[fisica tecnica] Esercizio scambio termico Filo di rame
Buongiorno, sono bloccato su un esercizio abbastanza stupido riguardante lo scambio termico.
Riscrivo qui il testo per completezza:
Un filo elettrico è costituito da un filo di rame di raggio $ R=1mm $ e lunghezza $L=1m$ ricoperto da una guaina di materiale isolante(conducibilità termica $k_{is} = 0.15 \frac{W}{mK}$) di spessore $s=1mm$. Il filo di rame è percorso da corrente elettrica che, per effetto Joule, genera al suo interno una potenza termica $\dot{Q}=40W$. A regime, la superficie esterna della guaina si porta a una temperatura $T_e = 70°C$. Essa è lambita da aria a $T_a = 20°C$ e scambia con quest'ultima per convenzione con un coefficiente di scambio termico convettivo $h_a$.
-Disegnare lo schema elettrico equivalente e determinare il flusso termico q ceduto dalla guaina all'aria;
-Determinare il coefficiente di scambio termico convettivo e temperatura della superficie del filo di rame;
-Determinare il raggio critico di isolamento e spessore critico di isolamento.
Inizialmente pensavo questo fosse un esercizio con termine di sorgente e quindi avesse bisogno di fare la doppia integrazione ecc ecc ma, essendo che la prima richiesta mi chiede lo schema elettrico, penso di doverlo risolvere con l'analogia elettrica.
Ma qua iniziano i problemi. il testo non mi dice che è monodimensionale ma il raggio è molto minore della lunghezza quindi non so se si approssimi...
Ma mettiamo caso di fare lo schema elettrico equivalente. C'è una resistenza convettiva da esterno a isolante, una di conduzione dell'isolante e poi c'è quella nel rame? La formula mi dice $Rcd = \frac{ln(\frac{r_{e}}{r_{i}})}{2*\pi*L*k}$. Ma il raggio interno qua quale prendo? se lo prendo uguale al raggio esterno ovviamente sarebbe 0 ma è impossibile. Probabilmente sto sbagliando a ragione con la potenza termica assoluta e non divisa per l'area...
Grazie in anticipo
Riscrivo qui il testo per completezza:
Un filo elettrico è costituito da un filo di rame di raggio $ R=1mm $ e lunghezza $L=1m$ ricoperto da una guaina di materiale isolante(conducibilità termica $k_{is} = 0.15 \frac{W}{mK}$) di spessore $s=1mm$. Il filo di rame è percorso da corrente elettrica che, per effetto Joule, genera al suo interno una potenza termica $\dot{Q}=40W$. A regime, la superficie esterna della guaina si porta a una temperatura $T_e = 70°C$. Essa è lambita da aria a $T_a = 20°C$ e scambia con quest'ultima per convenzione con un coefficiente di scambio termico convettivo $h_a$.
-Disegnare lo schema elettrico equivalente e determinare il flusso termico q ceduto dalla guaina all'aria;
-Determinare il coefficiente di scambio termico convettivo e temperatura della superficie del filo di rame;
-Determinare il raggio critico di isolamento e spessore critico di isolamento.
Inizialmente pensavo questo fosse un esercizio con termine di sorgente e quindi avesse bisogno di fare la doppia integrazione ecc ecc ma, essendo che la prima richiesta mi chiede lo schema elettrico, penso di doverlo risolvere con l'analogia elettrica.
Ma qua iniziano i problemi. il testo non mi dice che è monodimensionale ma il raggio è molto minore della lunghezza quindi non so se si approssimi...
Ma mettiamo caso di fare lo schema elettrico equivalente. C'è una resistenza convettiva da esterno a isolante, una di conduzione dell'isolante e poi c'è quella nel rame? La formula mi dice $Rcd = \frac{ln(\frac{r_{e}}{r_{i}})}{2*\pi*L*k}$. Ma il raggio interno qua quale prendo? se lo prendo uguale al raggio esterno ovviamente sarebbe 0 ma è impossibile. Probabilmente sto sbagliando a ragione con la potenza termica assoluta e non divisa per l'area...
Grazie in anticipo
Risposte
"AE16":
Ma qua iniziano i problemi. il testo non mi dice che è monodimensionale ma il raggio è molto minore della lunghezza quindi non so se si approssimi...
Essendo effettivamente L>> R puoi considerare il problema come monodimensionale in senso radiale.
