Formulazione locale di Gauss o di Ampere

[smaug1]

Conoscendo le leggi generali di Gauss e di Ampere, io a livello applicativo non riesco a capire a cosa serve applicare la divergenza al campo elettrostatico o al campo magnetico! Mi aiutate? Esempio?

[Sk_Anonymous]

In questo momento non mi vengono a mente esempi...posso dirti solo che tutte e 4 le equazioni di Maxwell del campo elettromagnetico si possono esprimere sia in forma integrale che in forma "locale". Per esempio la prima, che in forma integrale ti dice quanto vale il flusso del campo elettrico attraverso una superficie che racchiude delle cariche, in forma locale si esprime con l'espressione della divergenza di $E$.
Ma sono sicuro che non ti ho detto nulla di nuovo.

[mathbells]

Potrei parafrasare la tua domanda così: a cosa servono i progetti delle automobili se nelle concessionarie vendono le auto belle e pronte? La verità è che le leggi da te citate sono figlie delle proprietà locali del campo elettrico. Quindi potrei risponderti, come esempio, che le leggi in forma locale servono per ricavare le leggi in forma integrale che sono molto utili in alcuni casi particolari. ad esempio il teorema di gauss è utile per calcolare il campo solo in casi particolarmente se
plici in cui la simmetria del sistema rende immediata la scrittura del flusso

[smaug1]

Ah quindi quando per esempio non ho particolari simmetrie allora devo usare il teorema locale..?

[mathbells]

"smaug":Ah quindi quando per esempio non ho particolari simmetrie allora devo usare il teorema locale..?

non è proprio così. Se non hai particolari simmetrie ti devi calcolare il flusso "a mano". Usi comunque il teorema di Gauss (che vale sempre!). Ripeto, il teorema locale, come lo chiami tu, è l'origine del "teorema integrale". Un impiego diretto della versione locale, potrebbe essere, banalmente, il calcolo del campo elettrico in un punto dello spazio nota che sia la densità spaziale di carica, o viceversa. Il calcolo analitico, naturalmente, si può fare solo in casi molto semplici (ad esempio campo elettrico con una sola componente e dipendente solo da una coordinata)

[mathbells]

Come esempio pratico, considera una densità di carica del tipo:
\(\displaystyle \rho (x)=\alpha x \) con \(\displaystyle \alpha \) costante opportuna.

Allora dal teorema locale \(\displaystyle \vec \nabla \cdot \vec E=\frac{\rho}{\epsilon_0} \) si ottiene

\(\displaystyle E_x(x)=\frac{\alpha}{\epsilon_0}\int xdx=\frac{\alpha}{2\epsilon_0}x^2 \)

Questa cosa non riesci a farla con il teorema di Gauss