Forza complessiva agente su una spira
Salve a tutti.
Questo è un esercizio che non sono riuscito a svolgere, e mi servirebbe un aiuto
per capirlo.
Il mio ragionamento è stato il seguente:
Conosco il campo elettrico generato da un filo indefinito:
\(\displaystyle B_{filo} = \frac{\mu_0i}{2\pi R}\)
Siccome i fili sono due, ho pensato che - generando lo stesso campo magnetico - avrei potuto usare
il principio di sovrapposizione, avendo un campo risultante di \(\displaystyle B_{tot} = 2B_{filo} \)
La forza complessiva, invece, la calcolo con Laplace secondo la formula:
\(\displaystyle F = i\int{ds \times B_{tot}} \) , integrando 4 volte tra i 4 segmenti che compongono la spira.
I due segmenti superiore e inferiore si annullano a vicenda, rimanendo solo i due lati verticali.
Questo ragionamento e svolgimento è sbagliato, ma non capisco come fare questo esercizio in altro modo.
Qualcuno potrebbe spiegarmelo?
Questo è un esercizio che non sono riuscito a svolgere, e mi servirebbe un aiuto
per capirlo.
La distanza tra due fili indefiniti paralleli è 3d. Nei due fili scorre corrente I nello stesso verso.
Una spira quadrata di lato d si trova esattamente a metà tra i due fili. Nella spira scorre una corrente i in senso orario. Calcolare la forza complessiva agente sulla spira
Il mio ragionamento è stato il seguente:
Conosco il campo elettrico generato da un filo indefinito:
\(\displaystyle B_{filo} = \frac{\mu_0i}{2\pi R}\)
Siccome i fili sono due, ho pensato che - generando lo stesso campo magnetico - avrei potuto usare
il principio di sovrapposizione, avendo un campo risultante di \(\displaystyle B_{tot} = 2B_{filo} \)
La forza complessiva, invece, la calcolo con Laplace secondo la formula:
\(\displaystyle F = i\int{ds \times B_{tot}} \) , integrando 4 volte tra i 4 segmenti che compongono la spira.
I due segmenti superiore e inferiore si annullano a vicenda, rimanendo solo i due lati verticali.
Questo ragionamento e svolgimento è sbagliato, ma non capisco come fare questo esercizio in altro modo.
Qualcuno potrebbe spiegarmelo?
Risposte
"senter":
Conosco il campo elettrico generato da un filo indefinito:
\(\displaystyle B_{filo} = \frac{\mu_0i}{2\pi R}\)
Siccome i fili sono due, ho pensato che - generando lo stesso campo magnetico - avrei potuto usare
il principio di sovrapposizione, avendo un campo risultante di \(\displaystyle B_{tot} = 2B_{filo} \)
Ma no. I campi sono due, uguali, è vero, ma sono traslati di 3d l'uno rispetto all'altro.
Risulta un campo che, fra i due fili, vale zero nel mezzo, e ha due asintoti di segno opposto dove stanno i fili
"senter":
La forza complessiva, invece, la calcolo con Laplace secondo la formula:
\(\displaystyle F = i\int{ds \times B_{tot}} \) , integrando 4 volte tra i 4 segmenti che compongono la spira.
I due segmenti superiore e inferiore si annullano a vicenda, rimanendo solo i due lati verticali.
Questo ragionamento e svolgimento è sbagliato, ma non capisco come fare questo esercizio in altro modo.
Qualcuno potrebbe spiegarmelo?
L'integrale mi pare eccessivo. I lati orizzontali della spira subiscono forze opposte, ok.
I lati verticali sono ciascuno immerso in un campo costante $B$, che è la somma dei campi dei due fili: contiene un termine $1/d$ e un termine $1/(2d)$, di segno opposto; quindi basta un prodotto: $F = B*I*l$, le due forze hanno lo stesso verso, e la spira viene tirata lateralmente verso uno dei fili
"mgrau":
Ma no. I campi sono due, uguali, è vero, ma sono traslati di 3d l'uno rispetto all'altro.
Risulta un campo che, fra i due fili, vale zero nel mezzo, e ha due asintoti di segno opposto dove stanno i fili
Ho pensato che, visto la simmetria della spira, ogni volta che vado a calcolare un lato, il contributo
del primo campo magnetico è uguale a quello del secondo campo magnetico nel segmento opposto.
