Forza elettromotrice
Buongiorno, sono uno studente di ingegneria e sto preparando l'esame di Fisica 2. Purtroppo non riesco a svolgere questo esercizio e spero che voi possiate aiutarmi.
Il testo è il seguente:
Un filo indefinito è percorso da una corrente I. Un conduttore a forma di un quarto di
circonferenza di raggio R è posto fermo con un estremo a distanza d dal filo. Sapendo che a partire dall’istante t=0, il conduttore si sposta con
accelerazione costante $\vec a$ diretta parallelamente al filo, calcolare: 1) l’istante di tempo $t^∗$ affinché la f.e.m ai capi del conduttore sia $f^∗$
Dati: I= 2 A, d= 2 cm, R= 6 cm, $f^∗$= 1 mV, a=10 $m/s^2$
Il filo percorso da corrente genera un campo di induzione $B= \(mu_0 * I )/ (2* r) $. Sono arrivato fin qui.
Sul conduttore in movimento si ha una fem cinetica? Ma come la calcolo sul tratto curvo del conduttore?
Il testo è il seguente:
Un filo indefinito è percorso da una corrente I. Un conduttore a forma di un quarto di
circonferenza di raggio R è posto fermo con un estremo a distanza d dal filo. Sapendo che a partire dall’istante t=0, il conduttore si sposta con
accelerazione costante $\vec a$ diretta parallelamente al filo, calcolare: 1) l’istante di tempo $t^∗$ affinché la f.e.m ai capi del conduttore sia $f^∗$
Dati: I= 2 A, d= 2 cm, R= 6 cm, $f^∗$= 1 mV, a=10 $m/s^2$
Il filo percorso da corrente genera un campo di induzione $B= \(mu_0 * I )/ (2* r) $. Sono arrivato fin qui.
Sul conduttore in movimento si ha una fem cinetica? Ma come la calcolo sul tratto curvo del conduttore?
Risposte
Per un conduttore in movimento in un campo magnetico, la fem indotta può essere calcolata con la formula:
$fem = int_(text(conduttore)) (vec v ^^ vec B)* vec (dl)$
dove $ vec (dl)$ è l' elemento infinitesimo del conduttore tangente al conduttore stesso.
PS: nella formula di B manca un $pi$ al denominatore.
$fem = int_(text(conduttore)) (vec v ^^ vec B)* vec (dl)$
dove $ vec (dl)$ è l' elemento infinitesimo del conduttore tangente al conduttore stesso.
PS: nella formula di B manca un $pi$ al denominatore.
Ok, grazie per la risposta.
Quindi il campo elettromotore sarebbe, con $ vec v = at $:
$ E_L = vec v ^^ vec B = \(mu_0 \ I )/ (2 \pi\r ) \ at $
con direzione orizzontale verso destra, visto che la $vec v$ è diretta verso il basso ed il campo $ vec B $ è entrante.
Ma ora quando vado ad integrare $ fem = int_(text(conduttore)) (\(mu_0\I )/ (2\pi\r) \ a\t) * vec (dl) $
devo considerare $ dl = R \ dvartheta $ ?
e quindi l'integrale sarebbe:
$ fem = int_{0}^{(pi\R)/2} (mu_0 \ I )/ (2\pi\r) \ a\t \ R \ dvartheta $
ma non credo di stare facendo bene.
Dalla soluzione, la fem è uguale a:
$fem = int_{d}^{(d+R)} (mu_0 \ I )/ (2\pi\r) \ a\t \ dr = (mu_0 \ I )/ (2\pi) \at\ ln(R/D +1)$
e da qui ricava il tempo, ma integra lungo la direzione orizzontale?
Io non riesco ad integrare lungo la tangente al conduttore e contemporaneamente considerare il campo $vec B$ che varia da "d" a "d+R".
Spero di essere stato chiaro, grazie.
Quindi il campo elettromotore sarebbe, con $ vec v = at $:
$ E_L = vec v ^^ vec B = \(mu_0 \ I )/ (2 \pi\r ) \ at $
con direzione orizzontale verso destra, visto che la $vec v$ è diretta verso il basso ed il campo $ vec B $ è entrante.
Ma ora quando vado ad integrare $ fem = int_(text(conduttore)) (\(mu_0\I )/ (2\pi\r) \ a\t) * vec (dl) $
devo considerare $ dl = R \ dvartheta $ ?
e quindi l'integrale sarebbe:
$ fem = int_{0}^{(pi\R)/2} (mu_0 \ I )/ (2\pi\r) \ a\t \ R \ dvartheta $
ma non credo di stare facendo bene.
Dalla soluzione, la fem è uguale a:
$fem = int_{d}^{(d+R)} (mu_0 \ I )/ (2\pi\r) \ a\t \ dr = (mu_0 \ I )/ (2\pi) \at\ ln(R/D +1)$
e da qui ricava il tempo, ma integra lungo la direzione orizzontale?
Io non riesco ad integrare lungo la tangente al conduttore e contemporaneamente considerare il campo $vec B$ che varia da "d" a "d+R".
Spero di essere stato chiaro, grazie.
Prendendo come angolo $theta$ l'angolo che descrive il quarto di circonferenza dal punto più in basso, intanto si vede facendo un disegno che la tangente alla crf. e il vettore $vec v ^^ vec B$ formano lo stesso angolo $theta$ e quindi il prodotto scalare vale
$v*B*R*d theta *cos(theta)$
Inoltre la r della formula di B varia anch'essa con $theta$ risultando
$r = d + R*sen(theta)$
e quindi l'integrale diventa
$fem = int_0^(pi/2) (mu_0 I a t R cos(theta))/(2*pi* (d + R*sen(theta))) d theta = (mu_0 I a t)/(2 pi) ln(1+R/d)$
In alternativa si vede che $dr=R *cos(theta)*d theta$ per cui con un cambio di variabile si può riscrivere l'integrale come nella soluzione.
$v*B*R*d theta *cos(theta)$
Inoltre la r della formula di B varia anch'essa con $theta$ risultando
$r = d + R*sen(theta)$
e quindi l'integrale diventa
$fem = int_0^(pi/2) (mu_0 I a t R cos(theta))/(2*pi* (d + R*sen(theta))) d theta = (mu_0 I a t)/(2 pi) ln(1+R/d)$
In alternativa si vede che $dr=R *cos(theta)*d theta$ per cui con un cambio di variabile si può riscrivere l'integrale come nella soluzione.
Tutto chiaro, grazie mille.
In quel problema, qualunque fosse stata la forma di quel conduttore, bastava ipotizzare di chiudere il circuito con un conduttore orizzontale e uno verticale per capire che la fem indotta uguagliava quella nel solo conduttore orizzontale. 
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