Forza elastica applicata ad un corpo (trabocchetto?)
in figura, il piano orizzontale ed il cubo di spigolo \(\displaystyle h=1m \) e massa \(\displaystyle M= 2kg \) sono lisci ed il sistema di riferimento x-y è solidale col piano orizzontale. la massa \(\displaystyle m=0.5kg \) è appoggiata all'estremità di una molla di costante elastica \(\displaystyle k=150N/m \) e lunghezza a riposo \(\displaystyle l_0=50cm \) , tenuta compressa di un tratto \(\displaystyle \Delta x_0=20cm \) da una sottile fune. Ad un certo istante la fune viene tagliata. Si calcolino:
A) le velocità \(\displaystyle v_m \) e \(\displaystyle v_M \) delle due masse nell'istante in cui la massa \(\displaystyle m \) sta per lasciare il cubo di massa \(\displaystyle M \);
B) se la massa \(\displaystyle m \) tocca il piano orizzontale nel punto \(\displaystyle B \) , la distanza del punto dall'origine del sistema x-y.
Il mio ragionamento parte dal fatto che la massa M è inutile, il corpo secondo la mia idea resta fermo, l'unico corpo ad essere messo in movimento è il corpo di massa m.
Quest'ultimo parte con accellerazione \(\displaystyle \frac {K \Delta x}{m} \) se il sistema di riferimento è preso nel punto di compressione della molla che tra l'altro è pari a \(\displaystyle d = l_0 - \Delta x \), e lascia il corpo di massa M dopo aver percorso \(\displaystyle h - d\), a quel punto procede con moto rettilineo uniformemente accelerato e in caduta libera fino a raggiungere il punto \(\displaystyle B \) e restera in aria per un tempo \(\displaystyle t_2 \) pari a \(\displaystyle \sqrt{ \frac {2h}{g} } \), ovviamente \(\displaystyle v_0 \) sull'asse x sarà \(\displaystyle v(t) = a* \sqrt { \frac {2d} {a} } \), e la distanza del punto B dall'origine sarà
\(\displaystyle x(t_2) = h + v_0 t + \frac {1}{2} a t_2^2 \)
Quello su cui non riesco a farmi capace è se o meno il corpo di massa \(\displaystyle M \) si muova e si come mai?
Ps questo esercizio è una traccia di un esame di ing. di Fisica I
A) le velocità \(\displaystyle v_m \) e \(\displaystyle v_M \) delle due masse nell'istante in cui la massa \(\displaystyle m \) sta per lasciare il cubo di massa \(\displaystyle M \);
B) se la massa \(\displaystyle m \) tocca il piano orizzontale nel punto \(\displaystyle B \) , la distanza del punto dall'origine del sistema x-y.
Il mio ragionamento parte dal fatto che la massa M è inutile, il corpo secondo la mia idea resta fermo, l'unico corpo ad essere messo in movimento è il corpo di massa m.
Quest'ultimo parte con accellerazione \(\displaystyle \frac {K \Delta x}{m} \) se il sistema di riferimento è preso nel punto di compressione della molla che tra l'altro è pari a \(\displaystyle d = l_0 - \Delta x \), e lascia il corpo di massa M dopo aver percorso \(\displaystyle h - d\), a quel punto procede con moto rettilineo uniformemente accelerato e in caduta libera fino a raggiungere il punto \(\displaystyle B \) e restera in aria per un tempo \(\displaystyle t_2 \) pari a \(\displaystyle \sqrt{ \frac {2h}{g} } \), ovviamente \(\displaystyle v_0 \) sull'asse x sarà \(\displaystyle v(t) = a* \sqrt { \frac {2d} {a} } \), e la distanza del punto B dall'origine sarà
\(\displaystyle x(t_2) = h + v_0 t + \frac {1}{2} a t_2^2 \)
Quello su cui non riesco a farmi capace è se o meno il corpo di massa \(\displaystyle M \) si muova e si come mai?
Ps questo esercizio è una traccia di un esame di ing. di Fisica I
Risposte
Ti capisco. E ti apprezzo e rispetto per la tua voglia di studiare, dopo una giornata di lavoro.
Apprezzo meno il tuo professore.
Apprezzo meno il tuo professore.
VAbbe', fregatene, a volte la traccia puo' essere fuorviante, ma non capita spesso.
