Forma matematica conservazione quantità di moto
Ciao,
Nel libro c'è scritto che questa formula: $sumvecF=(dvecp)/dt$ vale anche quando varia la massa (a differenza della legge $vecF=mveca$).
Però a lezione l'abbiamo dimostrata così:
$(dvecp)/dt=(dmvecv)/dt=m(dvecv)/dt=mveca=vecF$.
Quindi quando porto fuori la massa dalla derivata è perché questa è costante, allora come mai la formula vale anche se la massa è variabile? In altre parole, il fatto che considero la massa costante e quindi la porto fuori dalla derivata, perché non limita la formula finale alla sola massa costante?
Grazie.
Nel libro c'è scritto che questa formula: $sumvecF=(dvecp)/dt$ vale anche quando varia la massa (a differenza della legge $vecF=mveca$).
Però a lezione l'abbiamo dimostrata così:
$(dvecp)/dt=(dmvecv)/dt=m(dvecv)/dt=mveca=vecF$.
Quindi quando porto fuori la massa dalla derivata è perché questa è costante, allora come mai la formula vale anche se la massa è variabile? In altre parole, il fatto che considero la massa costante e quindi la porto fuori dalla derivata, perché non limita la formula finale alla sola massa costante?
Grazie.
Risposte
Tale espressione è la più generale possibile, in quanto comprende sia il caso relativistico che non. Nel caso della meccanica classica, $ m $ la puoi considerare costante, e quindi portarla fuori dalla derivata. Nel caso relativistico $ m $ può essere funzione del tempo, e quindi non puoi più portare la massa fuori dalla derivata
"totoredoc":
Tale espressione è la più generale possibile, in quanto comprende sia il caso relativistico che non. Nel caso della meccanica classica, $ m $ la puoi considerare costante, e quindi portarla fuori dalla derivata. Nel caso relativistico $ m $ può essere funzione del tempo, e quindi non puoi più portare la massa fuori dalla derivata
Allora non è vero quello che dice il libro. Se la massa è variabile $(dvecp)/dt!=sumvecF$ , perché non posso portare fuori la massa dalla derivata giusto?
Ciò che è sempre vero é che il risultante delle forze é uguale alla derivata della quantità di moto. Invece quella che non vale sempre é $ F=ma$
"totoredoc":
Ciò che è sempre vero é che il risultante delle forze é uguale alla derivata della quantità di moto.
Anche se per arrivare a quell'equazione abbiamo dovuto supporre che la massa è costante?
@ AnalisiZero
nel forum esistono parecchie discussioni sui cosiddetti sistemi a massa variabile . Un razzo che espelle gas per muoversi , è un sistema a "massa variabile " , anche se questa definizione è un po' impropria. Guarda questa discussione , e limitati alla meccanica classica .
@totoredoc
non so quante volte ho ripetuto nel forum che la massa , in relatività , è un invariante relativistico . La massa non muta con la velocità , un elettrone ha massa $0.511 (MeV)/c^2$ , anche se lo porti al 99.99% della velocita della luce. Se la massa fosse variabile con la velocità , dipenderebbe dall'osservatore che misura quella velocità , e quando mai la massa dipende dall'osservatore ? Il concetto di massa che varia con la velocità , in voga nel secolo scorso (anche Feynman ne parlava) , è superato.
Questo è uno dei tanti interventi . Ce ne sono altri , basta usare la funzione "cerca" , in alto a destra , e digitare "massa relativistica invariante" .
nel forum esistono parecchie discussioni sui cosiddetti sistemi a massa variabile . Un razzo che espelle gas per muoversi , è un sistema a "massa variabile " , anche se questa definizione è un po' impropria. Guarda questa discussione , e limitati alla meccanica classica .
@totoredoc
non so quante volte ho ripetuto nel forum che la massa , in relatività , è un invariante relativistico . La massa non muta con la velocità , un elettrone ha massa $0.511 (MeV)/c^2$ , anche se lo porti al 99.99% della velocita della luce. Se la massa fosse variabile con la velocità , dipenderebbe dall'osservatore che misura quella velocità , e quando mai la massa dipende dall'osservatore ? Il concetto di massa che varia con la velocità , in voga nel secolo scorso (anche Feynman ne parlava) , è superato.
Questo è uno dei tanti interventi . Ce ne sono altri , basta usare la funzione "cerca" , in alto a destra , e digitare "massa relativistica invariante" .
"Shackle":
@ AnalisiZero
nel forum esistono parecchie discussioni sui cosiddetti sistemi a massa variabile . Un razzo che espelle gas per muoversi , è un sistema a "massa variabile " , anche se questa definizione è un po' impropria. Guarda questa discussione , e limitati alla meccanica classica .
