Flessione e dintorni, le basi
Allora ho un pò di domande a raffica per fissare alcuni punti:
1) Momento areolare, per quanto ho capito non dovrebbe avere nulla a che fare col momento di inerzia. Questo infatti é dato dalla formula I = m *r^2 e dunque ha dimensioni kg * m^2 mentre il momento areolare ha dimensioni in soli m, che ad esempio per un rettangolo sono m^4.
è giusto che non hanno niente a che fare o sbaglio, perché spesso lo trovo collegato a quello d'inerzia ma mi sembra non c'entri nulla ?
ad esempio a pagina 13 del seguente link (http://www.ge.infn.it/~squarcia/DIDATTI ... ticita.pdf ) lo definiscono come momento d'inerzia della sezione traversa calcolato perpendicolarmente alla sezione neutra. Che casomai come definizione é pure giusta, ma a me ora serve capire se in generale é una cosa abbastanza differente dal momento d'inerzia.
vedendo le dimensioni mi par di si, però ripeto vedete di nuovo voi che devo essere sicuro.
---------------
appena vengono le altre le metto, prima di chiedervi voglio aver presente al meglio l'argomento.
1) Momento areolare, per quanto ho capito non dovrebbe avere nulla a che fare col momento di inerzia. Questo infatti é dato dalla formula I = m *r^2 e dunque ha dimensioni kg * m^2 mentre il momento areolare ha dimensioni in soli m, che ad esempio per un rettangolo sono m^4.
è giusto che non hanno niente a che fare o sbaglio, perché spesso lo trovo collegato a quello d'inerzia ma mi sembra non c'entri nulla ?
ad esempio a pagina 13 del seguente link (http://www.ge.infn.it/~squarcia/DIDATTI ... ticita.pdf ) lo definiscono come momento d'inerzia della sezione traversa calcolato perpendicolarmente alla sezione neutra. Che casomai come definizione é pure giusta, ma a me ora serve capire se in generale é una cosa abbastanza differente dal momento d'inerzia.
vedendo le dimensioni mi par di si, però ripeto vedete di nuovo voi che devo essere sicuro.
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appena vengono le altre le metto, prima di chiedervi voglio aver presente al meglio l'argomento.
Risposte
Bene, ecco le altre. Ma per prima cosa cerco da farvi capire a che livello sono. Il libro ha fatto un discorso generale sulla flessione, abbastanza lungo ma al quale ha associato solo la seguente equazione: \(\displaystyle Momento Int. = Mod. di Young * Momento areolare/ raggio di curvatura >>> T = E * Ia/R \) correlata da quella per il momento di inerzia. Propone \(\displaystyle Ia = a^3b/12 \) per un generico rettangolo più altre 3-4 per oggetti diversi.
Allora, le domande:
1) Il momento interno dato dalla precedente formula definisce A) il momento interno che si ingenera sottoponendo un corpo alla propria forza peso [ la fig sul libro é uguale a quella a pag.13 di qui: http://www.ge.infn.it/~squarcia/DIDATTI ... ticita.pdf ] o B) il massimo momento interno generabile da un corpo e quindi il peso che questo potrebbe sopportare su di esso.
Il libro da come scrive fa supporre la A, ma qualora fosse la B l'equazione sarebbe molto più performante.
2) L'unico esempio di problema che fa il libro é di due assi di legno identiche una appoggiate orizzontalmente e l'altra trasversalmente.
Tramite la formula \(\displaystyle T = E * Ia/R \) sfruttando il fatto che E si possa elidere essendo i due corpi uguali chiede di ricavare il rapporto tra i raggi di curvatura, per poi affermare che il corpo con raggio maggiore ha minor probabilità di rompersi perché più resistente sotto la propria forza peso ( ovviamente dipende solo dal modo in cui sono stati posti sui sostegni ma questo è ok ... ).
