Formula fondamentale della cinematica rigida
Salve a tutti, avrei un piccolo dubbio che spero possiate risolvere.
E' in realtà molto semplice la questione ma mi sono impelagato su una serie di ragionamenti che mi hanno confuso le idee.
supponendo di avere due terne di riferimento, uno fisso cioe Oxyz e uno mobile cioè O'x'y'z' e supponendo che quest'ultima sia solidale ad un corpo rigido che si muove nello spazio di moto rototraslatorio, allora, preso un punto P solidale al corpo rigido la formula fondamentale della cinematica sarà: Vp= Vo' + w x (P-O'). La velocità relativa sarà Vp-Vo' = Vpo' = w x (P-O') ossia la velocità di P rispetto al punto O' (origine della terna mobile). Tale formula so per certo che vale sia nel caso in cui la terna MOBILE trasli solamente (ossia i versori mantengono orientazione fissa nello spazio) e il punto P che ruota attorno a O' (ricordo che il corpo trasla e ruota) viene individuato dal vettore rotante (P-O'), sia nel caso in cui considero la terna mobile, oltre che traslante anche rotante ( e quindi in versori ruotano insieme al corpo e hanno derivata rispetto al tempo diverso da zero). Quello che mi attanaglia è questo: nel secondo caso, cioè nel caso in cui la terna mobile ruoti e trasli, il vettore (P-O') non ruota rispetto a tale riferimento, cioè rispetto ad O' (cioè quest'ultimo vedrebbe P fermo e non fare una circonferenza attorno a lui), allora perché tale formula continua a valere? Cioè perché c'è sempre questa velocità relativa di P rispetto a O' se quest'ultimo vede P fermo?
Io un idea me la sono fatta e cioè indipendentemente dalla scelta del sistema mobile (che trasli solamente, o che ruoti e trasli insieme al corpo rigido) O' , che è un punto appartenente all'asse di rotazione, vede tutti i suoi punti girare attorno a se, perché qualsiasi retta parallela a omega non ha velocità tangenziale, quindi scelto come punto, un qualsiasi punto come polo dell'origine del sistema di riferimento mobile esso ha velocità nulla, indipendentemente da quello che fa il sistema di riferimento mobile. Vorrei cortesemente una conferma da qualcuno sicuramente più esperto di me. Grazie mille!
E' in realtà molto semplice la questione ma mi sono impelagato su una serie di ragionamenti che mi hanno confuso le idee.
supponendo di avere due terne di riferimento, uno fisso cioe Oxyz e uno mobile cioè O'x'y'z' e supponendo che quest'ultima sia solidale ad un corpo rigido che si muove nello spazio di moto rototraslatorio, allora, preso un punto P solidale al corpo rigido la formula fondamentale della cinematica sarà: Vp= Vo' + w x (P-O'). La velocità relativa sarà Vp-Vo' = Vpo' = w x (P-O') ossia la velocità di P rispetto al punto O' (origine della terna mobile). Tale formula so per certo che vale sia nel caso in cui la terna MOBILE trasli solamente (ossia i versori mantengono orientazione fissa nello spazio) e il punto P che ruota attorno a O' (ricordo che il corpo trasla e ruota) viene individuato dal vettore rotante (P-O'), sia nel caso in cui considero la terna mobile, oltre che traslante anche rotante ( e quindi in versori ruotano insieme al corpo e hanno derivata rispetto al tempo diverso da zero). Quello che mi attanaglia è questo: nel secondo caso, cioè nel caso in cui la terna mobile ruoti e trasli, il vettore (P-O') non ruota rispetto a tale riferimento, cioè rispetto ad O' (cioè quest'ultimo vedrebbe P fermo e non fare una circonferenza attorno a lui), allora perché tale formula continua a valere? Cioè perché c'è sempre questa velocità relativa di P rispetto a O' se quest'ultimo vede P fermo?