@totoredoc
non so quante volte ho ripetuto nel forum che la massa , in relatività , è un invariante relativistico . La massa non muta con la velocità , un elettrone ha massa $0.511 (MeV)/c^2$ , anche se lo porti al 99.99% della velocita della luce. Se la massa fosse variabile con la velocità , dipenderebbe dall'osservatore che misura quella velocità , e quando mai la massa dipende dall'osservatore ? Il concetto di massa che varia con la velocità , in voga nel secolo scorso (anche Feynman ne parlava) , è superato.
Questo è uno dei tanti interventi . Ce ne sono altri , basta usare la funzione "cerca" , in alto a destra , e digitare "massa relativistica invariante" .
Forse il mio dubbio nasce dal fatto che a lezione si è dimostrata la formula con la quantità di moto assumendo nota la formula $vecF=mveca$, che vale se la massa è costante.
Comunque il primo link che hai messo è proprio ciò che mi interessa, grazie.
Ciao @Shackle.
Mi pare che sei passato subito a insegnare a tutti senza leggere. Se guardi un attimo ho scritto che nell'espressione che lega la derivata della quantità di moto alla risultante delle forze, puoi portare il termine $ m$ fuori dal segno di derivata in ambito classico, in ambito relativistico no. Infatti il termine m che compare nell'espressione della quantità di moto, come l'ha scritta @AnalisiZero, é funzione del tempo.
Mi pare che sei passato subito a insegnare a tutti senza leggere. Se guardi un attimo ho scritto che nell'espressione che lega la derivata della quantità di moto alla risultante delle forze, puoi portare il termine $ m$ fuori dal segno di derivata in ambito classico, in ambito relativistico no. Infatti il termine m che compare nell'espressione della quantità di moto, come l'ha scritta @AnalisiZero, é funzione del tempo.
Il mio dubbio è:
A partire dal rapporto $(dvecp)/dt$, si dimostra che SE la massa è costante, quel rapporto è uguale a $mveca$, quindi uguale a $vecF$.
Come si dimostra che l'uguaglianza vale anche se la massa non è costante?
A partire dal rapporto $(dvecp)/dt$, si dimostra che SE la massa è costante, quel rapporto è uguale a $mveca$, quindi uguale a $vecF$.
Come si dimostra che l'uguaglianza vale anche se la massa non è costante?
"totoredoc":
Ciao @Shackle
Mi pare che sei passato subito a insegnare a tutti senza leggere. Se guardi un attimo ho scritto che nell'espressione che lega la derivata della quantità di moto alla risultante delle forze, puoi portare il termine $ m$ fuori dal segno di derivata in ambito classico, in ambito relativistico no. Infatti il termine m che compare nell'espressione della quantità di moto, come l'ha scritta @AnalisiZero, é funzione del tempo.
Quello che hai scritto , l'ho letto molto bene :
"totoredoc":
Tale espressione è la più generale possibile, in quanto comprende sia il caso relativistico che non. Nel caso della meccanica classica, m la puoi considerare costante, e quindi portarla fuori dalla derivata. Nel caso relativistico m può essere funzione del tempo, e quindi non puoi più portare la massa fuori dalla derivata
E qui sta l'errore : anche in meccanica relativistica puoi portare $m$ fuori del segno di derivata, perchè è invariante , non dipende dal tempo dell'osservatore . Si ha (ometto il segno di vettore) :
$F = (dp)/(dt) = d/(dt) (gammamv) = m d/(dt) (gammav) = m [ gamma (dv)/(dt) + v (dgamma)/(dt) ] $
naturalmente la parentesi quadra va poi sviluppata. Gli sviluppi sono in altri messaggi.
Questo non lo insegno io, che non sono nessuno. Lo insegna il punto di vista moderno sulla relatività . Se ti interessa , da' un'occhiata a questi articoli, cominciando da quello di Elio Fabri :
http://osiris.df.unipi.it/~fabri/sagredo/Q16/lez12.pdf
https://arxiv.org/pdf/physics/0504110v2.pdf
http://www.hysafe.org/science/KareemChi ... 31to36.pdf
se leggi, ti rendi conto che lo stesso Einstein , scrivendo all'amico Barnett nel 1948 , aveva detto questo :
ho copiato dall'articolo di Okun sopra citato ( il secondo) . L'appello di Einstein fu ignorato, e si continuò a parlare di massa dipendente dalla velocità , per molti anni; anche grandi fisici accettarono questo concetto.
Ma naturalmente ci sono anche oggi i dissenzienti , professori che scrivono libri , i quali continuano a dire che la massa aumenta con la velocità . Per esempio , questo è uno che dissente, e continua a sostenere che è preferibile parlare di massa che aumenta con la velocità . Ho messo il link per "par condicio" .
Io sto con coloro che ritengono più corretto assumere che $m$ sia un invariante relativistico , a tutte le velocità , perchè è più logico.