"AE16":
Ma mettiamo caso di fare lo schema elettrico equivalente. C'è una resistenza convettiva da esterno a isolante, una di conduzione dell'isolante e poi c'è quella nel rame?
Il rame di solito si suppone tutto alla stessa temperatura avendo conducibilità termica elevata.
Quindi basta considerare solo la resistenza termica di conduzione della guaina isolante e poi la resistenza termica convettiva tra guaina e aria esterna.
"ingres":
Il rame di solito si suppone tutto alla stessa temperatura avendo conducibilità termica elevata.
Quindi basta considerare solo la resistenza termica di conduzione della guaina isolante e poi la resistenza termica convettiva tra guaina e aria esterna.
Ho però un esercizio dove viene nominata anche lì la generazione di corrente in un filo(stavolta d'acciaio) ed è stato risolto facendo $q''' = \frac{P}{V}$ con P potenza elettrica e V volume.
Sto comunque provando a risolverlo senza analogia elettrica e vedere come mi uscirebbe.
Ho iniziato facendo la stessa cosa di quell'esercizio con $q''' = \frac{Q}{V} = 12.73 MW/m^3$
Faccio poi l'equazione generale della conduzione togliendo il fattore a sx cd usando le coordinate laplaciane.
Risolvo ed ottengo l'equazione differenziale $T(r) = \frac{-q''' * r^2}{4k} + C2$.
C1 l'ho trovato usando la condizione a contorno relativa al flusso nell'asse = 0. $C1=0$.
La seconda condizione a contorno però mi è ignota. Teoricamente al raggio massimo del filo la temperatura è uniforma e quindi potrei usare quella ottenendo $T(r) = \frac{-q'''}{4k}(r^2 - R^2) + Tr$.
Mi è però ignoto Tr e non posso ottenere nemmeno il flusso dai dati relativi all'esterno perchè non ho informazioni relative ad h.
"ingres":
Questo potrebbe aiutarti (esempio 12.3)
http://www.den.unipi.it/paolo.dimarco/eps/C12hte07.pdf
Grazie mille, utilissimo!
Mi sa che allora non ho ben chiaro un concetto di teoria(o più che altro la scrittura).
Nell'esercizio mi da $\dot{Q} = 40$.
Io dalla teoria so che ho Q, q e q''.
Qua ho invece $\dot{Q}$. Io ho finito l'equazione differenziale e mi esce che $\dot{Q}=q$.
Se questa è una scrittura alternativa non dovevo fare assolutamente nulla... Sapevo già quanto arrivava di calore all'isolante e quindi potevo fare i calcoli direttamente.
In questo caso è stata una perdita di tempo totale ma almeno ho fatto esercizio con le eq. differenziali
Aggiungo l'immagine dell'esercizio fatto perchè non sono comunque sicuro che h sia corretto.
"ingres":[/quote]
[quote="AE16"]Ma qua iniziano i problemi. il testo non mi dice che è monodimensionale ma il raggio è molto minore della lunghezza quindi non so se si approssimi...
Essendo effettivamente L>> R puoi considerare il problema come monodimensionale in senso radiale.
Ultima domanda che faccio e poi si chiude il thread in caso: quando posso fare questa approssimazione? Quando mi dice che è monodimensionale e quando la lunghezza è molto maggiore del raggio? Ma perchè funziona quest'ultima cosa?
"AE16":
quando posso fare questa approssimazione? Quando mi dice che è monodimensionale e quando la lunghezza è molto maggiore del raggio? Ma perchè funziona quest'ultima cosa?
Sempre nell'esempio 12.3 c'è la risposta alla tua domanda, ovvero
Supponiamo che la temperatura dipenda unicamente dal raggio e non dalla coordinata assiale, il che è giustificato dal fatto che il corpo ha una lunghezza molto maggiore del diametro e la quantità di calore uscente dalle sue basi è trascurabile.
In altre parole se il filo è molto lungo quello che accade alle estremità può essere trascurato e in pratica si considera il filo come se fosse di lunghezza infinita. Pertanto quello che succede in una sezione traversale succede anche nelle altre. In coordinate cilindriche $r, theta, z$ la soluzione è quindi indipendente dalla coordinata assiale $z$.
Inoltre il sistema ha anche simmetria di rotazione ovvero non cambia la distribuzione di temperatura al variare dell'angolo $theta$ e pertanto la soluzione non dipende da $theta$.
In conclusione la soluzione dipenderà solo da $r$ e quindi sarà monodimensionale in direzione radiale.
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