Fisica matematica
salve, mi chiedevo se sapete svolgere questo esercizio. davvero non capisco come si fa.
http://i62.tinypic.com/2ufdlbr.png
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Risposte
Il sistema, come abbiamo discusso in un altro esercizio, ha un grado di liberta: 3 sono i gradi iniziali, e i voncoli tolgono un grado ognuno.
Ne consegue che tutto puo' essere descritto da un parametro.
In esercizi come questo, normalmente (ma non sempre) e' conveniente usare l'angolo formato dall'asta con un degli assi (per esempio l'asse x (chiamiamolo $vartheta$)
Se inizi a contare $vartheta$ dall' asse delle x, in senso antiorario, le coordinate di A, per esempio sono
\( x_a=Lcos(\pi-\vartheta)=-Lcos\vartheta \)
$y_a=0$
Le coordinate di B sono
$x_b=0$
\( y_b=Lsin(\pi-\vartheta)=Lsin\vartheta \)
Il punto medio avra coordinate
( \( \frac{x_a}2,\frac{y_a}2 \)) e cioe' ( \( (-\frac{Lcos \vartheta}{2},\frac{Lsin\vartheta}{2}) \).
A questo punto la risoluzione dell'esercizio diventa banale:
La velocita del punto medio C sara data da:
\( \vec{v_c} = \vec{v_a}+\vec{r}\times \dot{\vartheta} \vec{k} \)
dove \( \vec{v_a} =\frac{d}{dt}(-Lcos\vartheta, Lsin\vartheta)=\dot{\vartheta}L(sin\vartheta,cos\vartheta) \)
\( \vec{r} \) e' il vettore (C-A), \( \vec{k} \) il versore normale al piano e \( \dot{\vartheta} \) la velocita' angolare della sbarra.
Lascio a te la finalizzazione dell'equazione sopra e anche la risoluzione del 3 punto.
Ne consegue che tutto puo' essere descritto da un parametro.
In esercizi come questo, normalmente (ma non sempre) e' conveniente usare l'angolo formato dall'asta con un degli assi (per esempio l'asse x (chiamiamolo $vartheta$)
Se inizi a contare $vartheta$ dall' asse delle x, in senso antiorario, le coordinate di A, per esempio sono
\( x_a=Lcos(\pi-\vartheta)=-Lcos\vartheta \)
$y_a=0$
Le coordinate di B sono
$x_b=0$
\( y_b=Lsin(\pi-\vartheta)=Lsin\vartheta \)
Il punto medio avra coordinate
( \( \frac{x_a}2,\frac{y_a}2 \)) e cioe' ( \( (-\frac{Lcos \vartheta}{2},\frac{Lsin\vartheta}{2}) \).
A questo punto la risoluzione dell'esercizio diventa banale:
La velocita del punto medio C sara data da:
\( \vec{v_c} = \vec{v_a}+\vec{r}\times \dot{\vartheta} \vec{k} \)
dove \( \vec{v_a} =\frac{d}{dt}(-Lcos\vartheta, Lsin\vartheta)=\dot{\vartheta}L(sin\vartheta,cos\vartheta) \)
\( \vec{r} \) e' il vettore (C-A), \( \vec{k} \) il versore normale al piano e \( \dot{\vartheta} \) la velocita' angolare della sbarra.
Lascio a te la finalizzazione dell'equazione sopra e anche la risoluzione del 3 punto.
quindi non basta derivare il vettore posizione del punto medio per ottenere la sua velocità?
Come no
E' esattamente quello che ho fatto. Ma le coordinate del vettore in funzione del tempo (o di un parametro funzione del tempo) le devi avere.
In questo caso e' stato scelto l'angolo tra la sbarra e l'orizzontale.
Oppure puoi notare che il triangolo formato dal vettore congiungente l'origine e il punto medio dell'asta e tra questo e il carrello in A e' sempre isoscele, e parametrizzare in quel modo.
Non fa nulla come scegli il sistema di riferimento e il parametro (anche se spesso un'opportuna scelta ti semplifica i calcoli enormemente). il concetto e' che in un sistema ad n gradi di liberta' devi essere in grado di scrivere la posizione di ogni punto in funzione di n parametri indipendenti. Una volta fatta questa operazione sei in grado, derivando le coordinate del punto che vuoi tu rispetto agli n parametri, di trovare velocita' ed accelerazione.
Guarda che tutto il trabiccolo sopra lo fai senza accorgertene piu' spesso di quanto tu non creda: se l'esercizio ti dice di trovare la velocita' di un'asta che si muove parallela a se stessa lungo un asse, cosa fai? Intanto noti che ogni punto ha velocita' dell'asta ha velocita dx'dt.
Di fatto, senza accorgertene esplicitamente, hai parametrizzato tutto rispetto a una coordinata (il sistema ha un grado di liberta, che puo essere descritto da una coordinata, per esempio la x del baricentro). E poi hai derivato la coordinata.
Qui e' la stessa cosa, ma il sistema e' descritto dall'angolo $\vartheta$.
Supponi di voler usare un altra coordinata, per esempio la la coordinata $x_a$ del punto A ($y_a$ non varia, e' sempre 0).
La relazione che lega la posizione del punto C di mezzo e con $x_a$ e', istante x istante:
\( x_c=\frac{x_a}{2} \)
\( y_c=\frac{y_a}{2} \)
e se tieni conto che $x_a^2+y_a^2=L^2$, allora risolvendo quest'ultima rispetto a $y_a$ e sostituendo nella seconda equazione sopra, hai entrambe le cordinate in funzione di un unico parametro: la coordinata $x_a$.