Io un idea me la sono fatta e cioè indipendentemente dalla scelta del sistema mobile (che trasli solamente, o che ruoti e trasli insieme al corpo rigido) O' , che è un punto appartenente all'asse di rotazione, vede tutti i suoi punti girare attorno a se, perché qualsiasi retta parallela a omega non ha velocità tangenziale, quindi scelto come punto, un qualsiasi punto come polo dell'origine del sistema di riferimento mobile esso ha velocità nulla, indipendentemente da quello che fa il sistema di riferimento mobile. Vorrei cortesemente una conferma da qualcuno sicuramente più esperto di me. Grazie mille!
Risposte
Penso che su queste cose si possa fare facilmente confusione.
Consideriamo 3 sistemi di riferimento:
O = sistema fisso inerziale.
O' sistema traslante con il corpo, però avente gli assi orientati fissi, come quelli di O
O'' sistema solidale con il corpo, quindi con assi traslanti e rotanti se il corpo trasla e ruota.
I vettori velocità di un punto appartenente al corpo sono diversi a seconda del riferimento considerato. Rispetto al sistema O la chiameremo velocità assoluta, mentre rispetto a O' e O'' le chiameremo velocità relative ai due sistemi.
La velocità assoluta si ottiene dalle velocità relative sommando la velocità relativa (valutata nel sistema relativo) alla velocità di trascinamento, che è la velocità assoluta che avrebbe un punto fisso nel sistema relativo sovrapposto al punto considerato.
Ad esempio detto P il punto considerato del corpo che rototrasla, nel sistema O' questo punto ha vettore posizione P' che ruota soltanto, e la cui velocità relativa è dunque $${{\bf{V}}_{{\bf{P'}}}} = {\bf{\omega }} \times {{\bf{r}}_{{\bf{O'P'}}}}$$.
La velocità di trascinamento di un punto fermo nel sistema relativo sovrapposto a P', valutata nel sistema fisso è $${{\bf{V}}_{{\bf{O'}}}}$$, perché tutti i punti del sistema O' hanno la medesima velocità di trascinamento, valutata nel sistema O, del punto O'. Quindi sommando la velocità relativa con la velocità di trascinamento abbiamo la velocità rispetto al sistema fisso:
$${{\bf{V}}_{\bf{P}}} = {{\bf{V}}_{{\bf{O'}}}} + {\bf{\omega }} \times {{\bf{r}}_{{\bf{O'P'}}}}$$
Il primo addendo è la velocità di trascinamento, il secondo addendo è la velocità relativa.
Se adesso consideriamo il sistema O'', in questo sistema il vettore posizione P'' del medesimo punto del corpo ha componenti immobili rispetto al sistema relativo, quindi la velocità in quel sistema è nulla.
La velocità di trascinamento è invece diversa da quella del sistema O', perché un punto ideale immobile nel sistema O'' e sovrapposto a P'' (in questo caso P'' stesso, visto che è immobile), valutata dal sistema O, cioè la velocità di trascinamento, è in questo caso diversa dalla velocità di O'', ed è uguale a $${{\bf{V}}_{{\bf{O''}}}} + {\bf{\omega }} \times {{\bf{r}}_{{\bf{O''P''}}}}$$
Quindi sommando la velocità relativa con la velocità di trascinamento abbiamo la velocità rispetto al sistema fisso:
$${{\bf{V}}_{\bf{P}}} = {{\bf{V}}_{{\bf{O''}}}} + {\bf{\omega }} \times {{\bf{r}}_{{\bf{O''P''}}}} + {{\bf{V}}_{{\bf{O''P''}}}}$$
I primi due addendi sono la velocità di trascinamento, l'ultimo addendo è la velocità relativa, la quale però è zero perché il sistema di riferimento è solidale col corpo. Pertanto:
$${{\bf{V}}_{\bf{P}}} = {{\bf{V}}_{{\bf{O''}}}} + {\bf{\omega }} \times {{\bf{r}}_{{\bf{O''P''}}}}$$
Le due trasformazioni, dunque dal sistema O' al sitema O e quella dal sistema O'' al sistema O sono uguali, ma ciò non significa che le velocità relative del punto considerato siano le stesse nei sistemi O' e O''
Consideriamo 3 sistemi di riferimento:
O = sistema fisso inerziale.
