[FISICA MATEMATICA] Traiettoria
Ciao a tutti, voglio chiedervi di darmi una mano non solo nel risolvere l'esercizio ma anche a capire concretamente come aprocciarmi ad un problema che mi chiede di individuare la traiettoria di un punto materiale.
Ad esempio nel sistema $ O,x,y,z $ ho la seguente legge: $ P(t) = (rcos\omegat,-rsen\omegat,0) $ e devo ricavarmi la traiettoria. Mi è chiaro che si tratterà di un qualcosa di curvilineo e che probabilmente sarà una circonferenza (credo, scusate se è un errore) ma non riesco a capire come ottenere un risultato matematicamente.
Spero che qualcuno mi possa dare una mano.
Ciao
Ad esempio nel sistema $ O,x,y,z $ ho la seguente legge: $ P(t) = (rcos\omegat,-rsen\omegat,0) $ e devo ricavarmi la traiettoria. Mi è chiaro che si tratterà di un qualcosa di curvilineo e che probabilmente sarà una circonferenza (credo, scusate se è un errore) ma non riesco a capire come ottenere un risultato matematicamente.
Spero che qualcuno mi possa dare una mano.
Ciao
Risposte
È semplice :
$P(t) = (x(t) , y(t) , 0 ) = (rcos\omegat,-rsen\omegat,0) $
non è altro che un vettore, tracciato a partire dall'origine di un riferimento cartesiano $0(x,y,z)$ . La terza coordinata è sempre nulla nel tempo.
Allora la traiettoria si determina eliminando il tempo tra x ed y . Basta quadrare e sommare :
$x^2 + y^2 = r^2$ .
Si tratta di una circonferenza nel piano xy, di centro 0 e raggio r.
$P(t) = (x(t) , y(t) , 0 ) = (rcos\omegat,-rsen\omegat,0) $
non è altro che un vettore, tracciato a partire dall'origine di un riferimento cartesiano $0(x,y,z)$ . La terza coordinata è sempre nulla nel tempo.
Allora la traiettoria si determina eliminando il tempo tra x ed y . Basta quadrare e sommare :
$x^2 + y^2 = r^2$ .
Si tratta di una circonferenza nel piano xy, di centro 0 e raggio r.
Mi rimane un dubbio, quando ho quadrato e sommato, e mi ritrovo con $ r^2 (cos^2 \omegat+sen^2 \omegat) $ capisco che è una circonferenza, ma come arrivo alla forma $ x^2 + y^2 = r^2 $ ? O meglio, capisco $ x^2 $ e $ y^2 $ che hanno preso il posto di quello che ho scritto sopra, ma $ r $ come va alla destra dell'uguale.
Scusami già da subito se la domanda è stupida, ma vorrei togliermi sin da subito questi dubbi. E grazie per la risposta precedente!
Scusami già da subito se la domanda è stupida, ma vorrei togliermi sin da subito questi dubbi. E grazie per la risposta precedente!
Dato il sistema sottostante, eleva al quadrato le due espressioni e sommale membro a membro.
\[\left\{ \begin{array}{l}
x(t) = r\cos{\omega t} \\
y(t) = -r\sin{\omega t}
\end{array} \right.\]
Otterrai:
\[ [x(t)]^2 + [y(t)]^2 = r^2 \cos^2{\omega t} + r^2 \sin^2{\omega t} = r^2 \]
\[\left\{ \begin{array}{l}
x(t) = r\cos{\omega t} \\
y(t) = -r\sin{\omega t}
\end{array} \right.\]
Otterrai:
\[ [x(t)]^2 + [y(t)]^2 = r^2 \cos^2{\omega t} + r^2 \sin^2{\omega t} = r^2 \]
Grazie mille! ora mi è tutto più chiaro.
"L_Otto_Bello":
Mi rimane un dubbio, quando ho quadrato e sommato, e mi ritrovo con $ r^2 (cos^2 \omegat+sen^2 \omegat) $ capisco che è una circonferenza…..…….
Scusami già da subito se la domanda è stupida, ma vorrei togliermi sin da subito questi dubbi. E grazie per la risposta precedente!
Diciamo grazie al nostro amico DelCrossB, che ti ha spiegato in dettaglio la cosa.
Ma osserva che la quantità in parentesi tonda, che moltiplica $r^2$ , è uguale a 1. Semplice trigonometria, no ?
Non esistono domande stupide, esistono domande. Uno può anche non aver capito, e non è una colpa. Perciò non devi scusarti.
Ciao navigatore!
Ho sentito la necessità di tradurre in formule quello che hai detto: immaginavo il dubbio di otto bello fosse proprio riguardante i passaggi matematici.
Buona giornata!
Ho sentito la necessità di tradurre in formule quello che hai detto: immaginavo il dubbio di otto bello fosse proprio riguardante i passaggi matematici.
Buona giornata!
Ciao DelCrossB ! Come va la vita?
Non c'è bisogno che mi spieghi il motivo del tuo intervento, che ho inteso benissimo. Siamo su un forum, ognuno può scrivere ciò che vuole, se serve a capire meglio !
Ricambio l'augurio di una buona giornata.
Non c'è bisogno che mi spieghi il motivo del tuo intervento, che ho inteso benissimo. Siamo su un forum, ognuno può scrivere ciò che vuole, se serve a capire meglio !
Ricambio l'augurio di una buona giornata.
Sarà che l'aria è pesante qui intorno ultimamente.. eheh
Tutto bene, ti ringrazio. Spero valga lo stesso per te. Chiudo con l'OT. Ciaooo
Tutto bene, ti ringrazio. Spero valga lo stesso per te. Chiudo con l'OT. Ciaooo
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