Fai l'esercizio nel caso meno banale: immagina che la molla sia attaccata a una staffa saldata sull parete di sinistra del blocco. Cosi sto benedetto blocco si muove!
Poi, se hai fatto il moto armonico, salda l'altra estremita' della molla al blocchetto e calcola il periodo delle oscillazioni.
Insomma, sbizzarrisciti, noi ti diamo una manoa verificare se e' corretto, siamo in tanti, piu' del tuo professore!
Fai l'esercizio nel caso meno banale: immagina che la molla sia attaccata a una staffa saldata sull parete di sinistra del blocco. Cosi sto benedetto blocco si muove!
Poi, se hai fatto il moto armonico, salda l'altra estremita' della molla al blocchetto e calcola il periodo delle oscillazioni.
Insomma, sbizzarrisciti, noi ti diamo una manoa verificare se e' corretto, siamo in tanti, piu' del tuo professore!
Una piccola precisazione su una cosa ovvia ma che non è stata ben specificata negli interventi precedenti:
Chiaramente l'accelerazione non è costante, ma decresce con l'allungarsi della molla.
In merito all'interpretazione del problema, mi sento di votare per l'interpretazione di Snake.
O se volessimo proprio far muovere entrambi i blocchi, potremmo tener buona la proposta di PK: attaccare la molla a un prolungamento della parete.
La proposta con attrito tra i due blocchi mi pare, invece, piuttosto impegnativa...
"exSnake":
Sembra proprio che sia cosi, quindi e' un'accelerazione iniziale costante che è tale fino a \(\displaystyle l_0 \), poi da li in poi il blocco manterrà velocità costante [...]
Chiaramente l'accelerazione non è costante, ma decresce con l'allungarsi della molla.
In merito all'interpretazione del problema, mi sento di votare per l'interpretazione di Snake.
O se volessimo proprio far muovere entrambi i blocchi, potremmo tener buona la proposta di PK: attaccare la molla a un prolungamento della parete.
La proposta con attrito tra i due blocchi mi pare, invece, piuttosto impegnativa...
Tutt'ora non conosco la soluzione definitiva al problema, l'unica cosa che mi è stato detto dal prof è che come l'avevo impostato io era sbagliato. Chi ha impostato bene il problema l'ha risolto con la velocita del centro di massa, facendo risultare entrambi i corpi come un'unica massa. Il cubo era liscio solo nella parte inferiore, il che significa che doveva esserci qualche specie di attrito nella parte superiore.
Probabilmente come ha detto stormy, si risolveva con la conservazione della quantità di moto totale.
Probabilmente come ha detto stormy, si risolveva con la conservazione della quantità di moto totale.
"exSnake":
Tutt'ora non conosco la soluzione definitiva al problema, l'unica cosa che mi è stato detto dal prof è che come l'avevo impostato io era sbagliato. Chi ha impostato bene il problema l'ha risolto con la velocita del centro di massa, facendo risultare entrambi i corpi come un'unica massa. Il cubo era liscio solo nella parte inferiore, il che significa che doveva esserci qualche specie di attrito nella parte superiore.
Probabilmente come ha detto stormy, si risolveva con la conservazione della quantità di moto totale.
Scusa, ma tu come l hai risolto?
E come lo hanno risolto gli altri, visto che il testo non fa riferimento a forze di attrito da nessuna parte?
Se non hai il coefficiente di attrito mi pare un po difficile arrivare a una conclusione.
Bruttissimo esercizio, pessimo professore.
Scriviamo l'eq. del moto di M:
a = F/M.
F è la somma delle forze esterne al blocco.
C'è una forza verticale data dal peso di m, ma che viene bilanciata prontamente dalla reazione del piano.
L'unica componente orizzontale potrebbe venire da un certo attrito tra le superfici delle due masse, e ciò il testo lo esclude.
C'è da rassegnarsi: M resta ferma, ai fini del problema è come se al posto di M c'avessi un piano rigido. Diverso sarebbe, tipo, se la molla non fosse orizzontale, ma obliqua, ma così non è.
a = F/M.
F è la somma delle forze esterne al blocco.
C'è una forza verticale data dal peso di m, ma che viene bilanciata prontamente dalla reazione del piano.
L'unica componente orizzontale potrebbe venire da un certo attrito tra le superfici delle due masse, e ciò il testo lo esclude.
