Fisica medica: tensione superficiale ed energia potenziale
Carissimi,
alle soglie dei 30 ho deciso di abbandonare l'ingegneria e darmi alla medicina. Non mi hanno convalidato fisica e mi ritrovo a risolvere problemi dopo la bellezza di 11 anni! Vi propongo nel seguito alcuni esercizi e come li risolverei io (a quanto pare sbagliando). Ogni suggerimento è gradito!
Due goccie di mercurio identiche di raggio r=0.50 mm, sospese nel vuoto, sono lanciate orizzontalmente l’una verso l’altra ad una certa velocità. Esse si scontrano e formano un’unica goccia di mercurio. Si assuma che l’urto tra le due gocce sia perfettamente anelastico. Si calcoli il modulo della variazione di energia potenziale ΔU. Si assuma che la tensione superficiale del mercurio all'interfaccia con l’aria sia pari a τ=0.427 N m-1. Si suppongano trascurabili o nulli tutti gli effetti legati alla forza di gravità.
alle soglie dei 30 ho deciso di abbandonare l'ingegneria e darmi alla medicina. Non mi hanno convalidato fisica e mi ritrovo a risolvere problemi dopo la bellezza di 11 anni! Vi propongo nel seguito alcuni esercizi e come li risolverei io (a quanto pare sbagliando). Ogni suggerimento è gradito!
Due goccie di mercurio identiche di raggio r=0.50 mm, sospese nel vuoto, sono lanciate orizzontalmente l’una verso l’altra ad una certa velocità. Esse si scontrano e formano un’unica goccia di mercurio. Si assuma che l’urto tra le due gocce sia perfettamente anelastico. Si calcoli il modulo della variazione di energia potenziale ΔU. Si assuma che la tensione superficiale del mercurio all'interfaccia con l’aria sia pari a τ=0.427 N m-1. Si suppongano trascurabili o nulli tutti gli effetti legati alla forza di gravità.
Risposte
Ciao ingegnermedico, io ho dato fisica medica l'anno scorso, vediamo cosa ricordo!
Concordo su $ Delta U = 0 $ , se gli effetti gravitazionali sono trascurabili, e non vedo parlare di cariche, che altra energia potenziale ci può essere? A meno che non esista un potenziale definito a partire dalla tensione superficiale, ma io di sicuro non ne ho mai sentito parlare!!!
E comunque non vedrei cosa c'entrino gli urti. A me pare il classico problema dove sparano mille dati inutili per confonderti le idee!
Concordo su $ Delta U = 0 $ , se gli effetti gravitazionali sono trascurabili, e non vedo parlare di cariche, che altra energia potenziale ci può essere? A meno che non esista un potenziale definito a partire dalla tensione superficiale, ma io di sicuro non ne ho mai sentito parlare!!!
E comunque non vedrei cosa c'entrino gli urti. A me pare il classico problema dove sparano mille dati inutili per confonderti le idee!
"lillina95":
A meno che non esista un potenziale definito a partire dalla tensione superficiale, ma io di sicuro non ne ho mai sentito parlare!!!
e invece si tratta proprio di questo!
La tensione superficiale si può definire anche come l'energia potenziale superficiale per unità di superficie. L'energia potenziale di una goccia di liquido è quindi data, in generale, dalla tensione superficiale moltiplicata per la superficie della goccia. Nel nostro caso, inizialmente abbiamo due gocce di raggio $r$ e quindi abbiamo una energia potenziale iniziale data da:\(\displaystyle U_i=2\tau 4\pi r^2 \)
Dopo l'urto, le due gocce diventano una sola. Essa avrà un raggio $R$ tale che il volume della goccia sia uguale alla somma dei volumi delle due gocce iniziali (questo perché la quantità di mercurio è sempre la stessa e la sua densità rimane costante per cui il volume totale è sempre lo stesso). Il raggio $R$ si trova imponendo che:
\(\displaystyle \frac{4}{3}\pi R^3=2\cdot \frac{4}{3}\pi r^3\quad \Rightarrow \quad R=2^\frac{1}{3}r\)
L'energia potenziale finale è data quindi da:
\(\displaystyle U_f=\tau 4\pi R^2=\tau 4 \pi r^22^\frac{2}{3} \)
La variazione di energia e quindi:
\(\displaystyle \Delta U=U_f-U_i=\tau 4\pi r^2(2^\frac{2}{3}-2)=-5,53\cdot 10^{-7}\,J \)
quindi la risposta è la d.
