Formula di poisson

[BDZero]

salve a tutti sono uno studente di ingegneria meccanica (primo anno) . Non sono riuscito a capire come da titolo la formula di poisson ,derivata di un vettore rotante e dimostrazione . Qualcuno di voi di buona volontà potrebbe spiegarmelo? Grazie mille in anticipo =)

[alephante]

Probabilmente non sarò molto metodico nel risponderti (non so con precisione quale sia la formula di Poisson fra quelle che scriverò), ma dovrei riuscire a risultare chiaro.

Cominciamo con quella che chiami derivata di un "vettore rotante". Immagino che con vettore rotante tu intenda un vettore che nel tempo evolve sia per modulo che per direzione e verso. Scrivo questo generico vettore come
\[
\vec{v} = v \hat{v},
\]
con $v$ modulo di $\vec{v}$ e $\hat{v}$ versore (ossia vettore di modulo unitario) diretto come $\vec{v}$. Nel momento in cui provo a derivare rispetto al tempo questo vettore, per la regola di Leibnitz ottengo
\[
\frac{d \vec{v}}{d t} = \frac{d v}{d t} \hat{v} + v \frac{d \hat{v}}{d t}.
\]

Il primo termine $\frac{d v}{d t} \hat{v}$ è chiaramente una componente diretta come $\vec{v}$ legata alla variazione del modulo. Che dire dell'altro termine? Qui entra in gioco la formula di Poisson: dobbiamo capire la particolarità di $\frac{d \hat{v}}{d t}$. Per scovarla moltiplico scalarmente la derivata per $\hat{v}$ e osservo che (sempre per la regola di Leibnitz)
\[
\frac{d \hat{v}}{d t} \cdot \hat{v} = \frac{1}{2} \frac{d \|\hat{v}\|^2}{d t} = 0,
\]
nullo poiché per definizione \(\|\hat{v}\| \equiv 1\). Quindi la derivata del versore è un vettore $\vec{n} = n\hat{n}$ normale a $\hat{v}$.

Il termine su cui ci siamo interrogati rappresenta quindi una componente normale a $\vec{v}$, la quale è unicamente legata alla sua rotazione (poiché deriv dalla variazione di $\hat{v}$). Per evidenziare ciò potremmo scrivere
\[
\frac{d \vec{v}}{d t} = \frac{d v}{d t} \hat{v} + v n \hat{n}.
\]