Fisica Teorica e Distribuzioni
Salve,se non vi dispiace potreste farmi alcuni esempi,in cui la teoria della distribuzioni viene applicata alla fisica teorica?
Risposte
Non si comprende che cosa tu intenda per fisica teorica, tuttavia, per non fare il passo più lungo della gamba, ho pensato di proporti l'esempio sottostante.
Si consideri una fila di $[N+1]$ masse concentrate di massa $[m]$, passo $[a]$ e lunghezza $[l]$:
Nello spirito della discussione, la densità microscopica è rappresentata dalla seguente distribuzione:
$[lambda_(micro)(x)=\sum_{k=0}^Nmdelta(x-ka)] ^^ [Na=l]$
La densità macroscopica si ottiene considerando la seguente funziona di prova, rappresentante la caratteristica dello strumento di misura:
$[varphi(x)=1/Delta] harr [|x-barx|<=Delta/2] vv [varphi(x)=0] harr [|x-barx|>Delta/2]$
ed integrando, per valutare la media effettuata dallo strumento di misura medesimo:
$[lambda_(macro)(barx)=\int_{-oo}^{+oo}varphi(x)lambda_(micro)(x)] rarr$
$rarr [lambda_(macro)(barx)=\int_{barx-Delta/2}^{barx+Delta/2}1/Delta\sum_{k=0}^Nmdelta(x-ka)] rarr$
$rarr [lambda_(macro)(barx)=1/Deltam(Delta/a+O(1))] rarr$
$rarr [lambda_(macro)(barx)=m/a(1+O(a/Delta))]$
Il termine $[O(a/Delta)]$ deve essere considerato per tener conto del fatto che, al variare di $[barx]$, il centro dell'operazione di media effettuata dallo strumento, a volte cade una massa puntiforme in più. Tuttavia, nello spirito della discussione, dato che $[a/Delta]$ è molto minore di $[1]$, si può senz'altro considerare $[lambda_(macro)(barx)=m/a]$. Quindi, mediante la teoria delle distribuzioni, si può considerare una "buona" funzione densità macroscopica $[lambda_(macro)(barx)=m/a]$ al posto di una "cattiva" distribuzione densità microscopica $[lambda_(micro)(x)=\sum_{k=0}^Nmdelta(x-ka)]$. Se si vuole raggiungere lo stesso obiettivo senza una rigorosa formalizzazione matematica, come, purtroppo o per fortuna, è giusto che sia in un manuale di fisica, si devono appunto utilizzare affermazioni un po' generiche del tipo "prendo un piccolo tratto $[Delta]$ di linea sufficientemente grande da contenere un elevato numero di masse puntiformi", a tutti gli effetti equivalenti all'operazione di media effettuata in precedenza.
Si consideri una fila di $[N+1]$ masse concentrate di massa $[m]$, passo $[a]$ e lunghezza $[l]$:
Nello spirito della discussione, la densità microscopica è rappresentata dalla seguente distribuzione:
$[lambda_(micro)(x)=\sum_{k=0}^Nmdelta(x-ka)] ^^ [Na=l]$
La densità macroscopica si ottiene considerando la seguente funziona di prova, rappresentante la caratteristica dello strumento di misura:
$[varphi(x)=1/Delta] harr [|x-barx|<=Delta/2] vv [varphi(x)=0] harr [|x-barx|>Delta/2]$
ed integrando, per valutare la media effettuata dallo strumento di misura medesimo:
$[lambda_(macro)(barx)=\int_{-oo}^{+oo}varphi(x)lambda_(micro)(x)] rarr$
$rarr [lambda_(macro)(barx)=\int_{barx-Delta/2}^{barx+Delta/2}1/Delta\sum_{k=0}^Nmdelta(x-ka)] rarr$
$rarr [lambda_(macro)(barx)=1/Deltam(Delta/a+O(1))] rarr$
$rarr [lambda_(macro)(barx)=m/a(1+O(a/Delta))]$
Il termine $[O(a/Delta)]$ deve essere considerato per tener conto del fatto che, al variare di $[barx]$, il centro dell'operazione di media effettuata dallo strumento, a volte cade una massa puntiforme in più. Tuttavia, nello spirito della discussione, dato che $[a/Delta]$ è molto minore di $[1]$, si può senz'altro considerare $[lambda_(macro)(barx)=m/a]$. Quindi, mediante la teoria delle distribuzioni, si può considerare una "buona" funzione densità macroscopica $[lambda_(macro)(barx)=m/a]$ al posto di una "cattiva" distribuzione densità microscopica $[lambda_(micro)(x)=\sum_{k=0}^Nmdelta(x-ka)]$. Se si vuole raggiungere lo stesso obiettivo senza una rigorosa formalizzazione matematica, come, purtroppo o per fortuna, è giusto che sia in un manuale di fisica, si devono appunto utilizzare affermazioni un po' generiche del tipo "prendo un piccolo tratto $[Delta]$ di linea sufficientemente grande da contenere un elevato numero di masse puntiformi", a tutti gli effetti equivalenti all'operazione di media effettuata in precedenza.
Grazie per la risposta,se ho capito bene ovunque ci sia una serie di masse o cariche posso usare le distribuzioni per trovare la densità.
Comunque per fisica teorica intendo ,meccanica quantistica,teoria quantistica dei campi,QED,QCD,RR,RG
Comunque per fisica teorica intendo ,meccanica quantistica,teoria quantistica dei campi,QED,QCD,RR,RG
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