Ora la domande é: stante la limitatezza di formule vista all'inizio e stante che il libro, almeno nella parte teorica, non propone alcuna equazione inversa o che. finiscono qui le applicazioni della formula o ci si può fare qualcosa in più ?
Chiaramente qualcosa in più stando sempre nello stesso ristretto orizzonte cognitivo o superandolo di poco. Fatemi sapere.
3) Giunto a questo punto il libro fa notare che dato\(\displaystyle Forza/Area trasversa = sforzo \) e momento di inerzia areolare determinato per lo più dal diametro si potrebbe dedurre che le caratterstiche per costruire un corpo massimamente resistente sia a trazione e compressione che a flessione e contemporaneamente leggero ( LA LEGGEREZZA PARE SIA UN VANTAGGIO ... ) sia da farlo con diametro ampissimo e cavo all'interno.
Dice poi però che la sottigliezza delle pareti ha un limite e fa l'esempio di un libro posato su un cilindro di cartone, qualora questo sia molto ampio e cavo tenderà a deformarsi brutalmente sotto la forza peso del libro, qualora invece a parità di spessore parietale sia più stretto tenderà a deformarsi meno.
Fin qui tutto ok, la domanda é l'effetto descritto appena sopra mi pare non sia minimamente espresso dalle equazioni scritte sopra o mi sfugge qualcosa ? Cioé è un effetto che c'è ed é abbastanza importante ma non é stato messo a equazione perché complesso.
O é inglobato nelle conseguenze del paio di equazioni scritte ? a me pare di no ...
Allora, le domande:
1) Il momento interno dato dalla precedente formula definisce A) il momento interno che si ingenera sottoponendo un corpo alla propria forza peso [ la fig sul libro é uguale a quella a pag.13 di qui: http://www.ge.infn.it/~squarcia/DIDATTI ... ticita.pdf ] o B) il massimo momento interno generabile da un corpo e quindi il peso che questo potrebbe sopportare su di esso.
Il libro da come scrive fa supporre la A, ma qualora fosse la B l'equazione sarebbe molto più performante.
2) L'unico esempio di problema che fa il libro é di due assi di legno identiche una appoggiate orizzontalmente e l'altra trasversalmente.
Tramite la formula \(\displaystyle T = E * Ia/R \) sfruttando il fatto che E si possa elidere essendo i due corpi uguali chiede di ricavare il rapporto tra i raggi di curvatura, per poi affermare che il corpo con raggio maggiore ha minor probabilità di rompersi perché più resistente sotto la propria forza peso ( ovviamente dipende solo dal modo in cui sono stati posti sui sostegni ma questo è ok ... ).
Ora la domande é: stante la limitatezza di formule vista all'inizio e stante che il libro, almeno nella parte teorica, non propone alcuna equazione inversa o che. finiscono qui le applicazioni della formula o ci si può fare qualcosa in più ?
Chiaramente qualcosa in più stando sempre nello stesso ristretto orizzonte cognitivo o superandolo di poco. Fatemi sapere.
3) Giunto a questo punto il libro fa notare che dato\(\displaystyle Forza/Area trasversa = sforzo \) e momento di inerzia areolare determinato per lo più dal diametro si potrebbe dedurre che le caratterstiche per costruire un corpo massimamente resistente sia a trazione e compressione che a flessione e contemporaneamente leggero ( LA LEGGEREZZA PARE SIA UN VANTAGGIO ... ) sia da farlo con diametro ampissimo e cavo all'interno.
Dice poi però che la sottigliezza delle pareti ha un limite e fa l'esempio di un libro posato su un cilindro di cartone, qualora questo sia molto ampio e cavo tenderà a deformarsi brutalmente sotto la forza peso del libro, qualora invece a parità di spessore parietale sia più stretto tenderà a deformarsi meno.
Fin qui tutto ok, la domanda é l'effetto descritto appena sopra mi pare non sia minimamente espresso dalle equazioni scritte sopra o mi sfugge qualcosa ? Cioé è un effetto che c'è ed é abbastanza importante ma non é stato messo a equazione perché complesso.
