Forma generale dell'Hamiltoniana di un sistema bipartito
Buondì 
Rieccomi con una domanda semplice a cui non trovo risposta:
Considerando una particella il cui stato può essere rappresentato dai vettori di base: $|1>$, $|2>$, si chiede di scrivere la matrice rappresentativa della più generale Hamiltonianna in questa base.
Ora, io so che:
\[ <1|H|1>=E_1 \qquad
<2|H|2>=E_2 \]
E quindi gli elementi diagonali sono andati, mi trovo un po' in difficoltà a valutare $<1|H|2>$ e $<2|H|1>$, qualcuno può aiutarmi?
Grazie mille in anticipo
Rieccomi con una domanda semplice a cui non trovo risposta:
Considerando una particella il cui stato può essere rappresentato dai vettori di base: $|1>$, $|2>$, si chiede di scrivere la matrice rappresentativa della più generale Hamiltonianna in questa base.
Ora, io so che:
\[ <1|H|1>=E_1 \qquad
<2|H|2>=E_2 \]
E quindi gli elementi diagonali sono andati, mi trovo un po' in difficoltà a valutare $<1|H|2>$ e $<2|H|1>$, qualcuno può aiutarmi?
Grazie mille in anticipo
Risposte
Quale vincolo hai su un operatore affinché rappresenti una osservabile? A questo punto, si tratta di scrivere la più generale matrice che soddisfi tale vincolo
Se invece ti metti, come mi pare di capire nella base degli autostati dell'energia i termini off diagonal sono nulli per definizione, ma immagino che la base data non sia quella degli autostati dell'energia
Se invece ti metti, come mi pare di capire nella base degli autostati dell'energia i termini off diagonal sono nulli per definizione, ma immagino che la base data non sia quella degli autostati dell'energia
L'operatore deve essere hermitiano e la base data è proprio quella degli autostati dell'energia, infatti anche io pensavo fossero nulli gli off diagonal terms, tuttavia la soluzione da come off diagonal terms $a \cdot e^{\pm i \varphi}$, i quali suppongo (e qui dimmi se sto straparlando) si possano scegliere nulli per arbitrarietà, è proprio questo passaggio che non mi è chiaro.
Per intenderci la matriche H è:
\begin{array}{cc} E_1 & a \cdot e^{i \varphi} \\
a \cdot e^{-i \varphi} & E_2 \end{array}
Per intenderci la matriche H è:
\begin{array}{cc} E_1 & a \cdot e^{i \varphi} \\
a \cdot e^{-i \varphi} & E_2 \end{array}
Se la base data è quella degli autostati dell'energia e lo spettro è non degenere, i termini fuori diagonale devono essere nulli (autovettori relativi ad autovalori diversi sono ortogonali). Nel caso degenere, lascio a te provare a rispondere.
Nel caso della base degli autostati dell hamiltoniana, la rappresentazione matriciale è banale. Ma dubito che sia questo davvero il caso che viene richiesto nel problema..
Puoi rispondere così: se imponi un vincolo di hermitianità alla più generale matrice complessa 2x2 che ottieni?
Nel caso della base degli autostati dell hamiltoniana, la rappresentazione matriciale è banale. Ma dubito che sia questo davvero il caso che viene richiesto nel problema..
Puoi rispondere così: se imponi un vincolo di hermitianità alla più generale matrice complessa 2x2 che ottieni?
Ok, rileggendo il testo del problema i due stati che compongono la base sono associati alla cattura dell'elettrone da parte di uno e dell'altro atomo di una molecola biatomica quindi immagino sia diverso da dire che sono autostati dell'energia.
Riguardo alla tua domanda, imponendo il vincolo di hermitianità alla matrice complessa 2x2 mi risulta che gli elementi diagonali dovranno essere reali mentre quelli off diagonal dovranno essere uno il complesso coniugato dell'altro, il che è coerente con la matrice scritta sopra, in cui gli elementi off diagonal sono dei generici numeri complessi scritti in notazione polare.
Quindi, se ho capito bene, nella base degli autostati dell'energia ho elementi off diagonal nulli, se invece la base è diversa da quella degli autostati di energia avrò dei generici numeri complessi (con $a_{ij}=a_{ji} \ast$) come off diagonal terms per rispettare l'hermitianità dell'operatore.
