Flussaccio malefico
Ciao a tutti, son partito con i flussi da un po ma ancora ci capisco ben poco...Adesso ve ne espongo uno che non mi torna.
L'esercizio è:
Calcolare
$int int_S ds$
dove
$F: RR^3 -> RR^3$ è definito da $F(x,y,z)=(x,y,-2z)$
ed
$S= {(x,y,z) in RR^3: x^2+z^2>=16 ; x^2+y^2+z^2=25}$
considerando la normale $n$ interna.
Ecco il mio problema èquasi sicuramente questo:
come prendo la normale?!?
Per quanto ho capito devo dividerla in 2, con $z>0$ e $z<0$ perchè le proiezioni di $n$ su $z$ sono una volta concorde e una volta discorde. (Potete picchiarmi se ho detto fesserie, il fatto è che c'ho capito molto... poco).
Continuo!
Parametrizzando però con:
${(x=+-u),(y=v),(z=+-sqrt(25-u^2-v^2)):}$
(ovvio che faccio 2 casi)
uhmmmm dopo ho un'altra equazione con $z$ e sostituendo mi si annulla $x$ e dato che non mi sembra una soluzione logica ho pensato che la normale debb essere rappresentata rispetto all'asse $y$
ovvero con la parametrizzazione:
${(x=+-u),(y=+-sqrt(25-u^2-v^2)),(z=v):}$
Potete dirmi se è giusto il mio ragionamento e come faccio a svolgerlo per bene?!?
E chi mi spiega per bene come si deve prendere sta benedetta "normale"?
Ringrazio tutti in anticipo, ho l'esame il 6 e la prof torna il 5 dalle vacanze quindi nulla ricevimento. O_O
Graziegraziegrazie!
Claudio
L'esercizio è:
Calcolare
$int int_S
dove
$F: RR^3 -> RR^3$ è definito da $F(x,y,z)=(x,y,-2z)$
ed
$S= {(x,y,z) in RR^3: x^2+z^2>=16 ; x^2+y^2+z^2=25}$
considerando la normale $n$ interna.
Ecco il mio problema èquasi sicuramente questo:
come prendo la normale?!?
Per quanto ho capito devo dividerla in 2, con $z>0$ e $z<0$ perchè le proiezioni di $n$ su $z$ sono una volta concorde e una volta discorde. (Potete picchiarmi se ho detto fesserie, il fatto è che c'ho capito molto... poco).
Continuo!
Parametrizzando però con:
${(x=+-u),(y=v),(z=+-sqrt(25-u^2-v^2)):}$
(ovvio che faccio 2 casi)
uhmmmm dopo ho un'altra equazione con $z$ e sostituendo mi si annulla $x$ e dato che non mi sembra una soluzione logica ho pensato che la normale debb essere rappresentata rispetto all'asse $y$
ovvero con la parametrizzazione:
${(x=+-u),(y=+-sqrt(25-u^2-v^2)),(z=v):}$
Potete dirmi se è giusto il mio ragionamento e come faccio a svolgerlo per bene?!?
E chi mi spiega per bene come si deve prendere sta benedetta "normale"?
Ringrazio tutti in anticipo, ho l'esame il 6 e la prof torna il 5 dalle vacanze quindi nulla ricevimento. O_O
Graziegraziegrazie!
Claudio
Risposte
quello che ti serve è la normale alla superficie, in questo caso trattandosi di una porzione di sfera (centrata nell'origine) è particolarmente semplice in quanto un vettore normale nel punto (x,y,z) della sfera è proprio v=(x,y,z) questo però è orientato verso l'esterno della sfera quindi a te serve w=-v
tra l'altro se fossi in te proverei ad utilizzare una parametrizzazione con coordinate sferiche (su una sfera dovrebbe essere più comodo). appena posso mi metto a fare due conti ciao
in coordinate sferiche le relazioni mi vengono un poco scomode. provo anche con coordinate cilindriche ma non so
forse non servivano tutti questi sbattimenti con le coordinate ma ormai li ho fatti ed ti espongo i "risultati":
parametrizzazione cilindrica (asse parallelo a y)
$x=rhocos(theta)$
$y=t$
$z=rhosen(theta)$
con $thetain[0, 2pi], rhoin[0,+oo),tin[0,+oo)$
ora le condizioni $x^2+y^2>=16$ diventa $rho^2>16$ quindi $rho>4$
l'altra diventa $rho^2+t^2=25$ da cui ricavo $t=+-sqrt(25-rho^2)$ il che impone anche $rho<5$
ora il determinante dello Jacobiano della trasformazione è $rho^2$
rimane da spezzare in due l'integrale, una volta prendo $t=sqrt(25-rho^2)$ l'altra prendo $t=-sqrt(25-rho^2)$, per gli altri due parametri avrò $thetain[0, 2pi],rhoin[4,5]$
devi fare il prodotto scalare ed integrare, buona fortuna! (sarà giusto?)
