Flusso di E attraverso superficie sottendente angolo solido

[MrMojoRisin891]

Buonasera, sono alle prese con questo esercizio:
"Si calcoli il flusso del campo elettrico prodotto da una carica puntiforme $Q_0 = 1 μC$ posta al centro di un sistema di riferimento cartesiano attraverso la superficie in figura sapendo che tale superficie sottende, rispetto al centro del sistema di riferimento, un angolo solido pari a $Omega = 2/3pi$, e che le dimensioni e la posizione della superficie sono quelle
indicate in figura."


Dalla definizione di angolo solido, il flusso attraverso la superficie in figura sarà uguale a quello attraverso una circonferenza $S$, proiezione della superficie stessa su una sfera centrata sulla carica, di raggio $r$, con $r$ (a quanto ho capito) distanza minima tra la superficie e il centro del sistema di riferimento, in questo caso ($6cm$).
Allora, visto che $Omega=S/r^2$,
$phi_E=intint\vecEd\vecS=EOmegar^2=1/(4piepsilon_0)(Q_0)/(r^2)2/3pir^2=1/(4piepsilon_0)(Q_0)2/3pi$

È corretto?
Grazie

[donald_zeka]

Prova a disegnare una sfera di raggio pari alla distanza dei vertici di quel rettangolo dalla carica, e considera la superficie chiusa delimitata dalla sfera e da quel rettangolo, essa non presenta cariche interne, quindi il flusso entrante da quel rettangolo è uguale al flusso uscente dall'angolo solido di 2/3pi della sfera di quel raggio.

[MrMojoRisin891]

e quindi la formula del flusso scritta da me è corretta, vero?

[donald_zeka]

Non è una questione di formule, prima di scrivere la formula devi capire graficamente cosa succede e perché succede

[MrMojoRisin891]

In realtà anche il disegno è un po' ambiguo per me: non capisco se quella figura poggi sul piano xy o yz...
Comunque, dalla definizione di angolo solido, questa superficie sottende una porzione di sfera, di superficie $S=OmegaR^2$, con $R$ distanza tra l'origine e i vertici (supponendoli equidistanti dall'origine). Ho ricavato $R$ con Pitagora (8 cm) e quindi
$phi_E=ES=Q_0/(4piepsilon_0R^2)(4piR^2)(OmegaR^2)$, cioè
$phi_E=Q_0/(epsilon_0)(OmegaR^2)$
Giusto?

[mdonatie]

Riscrivendo passo passo la definizione di flusso ne ricaviamo questo...
$\phi(\vecE_0)=int_S\vecE_0*\hatndS=int_SE_0cos\thetadS=int_SE_0dS_n=int_SQ/(4π\epsi_0R^2)dS_n=int_\OmegaQ/(4π\epsi_0)d\Omega$
Oltretutto sappiamo che $(S_n)/R^2=\Omega rarr S_n=2/3πR^2 rarr Scos\theta=2/3πR^2 rarr cos\theta=(2πR^2)/(3S)$
Quindi possiamo dire che $\phi(\vecE_0)=int_SE_0cos\thetadS=E_0Scos\theta=E_0S(2πR^2)/(3S)=Q/(4π\epsi_0R^2)(2πR^2)/3=Q/(6\epsi_0)$

Forse la risposta è questa---

[donald_zeka]

Oltre alla spiegazione analitica di mdonatie che è giusta, la cosa è ovvia se la si guarda dal punto di vista geometrico. Nella seguente immagine si ha una carica q e una qualsiasi sfera che la circonda, inoltre si una una certa superficie A su cui si vuole calcolare il flusso. L'angolo solido di quella superficie si ottiene mandando dei fasci tangenti in ogni punto alla superficie e passanti per la carica q, si ottiene in pratica un cono, l'intersezione di questo cono con una qualsiasi sfera determina una superficie S sulla sfera, l'angolo solido è pari a $phi=S/r^2$. Se ora si considera la superficie chiusa formata da A, S e dalla parte di cono compresa tra A e S, si ha che dentro questa superficie chiusa non è presente alcuna carica, quindi per il teorema di gauss il flusso totale del campo elettrico attraverso essa è nullo. Sapendo però che le linee della superficie conica sono radiali e quindi parallele al campo elettrico, allora il flusso del campo attraverso la superficie verde in figura è nullo, pertanto, per essere nullo attraverso quella superficie chiusa, si deve avere che il flusso entrante da S è uguale al flusso uscente da A, quindi il flusso attraverso A è pari al flusso attraverso S, che è quello che si vuole dimostrare.

Quindi se il flusso attraverso A è pari al flusso attraverso S, e sapendo quanto vale l'angolo solido $phi$, si ha:

$Phi_A=Phi_S=q/(4piepsilon_0r^2)*S=q/(4piepsilon_0)phi$

[MrMojoRisin891]

Grazie moltissime sia per la dimostrazione analitica che per quella geometrica, ora mi è tutto chiaro. Grazie.