O é inglobato nelle conseguenze del paio di equazioni scritte ? a me pare di no ...
Quello che tu chiami " momento areolare", perché lo hai letto con questo nome ma forse nessuno te ne ha spiegato il significato, è sempre un momento di inerzia, che forse sarebbe meglio chiamare " momento di inerzia di area" .
Mi spiego.
Una massa elementare $dm$ , posta a distanza $r$ da un asse, ha momento di inerzia "di massa" rispetto a quell'asse uguale a $dm*r^2$. (essendo elementare, il momento di inerzia proprio si considera nullo).Le dimensioni sono $[M*L^2]$.
Ma se al posto della massa consideri il volume elementare, che si ottiene dividendo la massa per la densità del materiale, puoi definire un momento di inerzia "di volume" : $dv*r^2$ . Come vedi le dimensioni sono ora $[L^5]$ : nulla di strano. Serve, questo momento di inerzia volumetrico? Sí, ci sono delle circostanze in cui serve. Per esempio quando la densità è costante puoi farne a meno, e anziché le masse considerare i volumi. È chiaro che cambiano certe espressioni, ma non la sostanza, Per esempio, un disco di raggio $R$, spessore $s$ e densità $\rho$, ha una massa $M = \rho*\piR^2*s$ , e il suo momento di inerzia assiale "di massa" è $1/2M*R^2$.
Il momento di inerzia "di volume" sarà $1/2*\piR^2*s*R^2 = 1/2*\pis*R^4$.
Andiamo al caso delle figure piane. Su un piano, hai una figura elementare, ad es. un rettangolino di area $dA$, e un asse a distanza $r$ sempre sul piano : il prodotto $dA*r^2$ è il momento di inerzia elementare del rettangolino rispetto all'asse dato. Le dimensioni sono evidentemente $[L^4]$ , e anche qui nulla di strano.
I momenti di inerzia di area entrano ad ogni pié sospinto in numerose questioni tecniche, ad esempio nella Scienza delle costruzioni.
Un rettangolo di base $L$ e larghezza $B$ ha, rispetto ad un asse baricentrico parallelo al lato $L$, il momento di inerzia "di area" $ 1/(12)*L*B^3$. Dimensioni?
Mi spiego.
Una massa elementare $dm$ , posta a distanza $r$ da un asse, ha momento di inerzia "di massa" rispetto a quell'asse uguale a $dm*r^2$. (essendo elementare, il momento di inerzia proprio si considera nullo).Le dimensioni sono $[M*L^2]$.
Ma se al posto della massa consideri il volume elementare, che si ottiene dividendo la massa per la densità del materiale, puoi definire un momento di inerzia "di volume" : $dv*r^2$ . Come vedi le dimensioni sono ora $[L^5]$ : nulla di strano. Serve, questo momento di inerzia volumetrico? Sí, ci sono delle circostanze in cui serve. Per esempio quando la densità è costante puoi farne a meno, e anziché le masse considerare i volumi. È chiaro che cambiano certe espressioni, ma non la sostanza, Per esempio, un disco di raggio $R$, spessore $s$ e densità $\rho$, ha una massa $M = \rho*\piR^2*s$ , e il suo momento di inerzia assiale "di massa" è $1/2M*R^2$.
Il momento di inerzia "di volume" sarà $1/2*\piR^2*s*R^2 = 1/2*\pis*R^4$.
Andiamo al caso delle figure piane. Su un piano, hai una figura elementare, ad es. un rettangolino di area $dA$, e un asse a distanza $r$ sempre sul piano : il prodotto $dA*r^2$ è il momento di inerzia elementare del rettangolino rispetto all'asse dato. Le dimensioni sono evidentemente $[L^4]$ , e anche qui nulla di strano.
