Forza conservativa e integrale
Ciao a tutti
In un esercizio mi è chiesto di verificare che la forza, la cui espressione è riportata sotto, sia conservativa.
Dunque questa è l'equazione che descrive il moto di un punto materiale di massa m nello spazio tridimensionale
$ m\ddot vec(r)=-kvec(r)+A/(|vec(r)|^2)vec(r)-B/(|vec(r)|^4)vec(r) $
So che una forza è definita conservativa quando
$ W=oint_(dS)F\cdot dvec(r)=0 $
Quindi, potrei scrivere una cosa di questo tipo o sto facendo un pasticcio con l'integrale di linea?
$ W=-kint_ 0^ (2\pi)r cos\theta d\theta-A/rint_0^(2\pi)cos\thetad\theta-B/r^3int_0^(2\pi)cos\thetad\theta $
ovviamente il risultato di questa espressione è 0, confermandomi il fatto che la forza sia conservativa
Il mio problema è che non so se ho scritto in modo sensato l'integrale...ho paura di aver scritto una cosa stupida. Potreste aiutarmi a capire? Grazie
In un esercizio mi è chiesto di verificare che la forza, la cui espressione è riportata sotto, sia conservativa.
Dunque questa è l'equazione che descrive il moto di un punto materiale di massa m nello spazio tridimensionale
$ m\ddot vec(r)=-kvec(r)+A/(|vec(r)|^2)vec(r)-B/(|vec(r)|^4)vec(r) $
So che una forza è definita conservativa quando
$ W=oint_(dS)F\cdot dvec(r)=0 $
Quindi, potrei scrivere una cosa di questo tipo o sto facendo un pasticcio con l'integrale di linea?
$ W=-kint_ 0^ (2\pi)r cos\theta d\theta-A/rint_0^(2\pi)cos\thetad\theta-B/r^3int_0^(2\pi)cos\thetad\theta $
ovviamente il risultato di questa espressione è 0, confermandomi il fatto che la forza sia conservativa
Il mio problema è che non so se ho scritto in modo sensato l'integrale...ho paura di aver scritto una cosa stupida. Potreste aiutarmi a capire? Grazie
Risposte
Non c'è bisogno di tutto questo casino, si tratta di forze del tipo $f(r)vecr$, ammettono potenziale $intf(r)dr$.
Oltre al fatto che quello che hai fatto non prova niente, prova solo che tale forza ha integrale nullo su un cammino (quale tra l'altro? non si capisce che curva tu abbia preso, né gli estremi di tale curva)
Oltre al fatto che quello che hai fatto non prova niente, prova solo che tale forza ha integrale nullo su un cammino (quale tra l'altro? non si capisce che curva tu abbia preso, né gli estremi di tale curva)
Avrei voluto integrare su un cammino circolare per esempio...però, come dicevo, non capisco bene come dimostrare questa cosa che la forza sia conservativa.
Ad esempio verificando che $rot(vecF)=0$?
Più che altro servirebbe ripassare e capire cos'è un campo vettoriale e sotto quali condizioni...
Un campo come quello che hai scritto dipende unicamente dalla posizione ed è orientato lungo il vettore posizione rispetto ad un punto fisso (l'origine del riferimento): campi di questo tipo si chiamano campi centrali.
Ad esempio: il campo gravitazionale generato da un'unica massa in quiete è un campo centrale (poiché \(\vec{F}(t,\vec{r}) = - \frac{Gm}{r^2}\ \hat{r}\), in cui \(\hat{r}\) è il versore posizione ed \(r=|\vec{r}|\)); il campo elettrostatico generato da un'unica carica ferma è centrale (poiché \(\vec{F}(t,\vec{r}) = \frac{Cq}{r^2}\ \hat{r}\), con notazioni analoghe).
Il generico campo centrale si esprime mediante una relazione del tipo \(\vec{F}(t,\vec{r}) = F(\vec{r}) \hat{r}\), in cui \(F:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}\) misura il modulo (con segno) del vettore campo e dipende dalla sola posizione.
Si prova che i campi centrali sono conservativi se e solo se sono "a simmetria sferica", i.e. se e solo se il valore della funzione \(F(\vec{r})\) dipende unicamente dalla distanza dal centro (cioè da \( r:=|\vec{r}|\)) e non dall'orientazione del vettore posizione \(\vec{r}\): ciò accade precisamente quando \(F(\vec{r}) = f(r)\) per un'opportuna \(f:[0,+\infty[ \to \mathbb{R}\).
Questo è il caso dei campi gravitazionale ed elettrostatico, in cui $f$ dipende unicamente da $r^{-2}$.
Nel tuo caso:
\[
\vec{F}(\vec{r}) =-k\ \vec{r} + \frac{A}{r^2}\ \vec{r} - \frac{B}{r^4}\ \vec{r}
\]
quindi il campo è centrale. Per sapere se esso è conservativo ti basta capire se ha simmetria sferica o no.
Ad esempio: il campo gravitazionale generato da un'unica massa in quiete è un campo centrale (poiché \(\vec{F}(t,\vec{r}) = - \frac{Gm}{r^2}\ \hat{r}\), in cui \(\hat{r}\) è il versore posizione ed \(r=|\vec{r}|\)); il campo elettrostatico generato da un'unica carica ferma è centrale (poiché \(\vec{F}(t,\vec{r}) = \frac{Cq}{r^2}\ \hat{r}\), con notazioni analoghe).
Il generico campo centrale si esprime mediante una relazione del tipo \(\vec{F}(t,\vec{r}) = F(\vec{r}) \hat{r}\), in cui \(F:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}\) misura il modulo (con segno) del vettore campo e dipende dalla sola posizione.
Si prova che i campi centrali sono conservativi se e solo se sono "a simmetria sferica", i.e. se e solo se il valore della funzione \(F(\vec{r})\) dipende unicamente dalla distanza dal centro (cioè da \( r:=|\vec{r}|\)) e non dall'orientazione del vettore posizione \(\vec{r}\): ciò accade precisamente quando \(F(\vec{r}) = f(r)\) per un'opportuna \(f:[0,+\infty[ \to \mathbb{R}\).
Questo è il caso dei campi gravitazionale ed elettrostatico, in cui $f$ dipende unicamente da $r^{-2}$.
Nel tuo caso:
\[
\vec{F}(\vec{r}) =-k\ \vec{r} + \frac{A}{r^2}\ \vec{r} - \frac{B}{r^4}\ \vec{r}
\]
quindi il campo è centrale. Per sapere se esso è conservativo ti basta capire se ha simmetria sferica o no.
Okay ora è chiaro.
Ringrazio tutti
Solo un'ultima domanda... nel caso quindi di studio del moto, considerando quell'espressione della forza, viene automatico usare delle coordinate polari piane? Usare quelle sferiche sarebbe un errore?
Ringrazio tutti
Solo un'ultima domanda... nel caso quindi di studio del moto, considerando quell'espressione della forza, viene automatico usare delle coordinate polari piane? Usare quelle sferiche sarebbe un errore?
È come dire che se un moto è piano è sbagliato usare le coordinate x,y,z invece di solo x,y? No ma è inutile, perché dato che nella coordinata z non c'è nessuna componente della forza allora z=cost e non influisce sul moto nel piano x,y, stessa cosa per le coordinate sferiche.
Chiaro.
Ho dato una ripassata al concetto di forza conservativa.
Ringrazio ancora tutti
Ho dato una ripassata al concetto di forza conservativa.
Ringrazio ancora tutti
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