"mathbells":
[quote="lillina95"]A meno che non esista un potenziale definito a partire dalla tensione superficiale, ma io di sicuro non ne ho mai sentito parlare!!!
e invece si tratta proprio di questo!
[/quote]Ma tu pensa!!!
Mathbells scusa, so che non dovrei tirare su la discussione solo per questo, ma sono troppo curiosa...questa energia potenziale si "usa" sempre nel solito modo? Cioè, la sua variazione mi rappresenta il lavoro che bisogna fare per aumentare la superficie di un liquido, ad esempio?
È che faccio fatica a immaginarmela. È diversa dalle energie potenziali che conosco, le quali sono più sfacciatamente funzione di una posizione relativa (una massa rispetto ad altre masse o una carica rispetto ad altre cariche, o massa/carica nei rispettivi campi, o ancora una massa rispetto alla posizione di equilibrio di una molla e via dicendo...)
Voglio dire, al massimo arrivo a immaginare una goccia sferica di raggio $ R $ e a pensare che per aumentare la superficie "allargandola" a una sfera di raggio $ R + Delta R $ devo spendere energia...che in qualche modo mi viene restituita se la goccia ritorna alle dimensioni iniziali.
"lillina95":
so che non dovrei tirare su la discussione solo per questo
nessun problema
, la tua domanda non è OT e poi il post è ancora "fresco"...non si può certo già parlare di necroposting "lillina95":
questa energia potenziale si "usa" sempre nel solito modo? Cioè, la sua variazione mi rappresenta il lavoro che bisogna fare per aumentare la superficie di un liquido, ad esempio?
Esattamente!
"lillina95":
È che faccio fatica a immaginarmela. È diversa dalle energie potenziali che conosco...
In realtà questa energia potenziale è assimilabile all'energia potenziale di una molla...che conosci molto bene.
"lillina95":
...le quali sono più sfacciatamente funzione di una posizione relativa [...] o ancora una massa rispetto alla posizione di equilibrio di una molla
Attenzione! l'energia potenziale di una molla non ha nulla a che fare con la massa che gli sta attaccata...pensaci un attimo: la formula dell'energia potenziale della molla è \(\displaystyle U=\frac{1}{2}k\Delta l^2 \); come vedi, la massa non compare nella formula. L'energia sta "nella molla in sé", e dipende solo dalla sua costante elastica e dalla sua variazione di lunghezza, quindi tutte proprietà della molla, non della massa.
Puoi immaginarti l'energia potenziale associata alla tensione superficiale come l'energia potenziale di una membrana elastica che avvolge la goccia; l'espansione della goccia provoca l'estensione della membrana (che sarebbe l'equivalente dell'allungamento della molla) e quindi si ha un aumento dell'energia potenziale.
"mathbells":
Attenzione! l'energia potenziale di una molla non ha nulla a che fare con la massa che gli sta attaccata...pensaci un attimo: la formula dell'energia potenziale della molla è \(\displaystyle U=\frac{1}{2}k\Delta l^2 \); come vedi, la massa non compare nella formula. L'energia sta "nella molla in sé", e dipende solo dalla sua costante elastica e dalla sua variazione di lunghezza, quindi tutte proprietà della molla, non della massa.
Arrrrrgggh! Che erroraccio concettuale ho fatto!!
È vero...hai ragione!
"mathbells":
Puoi immaginarti l'energia potenziale associata alla tensione superficiale come l'energia potenziale di una membrana elastica che avvolge la goccia; l'espansione della goccia provoca l'estensione della membrana (che sarebbe l'equivalente dell'allungamento della molla) e quindi si ha un aumento dell'energia potenziale.
Ecco, è esattamente quello che desideravo sapere. Esempio perfetto per il mio caso! Ho capito perfettamente e mi servirà per fisiologia, il prossimo semestre.
Grazie davvero.
Sono proprio ancora una principiante...
"lillina95":
Grazie davvero
di nulla
Non mi torna una cosa. Sullo Scannicchio si definisce U=-tau*S, tu non hai usato il segno meno. In questo modo il risultato finale cambia di segno. A parte che non mi torna un'energia negativa, vorrei capire se abbia maggiore energia potenzialeuna goccia con superficie ampia (fatto che viene confutato dal segno meno, ma che hai affermato 3 post fa) o piccola.
"ingegnermedico":
vorrei capire se abbia maggiore energia potenzialeuna goccia con superficie ampia (fatto che viene confutato dal segno meno, ma che hai affermato 3 post fa) o piccola.
