Flusso monocromatico
La radiogalassia Centaurus A ha un redshift z=0.00157.
Ad una frequenza $nu=1400 MHz$ il suo flusso monocromatico è $F=9.12 10^{24} W/m^2/Hz$.
Si consideri un universo con $H_0=72 km/s/Mpc$, $q_0=0.6$
i) Supponendo che lo spettro di emissione di Centaurus A sia una legge di potenza $ F=F_0(nu/nu_0)^alpha $ con $alpha=-0.6$, calcolare la sua luminosità nel radio (che si estende convenzionalmente da 0 Hz a 3 GHz).
Tentativo di soluzione:
Per trovare la luminosità ho bisogno della distanza, che per redshift cosi piccoli può essere ricavata dalla legge di Hubble:
$ d=(cz)/H_0 =7.3 Mpc = 2.3 10^{23} m $
allora, poichè $L=4 pi d^2 F$, se pongo $nu_0=1400 MHz$ e $F_0=9.12 10^{24} W/(m^2 Hz)$
ricavo il flusso F come $ F=int_(0)^(3GHz) F_0 (nu/nu_0)^alpha dnu = 4.3 10^{-14} W/(m^2 Hz)$
sicchè la luminosità sarebbe $L=2.9 10^{34} W/(Hz)$ che dimensionalmente è compatibile con una radiogalassia, ma quell'Hz a denominatore non lo capisco...
Ad una frequenza $nu=1400 MHz$ il suo flusso monocromatico è $F=9.12 10^{24} W/m^2/Hz$.
Si consideri un universo con $H_0=72 km/s/Mpc$, $q_0=0.6$
i) Supponendo che lo spettro di emissione di Centaurus A sia una legge di potenza $ F=F_0(nu/nu_0)^alpha $ con $alpha=-0.6$, calcolare la sua luminosità nel radio (che si estende convenzionalmente da 0 Hz a 3 GHz).
Tentativo di soluzione:
Per trovare la luminosità ho bisogno della distanza, che per redshift cosi piccoli può essere ricavata dalla legge di Hubble:
$ d=(cz)/H_0 =7.3 Mpc = 2.3 10^{23} m $
allora, poichè $L=4 pi d^2 F$, se pongo $nu_0=1400 MHz$ e $F_0=9.12 10^{24} W/(m^2 Hz)$
ricavo il flusso F come $ F=int_(0)^(3GHz) F_0 (nu/nu_0)^alpha dnu = 4.3 10^{-14} W/(m^2 Hz)$
sicchè la luminosità sarebbe $L=2.9 10^{34} W/(Hz)$ che dimensionalmente è compatibile con una radiogalassia, ma quell'Hz a denominatore non lo capisco...
Risposte
Qualcuno può darmi un suggerimento?
L'Hz a denominatore sparisce quando integri. Il resto mi sembra corretto anche se sono un po' arrugginito con queste cose.
Giusto, era una sciocchezza.
Grazie!
Grazie!
Le domande successive del problema sono le seguenti:
2) Discutere se sia necessario utilizzare la correzione al secondo ordine in z (dipendente da $q_0$) per la stima della distanza.
3) Quanto cambierebbe il risultato (1) se la costante di Hubble foss $H_0 = 50 (km)/{s\ Mpc}$ ?
4) Il nucleo di Centaurus A ha una dimensione di circa 0.01 pc, e produce un flusso a 1400 MHz di circa $3 × 10^{−26} W/{m^2\Hz}$. Se questa fosse dovuta ad emissione isotropa di corpo nero, che temperatura dovrebbe avere ?
5) E’ sostenibile questa ipotesi ?
Tentativo di soluzione:
2) La correzione al secondo ordine in z prevede che : $ d ~~ c/H_0 z [ 1-(1+q_0)/2 z ] $ che porta un contributo relativamente trascurabile alla distanza.
3) La luminosità ottenuta con una costante di Hubble "più lenta" è: $ L' = 5.8 xx 10^{34} W $ , che risulta dunque il doppio di quella trovata al punto (1).
4) La temperatura di brillanza è la temperatura che avrebbe un corpo nero se la sua brillanza fosse dovuta ad emissione di blackbody: $ T_B = c^2 / (2k nu^2)B_{nu} $
ma qui ho un dubbio sulla definizione di brillanza $ B_{nu} $ perchè, se la scrivo come flusso per unità di angolo solido ottengo una temperatura di brillanza che è in unità di kelvin/steradiante...
Qualcuno può darmi una mano in proposito?
2) Discutere se sia necessario utilizzare la correzione al secondo ordine in z (dipendente da $q_0$) per la stima della distanza.
3) Quanto cambierebbe il risultato (1) se la costante di Hubble foss $H_0 = 50 (km)/{s\ Mpc}$ ?
4) Il nucleo di Centaurus A ha una dimensione di circa 0.01 pc, e produce un flusso a 1400 MHz di circa $3 × 10^{−26} W/{m^2\Hz}$. Se questa fosse dovuta ad emissione isotropa di corpo nero, che temperatura dovrebbe avere ?
5) E’ sostenibile questa ipotesi ?
Tentativo di soluzione:
2) La correzione al secondo ordine in z prevede che : $ d ~~ c/H_0 z [ 1-(1+q_0)/2 z ] $ che porta un contributo relativamente trascurabile alla distanza.
3) La luminosità ottenuta con una costante di Hubble "più lenta" è: $ L' = 5.8 xx 10^{34} W $ , che risulta dunque il doppio di quella trovata al punto (1).
4) La temperatura di brillanza è la temperatura che avrebbe un corpo nero se la sua brillanza fosse dovuta ad emissione di blackbody: $ T_B = c^2 / (2k nu^2)B_{nu} $
ma qui ho un dubbio sulla definizione di brillanza $ B_{nu} $ perchè, se la scrivo come flusso per unità di angolo solido ottengo una temperatura di brillanza che è in unità di kelvin/steradiante...
Qualcuno può darmi una mano in proposito?
Mi basterebbe anche soltanto qualche definizione...
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