaro il discorso che fai sui segni/versi di percorrenza, oltretutto non è vero che il campo magnetico diminuisce definitivamente. Io farei così: visto che $vec(B)$ è entrante nel disegno, scelgo un cerchio di raggio $r_1$ complanare e concentrico con la sezione del cilindro e con la normale rivolta verso l'interno del disegno, come $vec(B)$. Di conseguenza, la circonferenza che lo delimita sarà orientata in verso orario. Con questa scelta di orientamenti, il flusso di campo magnetico (chiudendo un occhio sulla mancanza di costanti che rendano dimensionalmente coerente la scrittura) sarà: $pi*r_1^2*(0.05t^2-0.2t)$ , ed il campo elettrico indotto avrà unicamente una componente tangente alla circonferenza, da intendere come positiva se rivolta in verso orario e viceversa. Con queste premesse, risulta: $E=E_(tan)=1/2r_1(0.2-0.1t)$ .
Risposta 2: il campo elettrico di cui sopra è una componente rispetto al verso descritto, non un modulo. La forza, $F=-eE$, va intesa nello stesso senso.
Risposta 1: grossolanamente, sì. Più in dettaglio: è poco chiaro il discorso che fai sui segni/versi di percorrenza, oltretutto non è vero che il campo magnetico diminuisce definitivamente. Io farei così: visto che $vec(B)$ è entrante nel disegno, scelgo un cerchio di raggio $r_1$ complanare e concentrico con la sezione del cilindro e con la normale rivolta verso l'interno del disegno, come $vec(B)$. Di conseguenza, la circonferenza che lo delimita sarà orientata in verso orario. Con questa scelta di orientamenti, il flusso di campo magnetico (chiudendo un occhio sulla mancanza di costanti che rendano dimensionalmente coerente la scrittura) sarà: $pi*r_1^2*(0.05t^2-0.2t)$ , ed il campo elettrico indotto avrà unicamente una componente tangente alla circonferenza, da intendere come positiva se rivolta in verso orario e viceversa. Con queste premesse, risulta: $E=E_(tan)=1/2r_1(0.2-0.1t)$ .
Risposta 2: il campo elettrico di cui sopra è una componente rispetto al verso descritto, non un modulo. La forza, $F=-eE$, va intesa nello stesso senso.
Non riesco a capire
1) come fai a passare dal dire
al dire
Conoscendo il verso del campo magnetico "esterno" , orientiamo la curva col verso della corrente indotta (dettato dalla legge di lenz)?
2)
Il problema è che : nel calcolo dovrei ottenere il modulo . Questo perché quando applico la III di Maxwell ed esplicito la circuitazione del campo elettrico indotto, dovrei ottenere un "modulo" del campo elettrico che uguale a - la variazione del flusso di campo magnetico al secondo membro.
$ oint_(l) vec(E) \cdot dvec(s) = - dphi _B/dt $
dove
$ oint_(l) vec(E) \cdot dvec(s) = oint_(l)E dscos(0)=Eoint_(l)ds= E2pir $
ad esempio nel caso $r>R$ (ma il problema persiste nel caso analogo $r
quindi
$E(r)=-[R^2(0.1t-0.2)]/(2r)$
Quando esplicito quel prodotto scalare nella circuitazione , ho un prodotto di "moduli".
In pratica: è questo il motivo che mi porta a parlare di "moduli" e non di "componente".
1) come fai a passare dal dire
visto che B⃗ è entrante nel disegno, scelgo un cerchio di raggio r1 complanare e concentrico con la sezione del cilindro e con la normale rivolta verso l'interno del disegno, come B
al dire
Di conseguenza, la circonferenza che lo delimita sarà orientata in verso orario
Conoscendo il verso del campo magnetico "esterno" , orientiamo la curva col verso della corrente indotta (dettato dalla legge di lenz)?
2)
il campo elettrico di cui sopra è una componente rispetto al verso descritto, non un modulo
Il problema è che : nel calcolo dovrei ottenere il modulo . Questo perché quando applico la III di Maxwell ed esplicito la circuitazione del campo elettrico indotto, dovrei ottenere un "modulo" del campo elettrico che uguale a - la variazione del flusso di campo magnetico al secondo membro.
$ oint_(l) vec(E) \cdot dvec(s) = - dphi _B/dt $
dove
$ oint_(l) vec(E) \cdot dvec(s) = oint_(l)E dscos(0)=Eoint_(l)ds= E2pir $
ad esempio nel caso $r>R$ (ma il problema persiste nel caso analogo $r
quindi
$E(r)=-[R^2(0.1t-0.2)]/(2r)$
Quando esplicito quel prodotto scalare nella circuitazione , ho un prodotto di "moduli".
In pratica: è questo il motivo che mi porta a parlare di "moduli" e non di "componente".
up
1) La normale alla superficie la orienti tu come ti pare, a seconda della scelta che fai il coseno che compare nell'espressione del flusso varrà 1 (nel caso che il versore normale sia orientato come il campo) oppure -1 (nel caso contrario). L'orientamento del bordo dipende da come hai orientato il versore normale, coerentemente con la regola della mano destra (o della vite destrorsa): se hai scelto il versore normale entrante, il bordo è orientato in verso orario, se no viceversa. Il fatto che la fem abbia un segno oppure un altro è conseguenza della scelta di orientamento che hai fatto, e comunque la corrente indotta risulta circolare sempre nello stesso verso oggettivo indipendentemente da come hai orientato il versore normale (e di conseguenza la percorrenza del bordo).
2) Il calcolo condotto in questo modo ti fornisce comunque una componente. Se la richiesta è di determinare il modulo, prendi il valore assoluto del risultato e sei a posto.
Quando espliciti il prodotto scalare hai anche un coseno, un modulo moltiplicato per quel coseno è una componente.
Scusa l'estrema sintesi ma sono di corsa, spero tu abbia capito.
2) Il calcolo condotto in questo modo ti fornisce comunque una componente. Se la richiesta è di determinare il modulo, prendi il valore assoluto del risultato e sei a posto.
Quando espliciti il prodotto scalare hai anche un coseno, un modulo moltiplicato per quel coseno è una componente.
Scusa l'estrema sintesi ma sono di corsa, spero tu abbia capito.
Premessa: grazie mille per la risposta
Ok. Quindi il verso di percorrenza non è necessariamente quello della corrente indotta.
Si , sono d'accordo.
Tuttavia, per come scelgo il versore normale ho un $cos(0)=1$ . Quindi avrei "Modulo PER 1" che è ancora un modulo , no?
Oppure se il coseno vale 1 ho semplicemente una componente positiva ?
la corrente indotta risulta circolare sempre nello stesso verso oggettivo indipendentemente da ... percorrenza del bordo)
Ok. Quindi il verso di percorrenza non è necessariamente quello della corrente indotta.
un modulo moltiplicato per quel coseno è una componente
Si , sono d'accordo.
Tuttavia, per come scelgo il versore normale ho un $cos(0)=1$ . Quindi avrei "Modulo PER 1" che è ancora un modulo , no?
Oppure se il coseno vale 1 ho semplicemente una componente positiva ?
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