A parità di volume, l'energia è tanto maggiore quanto più ampia è la superficie. Ed infatti, poiché in natura i sistemi tendono ad assumere la configurazione a più bassa energia, le gocce di liquido sono sempre a forma sferica perché, fissato il volume da racchiudere, la sfera è la superficie più piccola possibile. Nell'esercizio,la variazione di energia viene negativa perché, fissato il volume totale del mercurio, la superficie della goccia finale è minore della somma delle superfici delle due gocce iniziali. La conferma "sperimentale" del fatto che è giusto che venga un $\Delta U<0$ è data dal fatto che la configurazione finale dell'esercizio (goccia unica) è quella preferita dalla natura (energia minore). Infatti se metti a contatto due gocce d'acqua esse si uniranno mentre non osserverai mai che una goccia grossa si divide (spontaneamente) in due gocce più piccole.
"ingegnermedico":
Sullo Scannicchio si definisce U=-tau*S
Mi sembra strano...bisognerebbe vedere in dettaglio che cosa intende il libro con quella U....
Ce l'ho sotto il naso. Dice che definisce così il lavoro fatto dalle forze di tensione superficiale per riportare la superficie da finale a iniziale:
$L = tau(S_i - S_f)$
ma qui non mi funziona già più. Se vado da una Sf piccola a una Si grande, il lavoro viene positivo, ma la tensione superficiale dovrebbe tendere a diminuire la superficie! Personalmente prenderei quella formula come lavoro delle forze di campo per andare da Si a Sf, non il contrario.
Poi da qui il libro definisce l'energia potenziale come è stato detto. E mi sta bene perché $L=-Delta U$. Ma il segno del lavoro non mi torna.
$L = tau(S_i - S_f)$
ma qui non mi funziona già più. Se vado da una Sf piccola a una Si grande, il lavoro viene positivo, ma la tensione superficiale dovrebbe tendere a diminuire la superficie! Personalmente prenderei quella formula come lavoro delle forze di campo per andare da Si a Sf, non il contrario.
Poi da qui il libro definisce l'energia potenziale come è stato detto. E mi sta bene perché $L=-Delta U$. Ma il segno del lavoro non mi torna.
Non ti sembra un controsenso andare da una superficie finale a una iniziale ...?
Eh sì. Però il discorso inizia da un lavoro fatto contro le forze di campo, che porta la superficie da iniziale a finale. E poi viene introdotto, appunto, il lavoro delle forze di campo, che riporta la superficie allo stato iniziale. Non so onestamente perché faccia tutto questo giro...alla fine è proprio per questo scambio iniziale/finale che viene quel segno meno che non torna, perché che io sappia l'energia potenziale si definisce indifferentemente a partire dal lavoro fatto da o fatto contro, ma a quel punto diventa essenziale il segno e non puoi girare iniziale e finale a piacimento!
(Insomma quello che voglio dire è che o prendeva il lavoro "contro", con iniziale e finale così, e allora diceva $ L = Delta U$, oppure come solitamente si fa prendeva il lavoro delle forze di campo, ma con iniziale e finale scambiati! e diceva $ L = - Delta U $ )
(Insomma quello che voglio dire è che o prendeva il lavoro "contro", con iniziale e finale così, e allora diceva $ L = Delta U$, oppure come solitamente si fa prendeva il lavoro delle forze di campo, ma con iniziale e finale scambiati! e diceva $ L = - Delta U $
)
"lillina95":
Dice che definisce così il lavoro fatto dalle forze di tensione superficiale per riportare la superficie da finale a iniziale:
$L=τ(Si−Sf)$
Questa è giusta, se con L intende $L_{i\rightarrow f}$. Se Si è più grande di Sf, significa che la goccia si è ristretta e quindi il lavoro fatto dalla tensione è positivo, per cui torna.
Per il resto, non so che ragionamenti fa quel libro ma le definizioni di energia potenziale sono tutte equivalenti anche se formulate in modo diverso (lavoro del campo o lavoro contro il campo). Quindi alla fie deve tornare.
Su questo concordo, il problema è che dice il contrario. Ti copio il testo:
Si può definire $tau$ come il lavoro necessario per aumentare di una unità l'area della superficie:
$ tau = L/ | Delta S|$
Da questa, se indichiamo con $S_i$ la superficie iniziale e con $S_f$ quella finale, il lavoro fatto dalle forze di tensione superficiale, per riportare la superficie da $S_f$ a $S_i$, dipende solo dalle superfici iniziali e finali:
$ L = tau( S_i-S_f )$
E quindi, in analogia con quanto visto in meccanica, possiamo introdurre un'energia potenziale superficiale data da:
$ U = - tau S $
dove $S$ e l'area della superficie libera.
