[Fisica Matematica] Convergenza in distribuzione
Ciao a tutti, mi sto preparando per un esame di fisica matematica e c'è un esercizio di un vecchio scritto che proprio non riesco a risolvere. Il testo è questo:
Sia $f(x)=x \cdot \chi { |x| < 3 }$ (nota che $\int f(x)\ dx = 0$). Calcola, in distribuzione, $lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{\epsilon^2}f(\frac{5x}{\epsilon})$.
Il risultato è $-\frac{18}{25} \delta'(x)$.
Sono due giorni che ci sbatto la testa ma non ne vengo a capo, anche perché durante il corso abbiamo visto giusto un paio di esempi come la derivata in distribuzione della funzione segno e poco altro. Dovrei utilizzare il fatto che f ha integrale nullo, ma l'unica cosa che mi viene in mente non mi porta da nessuna parte e cioè, utilizzando lo spazio delle funzioni test,
$lim_{\epsilon \to 0} \int \phi(x)\frac{1}{\epsilon^2}f(\frac{5x}{\epsilon})\ dx = lim_{\epsilon \to 0} -\int \phi'(x) (\int \frac{1}{\epsilon^2}f(\frac{5y}{\epsilon}) \ dy)\ dx =0 $.
Mi potreste aiutare a capire come si risolve? Grazie infinite
Sia $f(x)=x \cdot \chi { |x| < 3 }$ (nota che $\int f(x)\ dx = 0$). Calcola, in distribuzione, $lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{\epsilon^2}f(\frac{5x}{\epsilon})$.
Il risultato è $-\frac{18}{25} \delta'(x)$.
Sono due giorni che ci sbatto la testa ma non ne vengo a capo, anche perché durante il corso abbiamo visto giusto un paio di esempi come la derivata in distribuzione della funzione segno e poco altro. Dovrei utilizzare il fatto che f ha integrale nullo, ma l'unica cosa che mi viene in mente non mi porta da nessuna parte e cioè, utilizzando lo spazio delle funzioni test,
$lim_{\epsilon \to 0} \int \phi(x)\frac{1}{\epsilon^2}f(\frac{5x}{\epsilon})\ dx = lim_{\epsilon \to 0} -\int \phi'(x) (\int \frac{1}{\epsilon^2}f(\frac{5y}{\epsilon}) \ dy)\ dx =0 $.
Mi potreste aiutare a capire come si risolve? Grazie infinite
Risposte
Scusa, come è definita quella funzione "chi"? In letteratura non c'è uniformità dei simboli 
Allora, la funzione è definita così:
$\chi{|x<3|}={(1,text{se }|x|<3),(0,text{altrimenti}):}$
le funzioni test sono le funzioni $C^\infty$ a supporto compatto, mentre la delta rappresenta la delta di Dirac e cioè quel funzionale che, per ogni funzione test $\phi$, è tale che
$\delta[\phi]=\phi(0)$
e cioè con abuso di notazione
$\int \phi(x)\delta(x) \ dx= \phi(0)$.
Invece la convergenza nel senso delle distribuzioni è così definita:
$lim_{\epsilon \to 0} f_{\epsilon}=f$ se per ogni funzione test $\lim_{\epsilon \to 0} \int \phi(x)f_{\epsilon}(x)\ dx = \int \phi(x)f(x)\ dx$.
Inoltre sempre nel senso delle distribuzioni, integrando per parti e usando il fatto che le funzioni test sono a supporto compatto,
$\int \phi(x)\delta'(x)\ dx=-\int \phi'(x)\delta(x)\ dx=\phi'(0)$ e cioè $\delta'[\phi]=\phi'(0)$.
Un'altra cosa che so e che può essere utile ai fini dell'esercizio è che se $g$ è una funzione tale che per ogni epsilon
$\int 1/\epsilon g(x/\epsilon)\ dx = 1$, allora $lim_{\epsilon \to 0} 1/\epsilon g(x/\epsilon) = \delta(x)$.
Queste sono circa tutte le mie conoscenze sull'argomento distribuzioni. Grazie della pazienza.
$\chi{|x<3|}={(1,text{se }|x|<3),(0,text{altrimenti}):}$
le funzioni test sono le funzioni $C^\infty$ a supporto compatto, mentre la delta rappresenta la delta di Dirac e cioè quel funzionale che, per ogni funzione test $\phi$, è tale che
$\delta[\phi]=\phi(0)$
e cioè con abuso di notazione
$\int \phi(x)\delta(x) \ dx= \phi(0)$.