Ciao @Shackle, non c'è bisogno che mi citi Einstein, ne ho sentito parlare...
Ricordiamoci tuttavia che questo topic nasce per rispondere alla domanda di @AnalisiZero, che aveva chiesto perché nell'espressione $(dvecp)/dt=(dmvecv)/dt $, se la massa è costante può essere portata fuori dal segno di integrale. Ora mi pare ovvio che affinchè tale espressione sia sempre valida, ovvero anche in ambito relativistico, per $m$ (che è un simbolo) bisogna intendere la quantità $gammam_0 $, dove $gamma$ è funzione della velocità, e $m_0$ (un altro simbolo) è un invariante che dipende dal'oggetto che stiamo considerando (quella che tu chiami massa). Di conseguenza $m_0$ lo puoi portare fuori dalla derivata.
Ti faccio notare che io ho detto che se si esprime la quantità di moto come $p=mv$ (e quindi ovviamente $m=gammam_0 $), il termine $m$ (è un simbolo, quindi chiamala massa relativistica, massa secondo Einstein, massa secondo Feynman, massa di Elio Fabri o come più ti piace) non lo puoi portare fuori dal segno di derivata.
Rispondendo a @AnalisiZero, in ambito classico il termine $gamma$ lo si suppone unitario, e quindi $m=m_0$ è una costante, e la puoi portare furoi dal segno di derivata
Ricordiamoci tuttavia che questo topic nasce per rispondere alla domanda di @AnalisiZero, che aveva chiesto perché nell'espressione $(dvecp)/dt=(dmvecv)/dt $, se la massa è costante può essere portata fuori dal segno di integrale. Ora mi pare ovvio che affinchè tale espressione sia sempre valida, ovvero anche in ambito relativistico, per $m$ (che è un simbolo) bisogna intendere la quantità $gammam_0 $, dove $gamma$ è funzione della velocità, e $m_0$ (un altro simbolo) è un invariante che dipende dal'oggetto che stiamo considerando (quella che tu chiami massa). Di conseguenza $m_0$ lo puoi portare fuori dalla derivata.
Ti faccio notare che io ho detto che se si esprime la quantità di moto come $p=mv$ (e quindi ovviamente $m=gammam_0 $), il termine $m$ (è un simbolo, quindi chiamala massa relativistica, massa secondo Einstein, massa secondo Feynman, massa di Elio Fabri o come più ti piace) non lo puoi portare fuori dal segno di derivata.
Rispondendo a @AnalisiZero, in ambito classico il termine $gamma$ lo si suppone unitario, e quindi $m=m_0$ è una costante, e la puoi portare furoi dal segno di derivata
"totoredoc":
Ciao @Shackle, non c'è bisogno che mi citi Einstein, ne ho sentito parlare...
Ricordiamoci tuttavia che questo topic nasce per rispondere alla domanda di @AnalisiZero, che aveva chiesto perché nell'espressione $(dvecp)/dt=(dmvecv)/dt $, se la massa è costante può essere portata fuori dal segno di derivata.
Bene, e allora limitiamoci a rispondere alla domanda di AnalisiZero, rimaniamo in meccanica classica , ed evitiamo di citare la relatività , visto che i concetti , e le definizioni, in ambito relativistico cambiano un po' ...
Ora mi pare ovvio che affinchè tale espressione sia sempre valida, ovvero anche in ambito relativistico, per $m$ (che è un simbolo) bisogna intendere la quantità $gammam_0 $, dove $gamma$ è funzione della velocità, e $m_0$ (un altro simbolo) è un invariante che dipende dal'oggetto che stiamo considerando (quella che tu chiami massa). Di conseguenza $m_0$ lo puoi portare fuori dalla derivata.
L'inghippo è proprio in quello che ho evidenziato . L'espressione :
$F = (dp)/(dt) = (d(mv))/(dt)$
non può essere sempre valida , perchè in ambito relativistico la quantità di moto , parte spaziale, non si puó scrivere :
$p = mv$ , bensí va scritta : $p = gammamv$
cioè occorre aggiungere un fattore correttivo $gamma$ , e questo fatto, che non è semplice da vedere, lo dimostra comunque Elio Fabri nella sua dispensa. Naturalmente, l'assunto è che $m$ sia invariante . Perciò , la questione si sposta su un altro punto : che cos'è la massa , in meccanica classica ? Che cos'è la massa , in relatività ? Non sono questioni di lana caprina .
Ti faccio notare che io ho detto che se si esprime la quantità di moto come $p=mv$ (e quindi ovviamente $m=gammam_0 $), il termine $m$ (è un simbolo, quindi chiamala massa relativistica, massa secondo Einstein, massa secondo Feynman, massa di Elio Fabri o come più ti piace) non lo puoi portare fuori dal segno di integrale.
