Fluidi, forza apparente, legge torricelli
Un cilindro lungo L è posto in rotazione con velocità angolare costante su un piano orizzontale intorno ad un asse verticale passante per un suo estremo. Il cilindro è pieno a metà di un liquido ideale che può fuoriuscire da un foro (di sezione trascurabile rispetto alla sezione del cilindro) situato sulla base B del cilindro. Si determini il modulo della velocità di uscita del liquido rispetto al sistema di riferimento rotante trascurando gli effetti della forza di gravità. Si eseguano i calcoli per L = 0.2 m, w = 10 s-1
Il suggerimento del libro è quello di usare la legge di Torricelli applicata in presenza della forza centrifuga, però non ho capito come bisogna fare.
Io sapevo che la legge di Torricelli diceva che la velocità di uscita in un fluido ideale attraverso un piccolo foro è pari a quella di un grave in caduta libera...il testo dice che:
$1/2 \rho u^2 = \int_{L/2}^L\ \rho \omega^2 r dr$ dove $u$ è la velocità relativa al sistema non inerziale rotante col cilindro! Mi potete aiutare?
Grazie
Il suggerimento del libro è quello di usare la legge di Torricelli applicata in presenza della forza centrifuga, però non ho capito come bisogna fare.
Io sapevo che la legge di Torricelli diceva che la velocità di uscita in un fluido ideale attraverso un piccolo foro è pari a quella di un grave in caduta libera...il testo dice che:
$1/2 \rho u^2 = \int_{L/2}^L\ \rho \omega^2 r dr$ dove $u$ è la velocità relativa al sistema non inerziale rotante col cilindro! Mi potete aiutare?
Grazie
Risposte
Nel caso di un liquido in quiete in un recipiente fermo nel campo gravitazionale, si ricava la velocità torricelliana $v=sqrt(2gh)$ applicando il teorema di Bernouilli ad una particella elementare di liquido, di massa $dm$, tra un punto della superficie libera a pressione atmosferica e un punto immediatamente fuori del foro, dove la pressione è ancora atmosferica.
Ma si può vedere la cosa anche con il teorema dell'energia cinetica: variazione dell'en cinetica uguale lavoro delle forze agenti : $ 1/2*dm*v^2 = (dm*g)*h$
Analogamente ,nel caso proposto, il liquido è soggetto per ipotesi "solo" ad un campo di forze centrifughe.
Innanzitutto, siccome il volume di liquido ideale è la metà del volume del cilindro, quando questo ruota il liquido si accumula tutto in metà cilindro, cioè da $L/2$ ad $L$.
Su una massa elementare $dm = \rho*dv$ agisce la forza centrifuga $dm*\omega^2*r$ variabile lungo la coordinata radiale; la sua energia cinetica varia di $1/2*dm*u^2$ nello spostamento da $L/2$ ad $L$.
LA variazione di energia cinetica è uguale al lavoro della forza centrifuga agente su $dm$.
La forza centrifuga esegue, per uno spostamento elementare radiale $dr$, il lavoro $dm*\omega^2*r*dr$, e quindi il lavoro totale nello spostamento da $L/2$ ad $L$ è dato dall'integrale del lavoro elementare calcolato da $L/2$ ad $L$ .
Lo si può anche vedere introducendo il potenziale della forza centrifuga, analogo al potenziale gravitazionale, e quindi calcolando la variazione di energia potenziale....insomma, tutte le strade portano a Roma.
Ma si può vedere la cosa anche con il teorema dell'energia cinetica: variazione dell'en cinetica uguale lavoro delle forze agenti : $ 1/2*dm*v^2 = (dm*g)*h$
Analogamente ,nel caso proposto, il liquido è soggetto per ipotesi "solo" ad un campo di forze centrifughe.
Innanzitutto, siccome il volume di liquido ideale è la metà del volume del cilindro, quando questo ruota il liquido si accumula tutto in metà cilindro, cioè da $L/2$ ad $L$.
Su una massa elementare $dm = \rho*dv$ agisce la forza centrifuga $dm*\omega^2*r$ variabile lungo la coordinata radiale; la sua energia cinetica varia di $1/2*dm*u^2$ nello spostamento da $L/2$ ad $L$.
LA variazione di energia cinetica è uguale al lavoro della forza centrifuga agente su $dm$.
La forza centrifuga esegue, per uno spostamento elementare radiale $dr$, il lavoro $dm*\omega^2*r*dr$, e quindi il lavoro totale nello spostamento da $L/2$ ad $L$ è dato dall'integrale del lavoro elementare calcolato da $L/2$ ad $L$ .
Lo si può anche vedere introducendo il potenziale della forza centrifuga, analogo al potenziale gravitazionale, e quindi calcolando la variazione di energia potenziale....insomma, tutte le strade portano a Roma.
perfetto, chiara spiegazione, volevo chiederti ma la forza centrifuga è conservativa in questo caso perchè dipende soltanto dalla distanza radiale, no? quando può non esserlo per esempio?
Grazie
Grazie
La forza centrifuga è conservativa, come tutte le forze centrali. Questo non è un caso particolare
"navigatore":
La forza centrifuga è conservativa, come tutte le forze centrali. Questo non è un caso particolare
Grazie mille
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