I momenti di inerzia di area entrano ad ogni pié sospinto in numerose questioni tecniche, ad esempio nella Scienza delle costruzioni.
Un rettangolo di base $L$ e larghezza $B$ ha, rispetto ad un asse baricentrico parallelo al lato $L$, il momento di inerzia "di area" $ 1/(12)*L*B^3$. Dimensioni?
Tutto apposto ora, non riuscivo a capire in che modo le masse si elidessero dalla dimensione del momento di inerzia. E inoltre mi mancava proprio il significato di momento areolare, diciamo che descrivendomi anche quello volumetrico mi hai dato un buon quadro della situazione.
Ti ringrazio anche per l'occhiata alla domanda sul modulo di young.
Mancano le altre due.
2) a questa tutt'al più mi rispondo da solo: al tuo livello di conoscenze le applicazioni quelle sono.
3) per la terza però vorrei una risposta se riesci. Forse mi sono espresso male e allora te la riscrivo:
La resistenza di un corpo ad un dato sforzo aumenta con l'area trasversale dato che lo sforzo é inversamente proporzionale a questa ( \(\displaystyle Sforzo = F/A \) ); parimenti la resistenza alla flessione aumenta con il suo diametro.
Il libro dice: ora potreste pensare che volendo costruire un corpo massimamente resistente sia a trazione/compressione che a flessione e nel contempo leggero basti aumentarne a piacimento area trasversale e diametro e vuotarlo all'interno. Invece no, non é cosi perché oltre un certo limite la sottigliezza delle pareti rispetto al diametro totale compromette la resistenza alla compressione ( e fa l'esempio del tubino di carta col libro sopra ).
In tutto ciò il libro non allega alcun altra formula, la mia idea é che spieghi un concetto teorico la cui equazione non é al livello di studi voluto. Ne sono quasi sicuro, però vorrei una conferma da te. Non é che il concetto sopra espresso é contenuto equazionisticamente già nel paio di equazioni proposte ? [ fammi sapere e grazie ancora
]
Ti ringrazio anche per l'occhiata alla domanda sul modulo di young.
Mancano le altre due.
2) a questa tutt'al più mi rispondo da solo: al tuo livello di conoscenze le applicazioni quelle sono.
3) per la terza però vorrei una risposta se riesci. Forse mi sono espresso male e allora te la riscrivo:
La resistenza di un corpo ad un dato sforzo aumenta con l'area trasversale dato che lo sforzo é inversamente proporzionale a questa ( \(\displaystyle Sforzo = F/A \) ); parimenti la resistenza alla flessione aumenta con il suo diametro.
Il libro dice: ora potreste pensare che volendo costruire un corpo massimamente resistente sia a trazione/compressione che a flessione e nel contempo leggero basti aumentarne a piacimento area trasversale e diametro e vuotarlo all'interno. Invece no, non é cosi perché oltre un certo limite la sottigliezza delle pareti rispetto al diametro totale compromette la resistenza alla compressione ( e fa l'esempio del tubino di carta col libro sopra ).
In tutto ciò il libro non allega alcun altra formula, la mia idea é che spieghi un concetto teorico la cui equazione non é al livello di studi voluto. Ne sono quasi sicuro, però vorrei una conferma da te. Non é che il concetto sopra espresso é contenuto equazionisticamente già nel paio di equazioni proposte ? [ fammi sapere e grazie ancora
]
Devo dire che sei comunque bravo, non essendo uno studente di Fisica o Ingegneria, a capire certi concetti che proprio facili e immediati non sono! E poi con certi libri e diapositive stringate all'osso! Vabbè che le ossa sono affare di tua competenza....Spero tu sia bravo altrettanto in Medicina.
