Fisica matematica, come disegnare il diagramma di fase di un sistema dinamico

[poll89]

Ciao a tutti, strana gente che come me prova piacere nel rispondere alle domande su questo forum vi chiedo aiuto per una difficoltà un po' generica. Supponiamo di avere un punto materiale su un piano la cui cinematica sia descritta da un sistema di due equazioni differenziali ordinarie del primo ordine in due variabili, ovvero ${(x^{\prime} =f(x,y) ),(y^{\prime} =g(x,y )):}$, e che mi venga richiesto di studiare qualitativamente tale sistema, con particolare riguardo ai punti di equilibrio ed alla loro natura. Dalla teoria ho imparato le tecniche di linearizzazione per lo studio di tali punti (nodo stabile o instabile, punto di sella ecc), oltre ai teoremi di Lyapunof per quando occorre essere un pochino più generici. Nessun problema fin qui, er solo un'introduzione per definire il contesto.

La mia difficoltà sta nel disegnare globalmente il diagramma di fase del sistema. Vi chiedo quindi se conosciate un eserciziario svolto bene, o se abbiate degli esempi di tale problema risolto almeno una volta passo passo. Addirittura, se voleste discuterne con me e guidarmi un po' ve ne sarei grato. Inutile dire come la mia dispensa sorvoli su questo problema con qualche esempio banale.

Nel caso vi occorrano dei chiarimenti su ciò che intendo chiedete senza problemi. Tutti i concetti di cui parlo sono su questa dispensa.

Attenzione, non mi riferisco al grafico del potenziale di un sistema dinamico, grafico che spesso viene anch'esso detto diagramma di fase (forse impropriamente, non saprei dire). Un esempio tipico degli esercizi ai quali mi riferisco sono le equazioni di Lotka-Volterra per descrivere l'andamento di una popolazione erbivori-carnivori.

Spero l'argomento susciti interesse. Intanto vi saluto tutti.