E quindi ho semplicemente sommato i due campi magnetici.
E' totalmente errato come ragionamento?
"mgrau":
L'integrale mi pare eccessivo. I lati orizzontali della spira subiscono forze opposte, ok.
I lati verticali sono ciascuno immerso in un campo costante $B$, che è la somma dei campi dei due fili: contiene un termine $1/d$ e un termine $1/(2d)$, di segno opposto; quindi basta un prodotto: $F = \( \displaystyle B_{filo} = \frac{\mu_0i}{2\pi R} \)B*I*l$, le due forze hanno lo stesso verso, e la spira viene tirata lateralmente verso uno dei fili
Il termine $1/(2d)$, di segno opposto, esce fuori dal principio di sovrapposizione dei due campi magnetici?
In questo caso dovrei avere:
\(\displaystyle F_{tot} = \frac{\mu_0i}{2\pi d} - \frac{\mu_0i}{2\pi 2d}\)
Giusto?
Un altra cosa: la corrente i che inserisco nel calcolo, è la corrente della spira o dei fili?
Io ho inserito la corrente dei fili, ma sembra strano il problema dia un dato che non devo utilizzare
"senter":
Ho pensato che, visto la simmetria della spira, ogni volta che vado a calcolare un lato, il contributo
del primo campo magnetico è uguale a quello del secondo campo magnetico nel segmento opposto.
E quindi ho semplicemente sommato i due campi magnetici.
E' totalmente errato come ragionamento?
Diciamo che non lo capisco...
"senter":
Il termine $1/(2d)$, di segno opposto, esce fuori dal principio di sovrapposizione dei due campi magnetici?
In questo caso dovrei avere:
\(\displaystyle F_{tot} = \frac{\mu_0i}{2\pi d} - \frac{\mu_0i}{2\pi 2d}\)
Non si tratta di $F$ ma di $B$ alla posizione dei lati verticali: un filo dista $d$, l'altro $2d$, e i campi hanno verso opposto, da cui il meno
"senter":
la corrente i che inserisco nel calcolo, è la corrente della spira o dei fili?
Io ho inserito la corrente dei fili, ma sembra strano il problema dia un dato che non devo utilizzare
Per calcolare $B$ usi la corrente dei fili; ma poi devi calcolare $F$, e qui usi la corrente della spira
Non si tratta di $F$ ma di $B$ alla posizione dei lati verticali: un filo dista $d$, l'altro $2d$, e i campi hanno verso opposto, da cui il meno
Allora, vedo se ho capito bene.
Ho due fili indefiniti, entrambi generano un campo magnetico dato dalla legge di Biot-Savart pari a
\(\displaystyle B = \frac{\mu_0I}{2\pi R} \)
La R in questa formula indica la distanza del punto P dove calcolo il campo magnetico.
Perciò, se devo calcolare la forza sul segmento AD (quello più vicino al filo di sinistra),
la R in questione sara' $d$ per il campo magnetico del filo più vicino, $2d$ per il
campo magnetico del filo più lontano.
Quindi, se calcolo la forza sui segmenti AD e CB ottengo:
\(\displaystyle F_{AB} = i\int{ds_1 \times B_1} + i\int{ds_2 \times B_2} = id\frac{\mu_0I}{2\pi d} - id\frac{mu_0I}{2\pi 2d} \)
dove con $B_1$ e $B_2$ ho indicato i campi relativi rispettivamente al filo di sx e dx.
Ho usato la corrente del filo per calcolare $B$ dei fili, e la corrente della spira per calcolare la forza agente.
Lo stesso discorso lo faccio per il segmento CB. Questi due segmenti sono gli unici due segmenti che contribuiscono al calcolo della forza agente, in quanto i contributi dati dai segmenti orizzontali si escludono a vicenda.
Puoi confermare?
Grazie per l'aiuto che mi stai dando
Giusto, anche se continuo a stupirmi per la tua passione per gli integrali (scrivere la lunghezza di un segmento AB come $ \int_A^B ds$ mi pare un po' maniacale)
"mgrau":
Giusto, anche se continuo a stupirmi per la tua passione per gli integrali (scrivere la lunghezza di un segmento AB come $ \int_A^B ds$ mi pare un po' maniacale)
Vero, lo faccio per abitudine
Grazie ancora.
