Fisica quantistica - pot. con Dirac e barriera infinita
Ciao a tutti
Avrei bisogno di un chiarimento per un esercizio di fisica quantistica.
Ho un potenziale come quello descritto in figura
dove la freccia verde è una delta di Dirac mentre la parte in rosso è un muro di potenziale infinito
ho trovato un esercizio svolto che in linea di massima mi è chiaro ma ho qualche dubbio.
chiamo con il nome "zona I" la parte in a sinistra della delta di Dirac e con il nome "Zona II" la parte tra la delta di Dirac e il muro di potenziale.
il mio esercizio mi chiede di calcolare i coefficienti delle soluzioni dell'equazioni di Schrödinger e di discutere il coefficiente di riflessione.
Per prima cosa ho pensato che, dato che ho due "barriere" di potenziale infinite, non esiste l'effetto tunnel. Penso che sia giusto ma vi pregherei di correggermi se mi sbaglio.
L'esercizio svolto mi indica che nella zona I l'equazione di Schrödinger ha soluzione del tipo:
[tex]\phi_{I}(x)=P e^{ik_{1}x}+Q e^{-ik_{1}x}[/tex]
mentre nella zona II ha soluzione
[tex]\phi_{II}(x)=A\sin(k_{2}x+\varphi)[/tex]
e qui nasce io mio primo dubbio.
Prima di $x=0$ e tra $x=0$ e $x=a$ ho che il potenziale è nullo. Non dovrei pertanto avere [tex]\phi[/tex] nella stessa forma?
per quanto riguarda i coefficienti:
come di consueto prendo il coefficiente dell'onda incidente $P$ pari a $1$ per normalizzazione. E fino a qui mi sta bene.
quindi la funzione in quella zona diventa
[tex]\phi_{I}(x)=e^{ik_{1}x}+Q e^{-ik_{1}x}[/tex]
L'esercizio svolto tiene però il secondo coefficiente $Q$. Però ho pensato...
per [tex]x\rightarrow -\infty[/tex] devo avere che $phi_I$ deve assumere un valore finito ma
[tex]\lim_{x\rightarrow -\infty} \phi_{I} = \lim_{x\rightarrow -\infty} \left( e^{ik_{1}x}+Q e^{-ik_{1}x} \right) = e^{-\infty}+Q e^{\infty}[/tex]
ma quindi non dovrei avere $Q=0$ ?
Inoltre svolgendo questo esercizio mi sono trovato di nuovo di fronte ad un semplice passaggio matematico che però non sono mai riuscito a dimostrare
quanto ho una funzione nella forma $f(x) = A\cos(k x) + B\sin(kx)$ come faccio a trasformarla nella forma $f(x) = C\sin(kx+\phi)$ ?
so che la domanda può sembrare stupida ma non sono mai riuscito a passare sa uno formulazione all'altra.
qualcuno saprebbe darmi una dritta?
grazie mille a tutti
Avrei bisogno di un chiarimento per un esercizio di fisica quantistica.
Ho un potenziale come quello descritto in figura
dove la freccia verde è una delta di Dirac mentre la parte in rosso è un muro di potenziale infinito
ho trovato un esercizio svolto che in linea di massima mi è chiaro ma ho qualche dubbio.
chiamo con il nome "zona I" la parte in a sinistra della delta di Dirac e con il nome "Zona II" la parte tra la delta di Dirac e il muro di potenziale.
il mio esercizio mi chiede di calcolare i coefficienti delle soluzioni dell'equazioni di Schrödinger e di discutere il coefficiente di riflessione.
Per prima cosa ho pensato che, dato che ho due "barriere" di potenziale infinite, non esiste l'effetto tunnel. Penso che sia giusto ma vi pregherei di correggermi se mi sbaglio.
L'esercizio svolto mi indica che nella zona I l'equazione di Schrödinger ha soluzione del tipo:
[tex]\phi_{I}(x)=P e^{ik_{1}x}+Q e^{-ik_{1}x}[/tex]
mentre nella zona II ha soluzione
[tex]\phi_{II}(x)=A\sin(k_{2}x+\varphi)[/tex]
e qui nasce io mio primo dubbio.
Prima di $x=0$ e tra $x=0$ e $x=a$ ho che il potenziale è nullo. Non dovrei pertanto avere [tex]\phi[/tex] nella stessa forma?
per quanto riguarda i coefficienti:
come di consueto prendo il coefficiente dell'onda incidente $P$ pari a $1$ per normalizzazione. E fino a qui mi sta bene.
quindi la funzione in quella zona diventa
[tex]\phi_{I}(x)=e^{ik_{1}x}+Q e^{-ik_{1}x}[/tex]
L'esercizio svolto tiene però il secondo coefficiente $Q$. Però ho pensato...
per [tex]x\rightarrow -\infty[/tex] devo avere che $phi_I$ deve assumere un valore finito ma
[tex]\lim_{x\rightarrow -\infty} \phi_{I} = \lim_{x\rightarrow -\infty} \left( e^{ik_{1}x}+Q e^{-ik_{1}x} \right) = e^{-\infty}+Q e^{\infty}[/tex]
ma quindi non dovrei avere $Q=0$ ?
Inoltre svolgendo questo esercizio mi sono trovato di nuovo di fronte ad un semplice passaggio matematico che però non sono mai riuscito a dimostrare
quanto ho una funzione nella forma $f(x) = A\cos(k x) + B\sin(kx)$ come faccio a trasformarla nella forma $f(x) = C\sin(kx+\phi)$ ?
so che la domanda può sembrare stupida ma non sono mai riuscito a passare sa uno formulazione all'altra.
qualcuno saprebbe darmi una dritta?
grazie mille a tutti
Risposte
"Summerwind78":
Per prima cosa ho pensato che, dato che ho due "barriere" di potenziale infinite, non esiste l'effetto tunnel.
Non e' vero. Mentre la barriera piu' a destra e' effettivamente implementata nell eq. di Schroedinger come una condizione al contorno molto restrittiva, e li' non passa proprio niente, nel punto $x=0$, pur essendo anche li' posta la condizione al contorno della Delta, il tunneling c'e' eccome. Se hai davanti l'esercizio svolto vedi bene che la funzione d'onda a destra della Delta non e' nulla, del resto.
Prima di $x=0$ e tra $x=0$ e $x=a$ ho che il potenziale è nullo. Non dovrei pertanto avere [tex]\phi[/tex] nella stessa forma?
Beh, no, visto che in $x=a$ la funzione d'onda deve rispettare le condizioni al contorno per la barriera infinita, mentre per $x->-\infty$ la condizione al contorno e' tutta diversa. Comunque si tratta di una combinazione lineare di esponenziali complesse...
per [tex]x\rightarrow -\infty[/tex] devo avere che $phi_I$ deve assumere un valore finito ma
[tex]\lim_{x\rightarrow -\infty} \phi_{I} = \lim_{x\rightarrow -\infty} \left( e^{ik_{1}x}+Q e^{-ik_{1}x} \right) = e^{-\infty}+Q e^{\infty}[/tex]
ma quindi non dovrei avere $Q=0$ ?
Attenzione: l'argomento dell'esponenziale e' immaginario puro!!
Altrimenti non sarebbero possibili le onde piane delle particelle libere, ti pare?
quanto ho una funzione nella forma $f(x) = A\cos(k x) + B\sin(kx)$ come faccio a trasformarla nella forma $f(x) = C\sin(kx+\phi)$ ?
Formule di prostaferesi:
[tex]\sin(kx+\phi) = \cos\phi\sin kx + \sin\phi\cos kx[/tex]
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