Si può definire $tau$ come il lavoro necessario per aumentare di una unità l'area della superficie:
$ tau = L/ | Delta S|$
Da questa, se indichiamo con $S_i$ la superficie iniziale e con $S_f$ quella finale, il lavoro fatto dalle forze di tensione superficiale, per riportare la superficie da $S_f$ a $S_i$, dipende solo dalle superfici iniziali e finali:
$ L = tau( S_i-S_f )$
E quindi, in analogia con quanto visto in meccanica, possiamo introdurre un'energia potenziale superficiale data da:
$ U = - tau S $
dove $S$ e l'area della superficie libera.
Fino a qui
il discorso fila. MA questa
è sbagliata secondo me. Questa formula dice che se la superficie di una goccia aumenta ($\Delta S>0$) la sua energia potenziale diminuisce ($\Delta U<0$)
Questo significherebbe che le gocce d'acqua sarebbero preferibilmente cubiche piuttosto che sferiche. Io non le ho viste mai le gocce cubiche...Non so che altro dire
"lillina95":
$L=τ(Si−Sf)$
il discorso fila. MA questa
"lillina95":
$U=−τS$
è sbagliata secondo me. Questa formula dice che se la superficie di una goccia aumenta ($\Delta S>0$) la sua energia potenziale diminuisce ($\Delta U<0$)
Questo significherebbe che le gocce d'acqua sarebbero preferibilmente cubiche piuttosto che sferiche. Io non le ho viste mai le gocce cubiche...Non so che altro dire
Non fila neanche il lavoro secondo me, perché quello è $L_(f rightarrow i)$ e non $L_(i rightarrow f)$. 
In questo modo, se $S_(f) gt S_i$, otteniamo un lavoro negativo, ossia che per ridurre la superficie occorre fornire energia al sistema. È il contrario di quello che dovrebbe essere.
In questo modo, se $S_(f) gt S_i$, otteniamo un lavoro negativo, ossia che per ridurre la superficie occorre fornire energia al sistema. È il contrario di quello che dovrebbe essere.
"lillina95":
perché quello è $Lf→i$ e non $Li→f$.
Se intende quello allora sono d'accordo con te. Sinceramente questo libro non lo capisco....della serie: come complicare le cose semplici
"mathbells":
[quote="lillina95"]perché quello è $Lf→i$ e non $Li→f$.
Se intende quello allora sono d'accordo con te. Sinceramente questo libro non lo capisco....della serie: come complicare le cose semplici
[/quote]Non hai mai sfogliato lo Scannicchio? È terrificante. Mia madre dice che per leggerlo è necessaria la laurea in ingegneria.
Eppure è considerato un libro per studenti di medicina, che notoriamente non è che siano amanti e profondi conoscitori della fisica! Io l'ho comprato perché era il testo consigliato per il mio esame di fisica medica, provato a usarlo ed archiviato, un libro senza senso, infatti l'ho dato ai miei che lo mettessero tra i loro. (*) Mischia quello che vorrebbe essere una trattazione degli argomenti base (orrenda, come abbiamo appena dimostrato, dato che pure voi laureati lo trovate assurdo e sbagliato) ai concetti di fisica medica e fisiologia, di cui non si capisce nulla a meno di non conoscere la fisica già da prima. Fisica medica l'ho fatta solo con le slide del prof, ma dei miei compagni di università, chi aveva meno basi di me, dopo due anni ancora deve darla...[ot](*) Con questo non intendo dire che madre e padre collezionino libri senza senso, ma solo che almeno loro riescono a capire cosa c'è scritto dentro...
[/ot]
"lillina95":
Non hai mai sfogliato lo Scannicchio? È terrificante. Mia madre dice che per leggerlo è necessaria la laurea in ingegneria.
a me è piaciuta molto la parte che ho studiato da quel libro, ma la laurea in ingegneria effettivamente ce l'ho
mathbells, io ero d'accordo con te e tutti i ragionamenti che hai fatto mi hanno convinto del tutto: non credo che esista prova più schiacciante delle gocce cubiche e delle gocce che si uniscono ma non si separano
grazie mille a entrambi per la discussione!
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