Rispondendo a @AnalisiZero, in ambito classico il termine $gamma$ lo si suppone unitario, e quindi $m=m_0$ è una costante, e la puoi portare furoi dal segno di derivata
Tu introduci un nuovo simbolo : $m_0$ , che dovrebbe significare "massa a velocita zero". Questo indurrebbe a pensare che, a velocita diversa da zero, la massa sia $m>m_0$ , poichè dovrebbe essere : $m = gammam_0$ .
Ma Okun , e altri, dicono che non c'è bisogno del concetto di massa a velocità zero. Basta una sola massa . Perciò , in relatività , che cosa è la massa, secondo Okun e gli altri ? Non è la massa inerziale di Newton , non è la massa gravitazionale, ( concetti che , se ci pensiamo bene, sono sfuggenti , come quando si parla del tempo...) . La massa invariante, in relatività, è la componente temporale del 4-impulso , ovviamente a meno del fattore $c$ . E non solo : quando si calcola la norma del 4-impulso , si ha che : $|P| = mc$ , e la norma di un 4-vettore deve essere invariante.
Limitiamoci dunque a rispondere a AnalisiZero, rimanendo in meccanica classica , altrimenti andiamo fuori tema.
"Shackle":
[quote="totoredoc"]Ciao @Shackle, non c'è bisogno che mi citi Einstein, ne ho sentito parlare...
Ricordiamoci tuttavia che questo topic nasce per rispondere alla domanda di @AnalisiZero, che aveva chiesto perché nell'espressione $(dvecp)/dt=(dmvecv)/dt $, se la massa è costante può essere portata fuori dal segno di derivata.
Bene, e allora limitiamoci a rispondere alla domanda di AnalisiZero, rimaniamo in meccanica classica , ed evitiamo di citare la relatività , visto che i concetti , e le definizioni, in ambito relativistico cambiano un po' ...
Ora mi pare ovvio che affinchè tale espressione sia sempre valida, ovvero anche in ambito relativistico, per $m$ (che è un simbolo) bisogna intendere la quantità $gammam_0 $, dove $gamma$ è funzione della velocità, e $m_0$ (un altro simbolo) è un invariante che dipende dal'oggetto che stiamo considerando (quella che tu chiami massa). Di conseguenza $m_0$ lo puoi portare fuori dalla derivata.
L'inghippo è proprio in quello che ho evidenziato . L'espressione :
$F = (dp)/(dt) = (d(mv))/(dt)$
non può essere sempre valida , perchè in ambito relativistico la quantità di moto , parte spaziale, non si puó scrivere :
$p = mv$ , bensí va scritta : $p = gammamv$
cioè occorre aggiungere un fattore correttivo $gamma$ , e questo fatto, che non è semplice da vedere, lo dimostra comunque Elio Fabri nella sua dispensa. Naturalmente, l'assunto è che $m$ sia invariante . Perciò , la questione si sposta su un altro punto : che cos'è la massa , in meccanica classica ? Che cos'è la massa , in relatività ? Non sono questioni di lana caprina .
Ti faccio notare che io ho detto che se si esprime la quantità di moto come $p=mv$ (e quindi ovviamente $m=gammam_0 $), il termine $m$ (è un simbolo, quindi chiamala massa relativistica, massa secondo Einstein, massa secondo Feynman, massa di Elio Fabri o come più ti piace) non lo puoi portare fuori dal segno di integrale.
Rispondendo a @AnalisiZero, in ambito classico il termine $gamma$ lo si suppone unitario, e quindi $m=m_0$ è una costante, e la puoi portare furoi dal segno di derivata
Tu introduci un nuovo simbolo : $m_0$ , che dovrebbe significare "massa a velocita zero". Questo indurrebbe a pensare che, a velocita diversa da zero, la massa sia $m>m_0$ , poichè dovrebbe essere : $m = gammam_0$ .
Ma Okun , e altri, dicono che non c'è bisogno del concetto di massa a velocità zero. Basta una sola massa . Perciò , in relatività , che cosa è la massa, secondo Okun e gli altri ? Non è la massa inerziale di Newton , non è la massa gravitazionale, ( concetti che , se ci pensiamo bene, sono sfuggenti , come quando si parla del tempo...) . La massa invariante, in relatività, è la componente temporale del 4-impulso , ovviamente a meno del fattore $c$ . E non solo : quando si calcola la norma del 4-impulso , si ha che : $|P| = mc$ , e la norma di un 4-vettore deve essere invariante.
Limitiamoci dunque a rispondere a AnalisiZero, rimanendo in meccanica classica , altrimenti andiamo fuori tema.[/quote]
A lezione si è partiti da questo rapporto:
$(dvecp)/dt$, senza dire che è uguale a $vecf$. Si sono semplicemente sviluppati i calcoli e se la massa è costante si è trovato che quel rapporto vale $mveca$, cioè $vecf$.
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