C'è da rassegnarsi: M resta ferma, ai fini del problema è come se al posto di M c'avessi un piano rigido. Diverso sarebbe, tipo, se la molla non fosse orizzontale, ma obliqua, ma così non è.
O se la molla fosse saldata nella sua eztremita di sx laa staffa, a sua volta solidale col blocco inferire.
In wuel caso non ci sono forze esterne e quindi la qdm si conserva.
In wuel caso non ci sono forze esterne e quindi la qdm si conserva.
Se ci mettiamo l'attrito la soluzione proposta non va bene.
Come già detto, fintantoché la molla non si è allungata fino alla dimensione di riposo il sistema non è isolato; il momento non è, di conseguenza, conservato.
Ci si può convincere facilmente del fatto osservando che la conservazione di $p_(text(tot))$ impostata sulle condizioni iniziali (sistema fermo) richiederebbe velocità discordi in seguito. Ciò non è coerente col sistema di forze che muovono i blocchi: questi si sposteranno entrambi in direzione $+x$.
In secondo luogo, la presenza di una forza non conservativa non consente la conservazione dell'energia meccanica.
Come già detto, fintantoché la molla non si è allungata fino alla dimensione di riposo il sistema non è isolato; il momento non è, di conseguenza, conservato.
Ci si può convincere facilmente del fatto osservando che la conservazione di $p_(text(tot))$ impostata sulle condizioni iniziali (sistema fermo) richiederebbe velocità discordi in seguito. Ciò non è coerente col sistema di forze che muovono i blocchi: questi si sposteranno entrambi in direzione $+x$.
In secondo luogo, la presenza di una forza non conservativa non consente la conservazione dell'energia meccanica.
Ho trovato un esercizio simile, ma non proprio uguale, a quello dato. L'esercizio è il seguente :
Ma qui è detto chiaramente che la molla scontra su una staffa solidale alla massa $M$ che sta sotto, quindi la forza elastica è interna al sistema, che d'altronde è isolato (a parte le forze verticali che si fanno equilibrio) perché non c'è attrito tra M e il piano. Inoltre qui non c'è attrito neanche tra $m$ ed $M$ , per cui l'energia elastica della molla si trasforma tutta in energia cinetica delle due masse $m$ ed $M$ .
Ora, fermo restando che il sistema sarebbe isolato pure con attrito tra $m$ ed $M$, perché non ci sarebbe attrito tra $M$ e il piano, non c'è problema a dire, in tale caso, che parte dell'energia elastica della molla se ne va in lavoro di attrito tra le due masse, e quindi aggiungere un altro termine al secondo membro del bilancio energetico. Ma non credo sia così nel tuo caso, poiché sembra che siano lisci sia $m$ che $M$ .
Tuttavia il testo manca di una precisazione : dove scontra l'estremo sinistro della molla ? L'aveva già evidenziato mathbells questo. Se lo scontro è su una staffa solidale a $M$ , allora il problema si risolve come quello che ho trovato io (salvo quello che poi succede dopo la caduta di $m$ da $M$ ) . Le due equazioni le aveva scritte stormy.
Ma qui è detto chiaramente che la molla scontra su una staffa solidale alla massa $M$ che sta sotto, quindi la forza elastica è interna al sistema, che d'altronde è isolato (a parte le forze verticali che si fanno equilibrio) perché non c'è attrito tra M e il piano. Inoltre qui non c'è attrito neanche tra $m$ ed $M$ , per cui l'energia elastica della molla si trasforma tutta in energia cinetica delle due masse $m$ ed $M$ .
Ora, fermo restando che il sistema sarebbe isolato pure con attrito tra $m$ ed $M$, perché non ci sarebbe attrito tra $M$ e il piano, non c'è problema a dire, in tale caso, che parte dell'energia elastica della molla se ne va in lavoro di attrito tra le due masse, e quindi aggiungere un altro termine al secondo membro del bilancio energetico. Ma non credo sia così nel tuo caso, poiché sembra che siano lisci sia $m$ che $M$ .
Tuttavia il testo manca di una precisazione : dove scontra l'estremo sinistro della molla ? L'aveva già evidenziato mathbells questo. Se lo scontro è su una staffa solidale a $M$ , allora il problema si risolve come quello che ho trovato io (salvo quello che poi succede dopo la caduta di $m$ da $M$ ) . Le due equazioni le aveva scritte stormy.