PS:
Tra non molto posterò un altro problema. Spero di non scrivere altre boiate
Sto continuando lo svolgimento, e ho un problema.
Il campo dei due segmenti verticali viene uguale ed opposto, e i contributi si elidono.
\( \displaystyle F_{AD} = i\int{ds_1 \times B_1} + i\int{ds_2 \times B_2} = id\frac{\mu_0I}{2\pi d} - id\frac{\mu_0I}{2\pi 2d} = id\frac{\mu_0I}{4\pi d} \)
\( \displaystyle F_{CB} = i\int{ds_1 \times B_1} + i\int{ds_2 \times B_2} = id\frac{\mu_0I}{2\pi 2d} - id\frac{\mu_0I}{2\pi d} = -id\frac{\mu_0I}{4\pi d} \)
Mentre i contributi dati dai segmenti orizzontali:
\(\displaystyle F_{DC} = i\int{ds \times B_1} + i\int{ds \times B} = i\frac{\mu_0I}{2\pi}\int_d^{2d}{\frac{dr}{r}} - i\frac{\mu_0I}{2\pi}\int_{2d}^d{\frac{dr}{r}} \)
Il primo integrale va da $d$ a $2d$ in secondo da $2d$ a $d$, quindi invertendo gli stremi e togliendo il meno:
\(\displaystyle F_{DC} = i\frac{\mu_0I}{2\pi}\log{2} + i\frac{\mu_0I}{2\pi}\log{2} = 2i\frac{\mu_0I}{2\pi}\log{2}\)
Ne sto uscendo pazzo
Il campo dei due segmenti verticali viene uguale ed opposto, e i contributi si elidono.
\( \displaystyle F_{AD} = i\int{ds_1 \times B_1} + i\int{ds_2 \times B_2} = id\frac{\mu_0I}{2\pi d} - id\frac{\mu_0I}{2\pi 2d} = id\frac{\mu_0I}{4\pi d} \)
\( \displaystyle F_{CB} = i\int{ds_1 \times B_1} + i\int{ds_2 \times B_2} = id\frac{\mu_0I}{2\pi 2d} - id\frac{\mu_0I}{2\pi d} = -id\frac{\mu_0I}{4\pi d} \)
Mentre i contributi dati dai segmenti orizzontali:
\(\displaystyle F_{DC} = i\int{ds \times B_1} + i\int{ds \times B} = i\frac{\mu_0I}{2\pi}\int_d^{2d}{\frac{dr}{r}} - i\frac{\mu_0I}{2\pi}\int_{2d}^d{\frac{dr}{r}} \)
Il primo integrale va da $d$ a $2d$ in secondo da $2d$ a $d$, quindi invertendo gli stremi e togliendo il meno:
\(\displaystyle F_{DC} = i\frac{\mu_0I}{2\pi}\log{2} + i\frac{\mu_0I}{2\pi}\log{2} = 2i\frac{\mu_0I}{2\pi}\log{2}\)
Ne sto uscendo pazzo
"senter":
Sto continuando lo svolgimento, e ho un problema.
Il campo dei due segmenti verticali viene uguale ed opposto, e i contributi si elidono.
I campi sono uguali e opposti, ma anche le correnti nella spira sono uguali e opposte, quindi le forze hanno lo stesso verso e si sommano. Alla fine c'è una forza netta che tende ad avvicinare la spira a quel filo in cui la corrente scorre nello stesso senso del lato vicino della spira.
In ciascuno dei segmenti orizzontali: una metà del tratto vede un campo entrante, l'altra metà uscente. La corrente è la stessa.
Una metà subisce una forza in su, l'altra metà in giu'. E' una coppia, il segmento tende a ruotare.
L'altro segmento idem, ma dato che la corrente è nell'altro senso, anche la coppia è nell'altro senso, e complessivamente la forza dei due lati orizzontali è zero.
I campi sono uguali e opposti, ma anche le correnti nella spira sono uguali e opposte
E' vero, non ho considerato che nei due tratti le correnti hanno verso opposto, e quindi sui lati verticali le forze si sommano.
Il segno meno viene eliminato dalla corrente che scorre nel verso opposto, giusto?
Giusto
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