Fisica Statistica - Particelle in contenitore di massa m
Qualcuno potrebbe indicarmi come procedere con questo esercizio?
Si hanno $N$ particelle di massa $m$ indistinguibili e non interagenti in un contenitore cubico di lato $L$.
Si supponga il gas in equilibrio termodinamico. Sia $z$ l'asse nella direzione verticale e uno spigolo del cubo giaccia su tale asse.
Trovare il numero medio di particelle che occupano il contenitore tra $z=L/2$ e $z=L$.
Se riuscissi a sapere, per ogni dato microstato, quante particelle si trovano nella meta' superiore del contenitore, mi basterebbe mediare tale numero per ogni microstato. Ma come si puo' procedere per farlo?
Alla fine ho pensato che un modo per determinare il numero medio di particelle in quella zona sia il seguente.
Si calcola la funzione di partizione $Z= \frac{1}{N!}\frac{L^{2N}}{h^{3N}}(\frac{1}{\beta mg})^N (\frac{2\pi m}{\beta})^N (1-e^{-\beta mgL})^N$
Dove $\beta=\frac{1}{kT}$
Quindi si calcola la probabilita' di trovare le particelle nella parte superiore del contenitore e la si moltiplica per $N$.
Ma questo a me sembra rispondere ad un'altra domanda, purtroppo.
E non a quella del testo.
Consigli? Suggerimenti? Come fareste?
Si hanno $N$ particelle di massa $m$ indistinguibili e non interagenti in un contenitore cubico di lato $L$.
Si supponga il gas in equilibrio termodinamico. Sia $z$ l'asse nella direzione verticale e uno spigolo del cubo giaccia su tale asse.
Trovare il numero medio di particelle che occupano il contenitore tra $z=L/2$ e $z=L$.
Se riuscissi a sapere, per ogni dato microstato, quante particelle si trovano nella meta' superiore del contenitore, mi basterebbe mediare tale numero per ogni microstato. Ma come si puo' procedere per farlo?
Alla fine ho pensato che un modo per determinare il numero medio di particelle in quella zona sia il seguente.
Si calcola la funzione di partizione $Z= \frac{1}{N!}\frac{L^{2N}}{h^{3N}}(\frac{1}{\beta mg})^N (\frac{2\pi m}{\beta})^N (1-e^{-\beta mgL})^N$
Dove $\beta=\frac{1}{kT}$
Quindi si calcola la probabilita' di trovare le particelle nella parte superiore del contenitore e la si moltiplica per $N$.
Ma questo a me sembra rispondere ad un'altra domanda, purtroppo.
E non a quella del testo.
Consigli? Suggerimenti? Come fareste?
Risposte
Puoi procedere più elementarmente mediante la densità di probabilità $f(z)$:
$[f(z)=e^(-(mg)/(kT)z)/(\int_{0}^{L}e^(-(mg)/(kT)z)dz)] rarr [barn=(\int_{L/2}^{L}e^(-(mg)/(kT)z)dz)/(\int_{0}^{L}e^(-(mg)/(kT)z)dz)N]$
"anonymous_0b37e9":
Puoi procedere più elementarmente mediante la densità di probabilità $f(z)$:
$[f(z)=e^(-(mg)/(kT)z)/(\int_{0}^{L}e^(-(mg)/(kT)z)dz)] rarr [barn=(\int_{L/2}^{L}e^(-(mg)/(kT)z)dz)/(\int_{0}^{L}e^(-(mg)/(kT)z)dz)N]$
Ciao!
Questa procedura e' la stessa che ho fatto io, ma quindi questo e' esattamente il valor medio sulla parte superiore di $N$?
Perche' all'inizio ho pensato che questa risposta andasse bene, ma cosi' facendo non stiamo invece calcolando la probabilita' di trovare $N$ particelle nella parte superiore?
Mediante la formula sottostante:
si calcola la probabilità che una particella occupi la metà superiore del contenitore. Poichè le particelle, non interagendo, sono indipendenti, moltiplicando la probabilità di cui sopra per il numero $N$ di particelle, si ricava il numero medio richiesto:
$p=(\int_{L/2}^{L}e^(-(mg)/(kT)z)dz)/(\int_{0}^{L}e^(-(mg)/(kT)z)dz)$
si calcola la probabilità che una particella occupi la metà superiore del contenitore. Poichè le particelle, non interagendo, sono indipendenti, moltiplicando la probabilità di cui sopra per il numero $N$ di particelle, si ricava il numero medio richiesto:
$barn=pN$
"anonymous_0b37e9":
Mediante la formula sottostante:
$p=(\int_{L/2}^{L}e^(-(mg)/(kT)z)dz)/(\int_{0}^{L}e^(-(mg)/(kT)z)dz)$
si calcola la probabilità che una particella occupi la metà superiore del contenitore. Poichè le particelle, non interagendo, sono indipendenti, moltiplicando la probabilità di cui sopra per il numero $N$ di particelle, si ricava il numero medio richiesto:
$barn=pN$
Si', dopo mi ero convinto che fosse corretto.
Grazie!
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