Invece la convergenza nel senso delle distribuzioni è così definita:
$lim_{\epsilon \to 0} f_{\epsilon}=f$ se per ogni funzione test $\lim_{\epsilon \to 0} \int \phi(x)f_{\epsilon}(x)\ dx = \int \phi(x)f(x)\ dx$.
Inoltre sempre nel senso delle distribuzioni, integrando per parti e usando il fatto che le funzioni test sono a supporto compatto,
$\int \phi(x)\delta'(x)\ dx=-\int \phi'(x)\delta(x)\ dx=\phi'(0)$ e cioè $\delta'[\phi]=\phi'(0)$.
Un'altra cosa che so e che può essere utile ai fini dell'esercizio è che se $g$ è una funzione tale che per ogni epsilon
$\int 1/\epsilon g(x/\epsilon)\ dx = 1$, allora $lim_{\epsilon \to 0} 1/\epsilon g(x/\epsilon) = \delta(x)$.
Queste sono circa tutte le mie conoscenze sull'argomento distribuzioni. Grazie della pazienza.
A meno di trucchi rapidi per chi è esperto (io sono arrugginito in materia), la strada dei limiti dei rapporti incrementali mi sembra praticabile.
A meno di costanti, derivando la funzione triangolo rispetto ad $\epsilon$ si ottiene la $\delta$. Derivando ancora si ottiene la $\delta'$.
Prendi queste mie considerazioni con beneficio di inventario e speriamo che qualche esperto intervenga
A meno di costanti, derivando la funzione triangolo rispetto ad $\epsilon$ si ottiene la $\delta$. Derivando ancora si ottiene la $\delta'$.
Prendi queste mie considerazioni con beneficio di inventario e speriamo che qualche esperto intervenga
Ok. Dovrebbe venire abbastanza agevolmente se usi l'ultima formula che hai scritto.
Parti dall'integrale della funzione dentro al limite che devi calcolade e lo aggiusti a 1.
Parti dall'integrale della funzione dentro al limite che devi calcolade e lo aggiusti a 1.
Allora intanto grazie delle risposte, mi è stato dato un suggerimento che poi credo sia lo stesso che mi hai dato tu, e cioè quello di sfruttare la primitiva della funzione. Tra l'altro era quello che ho provato a fare dall'inizio, ma come uno scemo invece di calcolare la primitiva di $x\cdot \chi{|x|<3}$ mi sono fatto ingannare dal fatto che la chi mi limitava l'integrale e quindi calcolavo il suo valore tra -3 e 3. Comunque adesso con questo procedimento trovo quasi il risultato, ma mi manca un fattore 2. Infatti se F è una primitiva di f:
$\lim{\epsilon \to 0}\int 1/\epsilon^2\phi(x) f(5x/\epsilon)\ dx=-1/5\lim{\epsilon \to 0}\int 1/\epsilon \phi'(x) F(5x/\epsilon)\ dx = -1/25 \lim{\epsilon \to 0}\int 1/\epsilon^2\phi'(\epsilon y/5) f(y)\ dy = -1/25\phi'(0) \int F(y)\ dy.
F={x^2}/2\cdot \chi{|x|<3}$
quindi
$\int F(y)\ dy = 9$,
e perciò mi viene $-9/25 \delta'(x)$. Dove ho sbagliato?
$\lim{\epsilon \to 0}\int 1/\epsilon^2\phi(x) f(5x/\epsilon)\ dx=-1/5\lim{\epsilon \to 0}\int 1/\epsilon \phi'(x) F(5x/\epsilon)\ dx = -1/25 \lim{\epsilon \to 0}\int 1/\epsilon^2\phi'(\epsilon y/5) f(y)\ dy = -1/25\phi'(0) \int F(y)\ dy.
F={x^2}/2\cdot \chi{|x|<3}$
quindi
$\int F(y)\ dy = 9$,
e perciò mi viene $-9/25 \delta'(x)$. Dove ho sbagliato?
Pensavo ad un procedimento (fuori da integrale) diverso, ma arrivo ad un punto morto, anche perchè avevo frainteso la definizione di "chi". Quel 2 mancante si anniderà magari negli estremi di integrazione o in qualche trasformazione
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