Riguardo alla tua domanda, imponendo il vincolo di hermitianità alla matrice complessa 2x2 mi risulta che gli elementi diagonali dovranno essere reali mentre quelli off diagonal dovranno essere uno il complesso coniugato dell'altro, il che è coerente con la matrice scritta sopra, in cui gli elementi off diagonal sono dei generici numeri complessi scritti in notazione polare.
Quindi, se ho capito bene, nella base degli autostati dell'energia ho elementi off diagonal nulli, se invece la base è diversa da quella degli autostati di energia avrò dei generici numeri complessi (con $a_{ij}=a_{ji} \ast$) come off diagonal terms per rispettare l'hermitianità dell'operatore.
Sì esatto. La più generica matrice hermitiana 2x2 è combinazione lineare delle tre matrici di Pauli e della matrice identità (hai appunto 8 - 2 - 2 = 4 parametri reali liberi) - cosa che puoi vedere anche nella tua risoluzione e. Nota infine che, nella forma più generale, i termini sulla diagonale non sono gli autovalori dell'energia. Vero è che, essendo la traccia invariante sotto cambio di base, la somma dei termini sulla diagonale è (sempre) pari alla somma degli autovalori di energia
Ok credo di aver capito, un'ultima cosa: è corretto dire che, nonostante gli elementi sulla diagonale non siano gli autovalori dell'energia, essi hanno comunque la dimensione di un energia? E quindi, rappresentano comunque l'energia di qualcosa?
Dimensionalmente si tratta di energia. Tuttavia non puoi identificarli con l'energia di qualcosa (al massimo puoi dire in che modo contribuiscono alla determinazione dello spettro, eg puoi dire che il termine proporzionale alla matrice identità agisce traslando i livelli energetici, puoi dire che i termini fuori diagonale determinano l'ampiezza dello splitting tra i livelli energetici ...
ps ora che ci penso, dato che l'energia è definita a meno di una costante puoi bellamente omettere il termine proporzionale alla matrice identità: la più generica H di un sistema bipartito è quindi una combinazione lineare delle matrici di Pauli.
ps ora che ci penso, dato che l'energia è definita a meno di una costante puoi bellamente omettere il termine proporzionale alla matrice identità: la più generica H di un sistema bipartito è quindi una combinazione lineare delle matrici di Pauli.
Scusami, la sto tirando più lunga di quanto dovrei forse 
però il tuo ps mi perplime. Se la mia matrice H fosse combinazione lineare delle sole matrici di pauli questo non vorrebbe dire che $E_1=-E_2$ ? Essendo i termini diagonali proporzionali soltanto a $\sigma_z$
però il tuo ps mi perplime. Se la mia matrice H fosse combinazione lineare delle sole matrici di pauli questo non vorrebbe dire che $E_1=-E_2$ ? Essendo i termini diagonali proporzionali soltanto a $\sigma_z$
i coefficienti sulla diagonale sarebbero uguali e opposti, certo (come detto prima, non sono in generale gli autovalori dell'energia).
Immagino che questa domanda nasca da un dubbio, di quale si tratta?
Immagino che questa domanda nasca da un dubbio, di quale si tratta?
Credo riguardi il fatto che l'energia è definita a meno di una costante, se io cambiassi base e mi mettessi in una base degli autostati dell'energia a quel punto i termini sulla diagonale sarebbero gli autovalori dell'energia, non sarebbero anch'essi definiti a meno di una costante? E in quel caso, potrei scegliere quella costante in modo da avere di nuovo $E_1=-E_2$?
Ignora il mio ps: non ho il tempo per rifletterci meglio, ma su due piedi non può esistere una trasformazione unitaria la cui azione trasli la H di una costante (il punto è, sotto l'azione di una trasformazione unitaria lo spettro di H non dovrebbe cambiare). In secondo luogo, perché ovunque viene data la soluzione iniziale. Terzo luogo: perché il ps è un caso particolare della soluzione generale.
Concordo che non serve indugiare ulteriormente.
Concordo che non serve indugiare ulteriormente.
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