tra l'altro se fossi in te proverei ad utilizzare una parametrizzazione con coordinate sferiche (su una sfera dovrebbe essere più comodo). appena posso mi metto a fare due conti ciao
in coordinate sferiche le relazioni mi vengono un poco scomode. provo anche con coordinate cilindriche ma non so
forse non servivano tutti questi sbattimenti con le coordinate ma ormai li ho fatti ed ti espongo i "risultati":
parametrizzazione cilindrica (asse parallelo a y)
$x=rhocos(theta)$
$y=t$
$z=rhosen(theta)$
con $thetain[0, 2pi], rhoin[0,+oo),tin[0,+oo)$
ora le condizioni $x^2+y^2>=16$ diventa $rho^2>16$ quindi $rho>4$
l'altra diventa $rho^2+t^2=25$ da cui ricavo $t=+-sqrt(25-rho^2)$ il che impone anche $rho<5$
ora il determinante dello Jacobiano della trasformazione è $rho^2$
rimane da spezzare in due l'integrale, una volta prendo $t=sqrt(25-rho^2)$ l'altra prendo $t=-sqrt(25-rho^2)$, per gli altri due parametri avrò $thetain[0, 2pi],rhoin[4,5]$
devi fare il prodotto scalare ed integrare, buona fortuna! (sarà giusto?)
"rubik":
quello che ti serve è la normale alla superficie, in questo caso trattandosi di una porzione di sfera (centrata nell'origine) è particolarmente semplice in quanto un vettore normale nel punto (x,y,z) della sfera è proprio v=(x,y,z) questo però è orientato verso l'esterno della sfera quindi a te serve w=-v
Scusami se ti rispondo con 2 giorni di ritardo ma non avevo internet
Uhmmm...
Io non riesco a capire come prendere la normale.... cioè... mi sembra scontato che se ho una superficie la normale punta verso l'esterno (credo)...
(Ma non mi pare che il trucco per prendere la normale è solo questo, mi sembra troppo.. scontato?!?)
Poi un'altra cosa... cosa significa se il risultato del mio flusso è negativo?!? Che la normale è presa per il verso sbagliato e quindi il mio flusso va nel verso opposto a quello che sto calcolando?
Ringrazio in anticipo
allora per prendere la normale il metodo è semplice:
sia
$ S: vecx=F(u,v) $ con $u,vinA$ e $AsubeRR^2$ la nostra superficie
derivando F rispetto a u e poi rispetto a v otteniamo una base dello spazio tangente (se la superficie è regolare in due vettori così ottenuti non sono mai paralleli) quindi per ottenere un vettore normale basta fare il prodotto vettoriale tra $F_v$ e $F_u$ è chiaro che otterrai due vettori opposti a seconda dell'ordine con cui fai il prodotto.
ora non è molto scontato che che la normale sia verso l'esterno, innanzitutto perchè la superficie deve essere chiusa per avere una nozione di interno ed esterno, e a meno di superfici chiuse semplici ( sfere, ellissoidi etc) ottenendo la normale col prodotto vettoriale non si sa se punta verso l'esterno o verso l'interno. Credo che il verso della normale influisca solo sul segno del flusso, ma no credo che se prendi la normale uscente venga necessariamente un flusso positivo (non ho esempi perchè ho fatto veramente pochi esercizi su queste cose). spero di aver capito quali erano i tuoi dubbi e aver poi risposto
.se non è così chiedi ancora 
sia
$ S: vecx=F(u,v) $ con $u,vinA$ e $AsubeRR^2$ la nostra superficie
derivando F rispetto a u e poi rispetto a v otteniamo una base dello spazio tangente (se la superficie è regolare in due vettori così ottenuti non sono mai paralleli) quindi per ottenere un vettore normale basta fare il prodotto vettoriale tra $F_v$ e $F_u$ è chiaro che otterrai due vettori opposti a seconda dell'ordine con cui fai il prodotto.
ora non è molto scontato che che la normale sia verso l'esterno, innanzitutto perchè la superficie deve essere chiusa per avere una nozione di interno ed esterno, e a meno di superfici chiuse semplici ( sfere, ellissoidi etc) ottenendo la normale col prodotto vettoriale non si sa se punta verso l'esterno o verso l'interno. Credo che il verso della normale influisca solo sul segno del flusso, ma no credo che se prendi la normale uscente venga necessariamente un flusso positivo (non ho esempi perchè ho fatto veramente pochi esercizi su queste cose). spero di aver capito quali erano i tuoi dubbi e aver poi risposto
.se non è così chiedi ancora
Come trovare la normale lo sapevo ma il fatto che non capisco è che in alcuni esercizi mi chiede di calcolare il flusso utilizzando la normale esterna e in altri utilizzando la normale interna (pare che lo chieda in modo completamente casuale) e quindi non mi so dare una spiegazione sul come riuscire a capire se è in un modo o nell'altro.
Cioè, se è uscente $n=(-f_x,-f_y,1)$ sempre e se è interna $n=(f_x,f_y,-1)$ ?!?
con $z= f(x,y)$
Boh :/
Cioè, se è uscente $n=(-f_x,-f_y,1)$ sempre e se è interna $n=(f_x,f_y,-1)$ ?!?
con $z= f(x,y)$
Boh :/
in questo esercizio che hai proposto io per normale interna prenderei quella che punta verso il centro della sfera. io cercherei di stabilirlo caso per caso, mi dispiace ma di più non so dirti
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