Veniamo a noi. Tu hai scritto :
Il corpo con raggio di curvatura maggiore, cioè la tavola messa di taglio (in cui il momento di inerzia della sezione rispetto all'asse neutro è molto più grande della tavola messa di piatto) si incurva di meno, a parità di forza $T$ . Perciò le fibre inferiori tese si stiracchiano di meno, e le fibre superiori compresse si comprimono di meno, rispetto alla trave messa di piatto (parlo molto alla buona per farti capire, mi scusino i prof !). E se le fibre si deformano di meno a trazione e a compressione, hanno meno tendenza a rompersi: $\sigma = E*\epsilon$ . Ogni materiale ha una $\sigma$ limite, oltre la quale si rompe.
Giusta curiosità, a cui hai risposto tu stesso. Si può fare qualcosa di più, ma credimi, qui non è il caso di parlarne.
Qui entrano in gioco concetti più importanti e delicati, che vanno sotto il nome di "stabilità dell'equilibrio elastico", con un armamentario di formule a cui il tuo libro non fa neanche cenno. Hai intuito bene anche stavolta. Il cammino per arrivare a questi concetti è lungo e duro, e non è contenuto nelle equazioni già proposte, che sono solo una modesta base.
PErciò si può fare solo un cenno qualitativo.
Se prendi un cilindro abbastanza tozzo, e lo comprimi assialmente con due forze uguali e contrarie, esso si deforma a compressione, cioè si accorcia un po', e probabilmente non succede altro. Ma se il cilindro è lungo e sottile, e le forze applicate superano un certo valore che dipende dal materiale (modulo $E$), dalla lunghezza $l$ , e dal momento di inerzia $I$ della sezione trasversale, succede che ad un certo punto il cilindro "si svergola" , cioè non rimane più rettilineo ma si deforma vistosamente per effetto delle due forze assiali.
Il primo che ha calcolato il cosidetto " carico critico" è stato nientedimeno che Leonardo Eulero!
Puoi fare tu stesso l'esperimento: il lo facevo con le stecche di ombrello metalliche, hai presente? Oppure lo puoi fare con una semplice carta da gioco, o una tesserina di plastica di quelle del telefono ( non usare la tessera Bancomat...) : se la tieni tra pollice e indice sui lati corti, e comprimi gradualmente, ad un certo punto vedi che si deforma vistosamente.
La curva che forma, guarda guarda, è una mezza sinusoide, se non hai compresso molto e quindi rimani in campo elastico! Rimanere in campo elastico significa che allargando le dita la tesserina ritorna piatta, non riporta deformazioni permanenti.
Qualcosa di analogo succede ad una lattina di birra vuota quando la schiacci nel senso dell'altezza: le pareti si accartocciano vistosamente e permanentemente.
Ritornando alla trave cava all'interno, è chiaro che quando le pareti sono sottili la zona delle fibre compresse può andare incontro al fenomeno descritto, e deformarsi vistosamente o rompersi, perciò non è il caso di eccedere troppo con la sottigliezza delle pareti.
Ecco, questo è ciò che posso raccontarti.
Veniamo a noi. Tu hai scritto :
2) L'unico esempio di problema che fa il libro é di due assi di legno identiche una appoggiate orizzontalmente e l'altra trasversalmente.
Tramite la formula T=E∗Ia/R sfruttando il fatto che E si possa elidere essendo i due corpi uguali chiede di ricavare il rapporto tra i raggi di curvatura, per poi affermare che il corpo con raggio maggiore ha minor probabilità di rompersi perché più resistente sotto la propria forza peso ( ovviamente dipende solo dal modo in cui sono stati posti sui sostegni ma questo è ok ... ).
Il corpo con raggio di curvatura maggiore, cioè la tavola messa di taglio (in cui il momento di inerzia della sezione rispetto all'asse neutro è molto più grande della tavola messa di piatto) si incurva di meno, a parità di forza $T$ . Perciò le fibre inferiori tese si stiracchiano di meno, e le fibre superiori compresse si comprimono di meno, rispetto alla trave messa di piatto (parlo molto alla buona per farti capire, mi scusino i prof !). E se le fibre si deformano di meno a trazione e a compressione, hanno meno tendenza a rompersi: $\sigma = E*\epsilon$ . Ogni materiale ha una $\sigma$ limite, oltre la quale si rompe.