O' sistema traslante con il corpo, però avente gli assi orientati fissi, come quelli di O
O'' sistema solidale con il corpo, quindi con assi traslanti e rotanti se il corpo trasla e ruota.
I vettori velocità di un punto appartenente al corpo sono diversi a seconda del riferimento considerato. Rispetto al sistema O la chiameremo velocità assoluta, mentre rispetto a O' e O'' le chiameremo velocità relative ai due sistemi.
La velocità assoluta si ottiene dalle velocità relative sommando la velocità relativa (valutata nel sistema relativo) alla velocità di trascinamento, che è la velocità assoluta che avrebbe un punto fisso nel sistema relativo sovrapposto al punto considerato.
Ad esempio detto P il punto considerato del corpo che rototrasla, nel sistema O' questo punto ha vettore posizione P' che ruota soltanto, e la cui velocità relativa è dunque $${{\bf{V}}_{{\bf{P'}}}} = {\bf{\omega }} \times {{\bf{r}}_{{\bf{O'P'}}}}$$.
La velocità di trascinamento di un punto fermo nel sistema relativo sovrapposto a P', valutata nel sistema fisso è $${{\bf{V}}_{{\bf{O'}}}}$$, perché tutti i punti del sistema O' hanno la medesima velocità di trascinamento, valutata nel sistema O, del punto O'. Quindi sommando la velocità relativa con la velocità di trascinamento abbiamo la velocità rispetto al sistema fisso:
$${{\bf{V}}_{\bf{P}}} = {{\bf{V}}_{{\bf{O'}}}} + {\bf{\omega }} \times {{\bf{r}}_{{\bf{O'P'}}}}$$
Il primo addendo è la velocità di trascinamento, il secondo addendo è la velocità relativa.
Se adesso consideriamo il sistema O'', in questo sistema il vettore posizione P'' del medesimo punto del corpo ha componenti immobili rispetto al sistema relativo, quindi la velocità in quel sistema è nulla.
La velocità di trascinamento è invece diversa da quella del sistema O', perché un punto ideale immobile nel sistema O'' e sovrapposto a P'' (in questo caso P'' stesso, visto che è immobile), valutata dal sistema O, cioè la velocità di trascinamento, è in questo caso diversa dalla velocità di O'', ed è uguale a $${{\bf{V}}_{{\bf{O''}}}} + {\bf{\omega }} \times {{\bf{r}}_{{\bf{O''P''}}}}$$
Quindi sommando la velocità relativa con la velocità di trascinamento abbiamo la velocità rispetto al sistema fisso:
$${{\bf{V}}_{\bf{P}}} = {{\bf{V}}_{{\bf{O''}}}} + {\bf{\omega }} \times {{\bf{r}}_{{\bf{O''P''}}}} + {{\bf{V}}_{{\bf{O''P''}}}}$$
I primi due addendi sono la velocità di trascinamento, l'ultimo addendo è la velocità relativa, la quale però è zero perché il sistema di riferimento è solidale col corpo. Pertanto:
$${{\bf{V}}_{\bf{P}}} = {{\bf{V}}_{{\bf{O''}}}} + {\bf{\omega }} \times {{\bf{r}}_{{\bf{O''P''}}}}$$
Le due trasformazioni, dunque dal sistema O' al sitema O e quella dal sistema O'' al sistema O sono uguali, ma ciò non significa che le velocità relative del punto considerato siano le stesse nei sistemi O' e O''