Continuo a pensare che l'attrito rappresenti una grande complicazione al problema. Per entrambe le richieste.
Il bilancio energetico può essere agevolmente sistemato con un'aggiunta del contribuito di energia dissipata, come ha spiegato il navigatore. Ma dobbiamo accertarci che il $\mu_s$ sia sufficientemente piccolo da consentire lo scivolamento del blocco superiore e che il $mu_d$ abbia un valore tale da consentire una velocità relativa tra le masse per tutto il tratto di lunghezza $h-l_0+\Deltax_0$. In caso contrario $m$ non lascerebbe $M$, come richiesto nel punto $A$, e non andrebbe a sbattere sul piano orizzontale, come richiede invece $B$.
Questo senza considerare che i valori $\mu_s$ e $mu_d$ non sono noti.
Il bilancio energetico può essere agevolmente sistemato con un'aggiunta del contribuito di energia dissipata, come ha spiegato il navigatore. Ma dobbiamo accertarci che il $\mu_s$ sia sufficientemente piccolo da consentire lo scivolamento del blocco superiore e che il $mu_d$ abbia un valore tale da consentire una velocità relativa tra le masse per tutto il tratto di lunghezza $h-l_0+\Deltax_0$. In caso contrario $m$ non lascerebbe $M$, come richiesto nel punto $A$, e non andrebbe a sbattere sul piano orizzontale, come richiede invece $B$.
Questo senza considerare che i valori $\mu_s$ e $mu_d$ non sono noti.
"professorkappa":
[quote="exSnake"]Tutt'ora non conosco la soluzione definitiva al problema, l'unica cosa che mi è stato detto dal prof è che come l'avevo impostato io era sbagliato. Chi ha impostato bene il problema l'ha risolto con la velocita del centro di massa, facendo risultare entrambi i corpi come un'unica massa. Il cubo era liscio solo nella parte inferiore, il che significa che doveva esserci qualche specie di attrito nella parte superiore.
Probabilmente come ha detto stormy, si risolveva con la conservazione della quantità di moto totale.
Scusa, ma tu come l hai risolto?
E come lo hanno risolto gli altri, visto che il testo non fa riferimento a forze di attrito da nessuna parte?
Se non hai il coefficiente di attrito mi pare un po difficile arrivare a una conclusione.
Bruttissimo esercizio, pessimo professore.[/quote]
Io l'ho risolto così come ho ragionato nel post di apertura, gli altri hanno utilizzato il centro di massa e la conservazione della quantità di moto. Non conosco lo svolgimento quindi non so come arrivarci, appena ho due minuti provo a vedere se è possibile tutto ciò.
Per correttezza vi riporto la traccia reale dell'esame, come vedrete specifica che il piano è il cubo "SONO LISCI" il che a casa mia vuol dire che non vi è attrito. Poi sottolineo quel "se la massa m tocca il piano orizzontale nel punto B".
Cosa avrà voluto intendere?
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Qui, l unico modo per risolverlocon un minimo di buon senso, e' supporre che l'estremita di sinistra della molla sia saldata a una staffa, staffa che a sua volta e saldata al blocco inferiore.
Altrimenti diventa banale.
Poi applichi la conservazione della qdm.
Altrimenti diventa banale.
Poi applichi la conservazione della qdm.
"professorkappa":
Qui, l unico modo per risolverlocon un minimo di buon senso, e' supporre che l'estremita di sinistra della molla sia saldata a una staffa, staffa che a sua volta e saldata al blocco inferiore.
Altrimenti diventa banale.
Poi applichi la conservazione della qdm.
Parlando con il prof mi ha chiarito che appunto c'era una staffa sul blocco inferiore che manteneva la molla, come supposto da te... consigliandomi di chiedere la prossima volta. Di certo sarebbe stato meglio specificarlo nella traccia non credete?
Sotto suo consiglio iniziale (energia cinetica) Ho risolto in questo modo:
Però non sono sicuro di aver fatto bene.
Perché l'energia cinetica della molla è uguale alla somma delle energie cinetiche dei due corpi?
Ps: C'e' un piccolo errore nel disegno, ho supposto a dispetto di quest'ultimo, che il \(\displaystyle \Delta_x \) fosse la lunghezza della molla compressa e che quindi si estendesse di 0,3cm una volta rilasciata.
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