Ora la domande é: stante la limitatezza di formule vista all'inizio e stante che il libro, almeno nella parte teorica, non propone alcuna equazione inversa o che. finiscono qui le applicazioni della formula o ci si può fare qualcosa in più ?
Chiaramente qualcosa in più stando sempre nello stesso ristretto orizzonte cognitivo o superandolo di poco. Fatemi sapere.
Giusta curiosità, a cui hai risposto tu stesso. Si può fare qualcosa di più, ma credimi, qui non è il caso di parlarne.
La resistenza di un corpo ad un dato sforzo aumenta con l'area trasversale dato che lo sforzo é inversamente proporzionale a questa ( Sforzo=F/A ); parimenti la resistenza alla flessione aumenta con il suo diametro.
Il libro dice: ora potreste pensare che volendo costruire un corpo massimamente resistente sia a trazione/compressione che a flessione e nel contempo leggero basti aumentarne a piacimento area trasversale e diametro e vuotarlo all'interno. Invece no, non é cosi perché oltre un certo limite la sottigliezza delle pareti rispetto al diametro totale compromette la resistenza alla compressione ( e fa l'esempio del tubino di carta col libro sopra ).In tutto ciò il libro non allega alcun altra formula, la mia idea é che spieghi un concetto teorico la cui equazione non é al livello di studi voluto. Ne sono quasi sicuro, però vorrei una conferma da te. Non é che il concetto sopra espresso é contenuto equazionisticamente già nel paio di equazioni proposte ? fammi sapere e grazie ancora
Qui entrano in gioco concetti più importanti e delicati, che vanno sotto il nome di "stabilità dell'equilibrio elastico", con un armamentario di formule a cui il tuo libro non fa neanche cenno. Hai intuito bene anche stavolta. Il cammino per arrivare a questi concetti è lungo e duro, e non è contenuto nelle equazioni già proposte, che sono solo una modesta base.
PErciò si può fare solo un cenno qualitativo.
Se prendi un cilindro abbastanza tozzo, e lo comprimi assialmente con due forze uguali e contrarie, esso si deforma a compressione, cioè si accorcia un po', e probabilmente non succede altro. Ma se il cilindro è lungo e sottile, e le forze applicate superano un certo valore che dipende dal materiale (modulo $E$), dalla lunghezza $l$ , e dal momento di inerzia $I$ della sezione trasversale, succede che ad un certo punto il cilindro "si svergola" , cioè non rimane più rettilineo ma si deforma vistosamente per effetto delle due forze assiali.
Il primo che ha calcolato il cosidetto " carico critico" è stato nientedimeno che Leonardo Eulero!
Puoi fare tu stesso l'esperimento: il lo facevo con le stecche di ombrello metalliche, hai presente? Oppure lo puoi fare con una semplice carta da gioco, o una tesserina di plastica di quelle del telefono ( non usare la tessera Bancomat...) : se la tieni tra pollice e indice sui lati corti, e comprimi gradualmente, ad un certo punto vedi che si deforma vistosamente.
La curva che forma, guarda guarda, è una mezza sinusoide, se non hai compresso molto e quindi rimani in campo elastico! Rimanere in campo elastico significa che allargando le dita la tesserina ritorna piatta, non riporta deformazioni permanenti.
Qualcosa di analogo succede ad una lattina di birra vuota quando la schiacci nel senso dell'altezza: le pareti si accartocciano vistosamente e permanentemente.
Ritornando alla trave cava all'interno, è chiaro che quando le pareti sono sottili la zona delle fibre compresse può andare incontro al fenomeno descritto, e deformarsi vistosamente o rompersi, perciò non è il caso di eccedere troppo con la sottigliezza delle pareti.
Ecco, questo è ciò che posso raccontarti.
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