Ciao, ti ringrazio molto per la risposta, mi hai chiarito molti dubbi, però avrei ancora un paio di domande da chiederti; se suppongo di prendere come sistema riferimento mobile quello rototraslante (solidale al corpo rigido che ruota e trasla su un PIANO) e ponessi un osservatore (idealmente) proprio sull'asse di rotazione ossia, come l'hai chiamato tu, sul punto O'' non dovrebbe vedere tutti i punti del corpo rigido ruotare attorno a lui (e quindi non dovrebbe esistere una la velocità relativa w x (P-O'')?) Se poi si mettesse su un punto anche infinitamente vicino a O'' ma diverso da esso dovrebbe vedere tutto fermo perché ruoterebbe (e traslerebbe) insieme al corpo; però sull'asse di rotazione il punto O'' oltre alla velocità traslatoria ( e in caso accelerazione) non dovrebbe avere velocità tangenziale perché dovrebbe appartenere alla retta parallela a omega, cioè detto in altre parole dal punto di vista del moto rotatorio O'' non dovrebbe muoversi (o sbaglio?..sicuramente sbaglio 
). Suppongo che il mio ragionamento sia errato per questo ti chiedo ciò, non perché metto in dubbio le tue affermazioni ma perché vorrei che correggessi il mio modo di ragionare riguardo tale fenomeno. Grazie mille e scusa il disturbo!!!
). Suppongo che il mio ragionamento sia errato per questo ti chiedo ciò, non perché metto in dubbio le tue affermazioni ma perché vorrei che correggessi il mio modo di ragionare riguardo tale fenomeno. Grazie mille e scusa il disturbo!!!
Un osservatore nel sistema O'' anche se è posto in O'' è solidale con gli assi di O'' dunque vede il corpo fermo, anche se sta sulla retta del vettore omega. Se invece è un osservatore solidale con O' allora il corpo gli ruota sotto i piedi.
Osservatore e sistema di riferimento sono del tutto sinonimi e vedono le cose nel medesimo modo.
Osservatore e sistema di riferimento sono del tutto sinonimi e vedono le cose nel medesimo modo.
"Falco5x":
Un osservatore nel sistema O'' anche se è posto in O'' è solidale con gli assi di O'' dunque vede il corpo fermo, anche se sta sulla retta del vettore omega. Se invece è un osservatore solidale con O' allora il corpo gli ruota sotto i piedi.
Osservatore e sistema di riferimento sono del tutto sinonimi e vedono le cose nel medesimo modo.
Vero! Quindi il solo punto O'' vede tutti (gli altri) punti del corpo rigido fermi e non che si muovono attorno a lui giusto?
Vorrei chiederti un ultima cosa se fosse possibile; se volessi studiare le velocità relativa di due punti di un membro di un meccanismo (supposto tale membro corpo rigido) dovrei porre su uno dei due punti un riferimento traslante con tale punto e NON anche ruotante con l'intero membro di un meccanismo, detto in altre parole dovrei porre un sistema di riferimento solidale con il punto (il punto per definizione può solo traslare e non ruotare) e non con l'intero corpo (detto in un modo ulteriormente diverso dovrei prendere il sistema di riferimento solidale con il membro rigido incentrato su uno dei due punti che sto studiando e che mantiene l'orientazione degli assi fissa, e cioè che non ruota) giusto? grazie e scusami ancora
Se hai un corpo rigido e vuoi studiare il moto relativo di due punti, ovvero di un punto rispetto all'altro, puoi porre il riferimento su uno dei due punti e studiare la velocità dell'altro, ma puoi anche porre il riferimento su un terzo punto comodo, per esempio un punto che rispetto al sistema fisso trasla soltanto senza ruotare, oppure sul centro di massa del corpo, e studiare le velocità relative dei due punti in questo sistema e poi fare la differenza di queste due velocità.
Grazie mille, sei stato gentilissimo!!!
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