Se derivi, ti viene fuori la velocita' di C in funzione di \( x_a \) e \( \dot{x_a} \) .
Conoscendo il parametro puoi conoscere tutto. E' evidente che il secondo modo di preocedere e' facile se vuoi conoscere la legge del moto di $x_c$, ma se vuoi conoscere la legge del moto di un punto generico della barra, il primo parametro scelto (l'angolo $\vartheta$) e' mooolto piu' conveniente dal punto di vista calcoli.
E' esattamente quello che ho fatto. Ma le coordinate del vettore in funzione del tempo (o di un parametro funzione del tempo) le devi avere.
In questo caso e' stato scelto l'angolo tra la sbarra e l'orizzontale.
Oppure puoi notare che il triangolo formato dal vettore congiungente l'origine e il punto medio dell'asta e tra questo e il carrello in A e' sempre isoscele, e parametrizzare in quel modo.
Non fa nulla come scegli il sistema di riferimento e il parametro (anche se spesso un'opportuna scelta ti semplifica i calcoli enormemente). il concetto e' che in un sistema ad n gradi di liberta' devi essere in grado di scrivere la posizione di ogni punto in funzione di n parametri indipendenti. Una volta fatta questa operazione sei in grado, derivando le coordinate del punto che vuoi tu rispetto agli n parametri, di trovare velocita' ed accelerazione.
Guarda che tutto il trabiccolo sopra lo fai senza accorgertene piu' spesso di quanto tu non creda: se l'esercizio ti dice di trovare la velocita' di un'asta che si muove parallela a se stessa lungo un asse, cosa fai? Intanto noti che ogni punto ha velocita' dell'asta ha velocita dx'dt.
Di fatto, senza accorgertene esplicitamente, hai parametrizzato tutto rispetto a una coordinata (il sistema ha un grado di liberta, che puo essere descritto da una coordinata, per esempio la x del baricentro). E poi hai derivato la coordinata.
Qui e' la stessa cosa, ma il sistema e' descritto dall'angolo $\vartheta$.
Supponi di voler usare un altra coordinata, per esempio la la coordinata $x_a$ del punto A ($y_a$ non varia, e' sempre 0).
La relazione che lega la posizione del punto C di mezzo e con $x_a$ e', istante x istante:
\( x_c=\frac{x_a}{2} \)
\( y_c=\frac{y_a}{2} \)
e se tieni conto che $x_a^2+y_a^2=L^2$, allora risolvendo quest'ultima rispetto a $y_a$ e sostituendo nella seconda equazione sopra, hai entrambe le cordinate in funzione di un unico parametro: la coordinata $x_a$.
Se derivi, ti viene fuori la velocita' di C in funzione di \( x_a \) e \( \dot{x_a} \) .
Conoscendo il parametro puoi conoscere tutto. E' evidente che il secondo modo di preocedere e' facile se vuoi conoscere la legge del moto di $x_c$, ma se vuoi conoscere la legge del moto di un punto generico della barra, il primo parametro scelto (l'angolo $\vartheta$) e' mooolto piu' conveniente dal punto di vista calcoli.
"professorkappa":
Come no
E' esattamente quello che ho fatto. Ma le coordinate del vettore in funzione del tempo (o di un parametro funzione del tempo) le devi avere.
In questo caso e' stato scelto l'angolo tra la sbarra e l'orizzontale.
Oppure puoi notare che il triangolo formato dal vettore congiungente l'origine e il punto medio dell'asta e tra questo e il carrello in A e' sempre isoscele, e parametrizzare in quel modo.
Non fa nulla come scegli il sistema di riferimento e il parametro (anche se spesso un'opportuna scelta ti semplifica i calcoli enormemente). il concetto e' che in un sistema ad n gradi di liberta' devi essere in grado di scrivere la posizione di ogni punto in funzione di n parametri indipendenti. Una volta fatta questa operazione sei in grado, derivando le coordinate del punto che vuoi tu rispetto agli n parametri, di trovare velocita' ed accelerazione.
Guarda che tutto il trabiccolo sopra lo fai senza accorgertene piu' spesso di quanto tu non creda: se l'esercizio ti dice di trovare la velocita' di un'asta che si muove parallela a se stessa lungo un asse, cosa fai? Intanto noti che ogni punto ha velocita' dell'asta ha velocita dx'dt.
Di fatto, senza accorgertene esplicitamente, hai parametrizzato tutto rispetto a una coordinata (il sistema ha un grado di liberta, che puo essere descritto da una coordinata, per esempio la x del baricentro). E poi hai derivato la coordinata.
Qui e' la stessa cosa, ma il sistema e' descritto dall'angolo $\vartheta$.
Supponi di voler usare un altra coordinata, per esempio la la coordinata $x_a$ del punto A ($y_a$ non varia, e' sempre 0).
La relazione che lega la posizione del punto C di mezzo e con $x_a$ e', istante x istante:
\( x_c=\frac{x_a}{2} \)
\( y_c=\frac{y_a}{2} \)
e se tieni conto che $x_a^2+y_a^2=L^2$, allora risolvendo quest'ultima rispetto a $y_a$ e sostituendo nella seconda equazione sopra, hai entrambe le cordinate in funzione di un unico parametro: la coordinata $x_a$.
Se derivi, ti viene fuori la velocita' di C in funzione di \( x_a \) e \( \dot{x_a} \) .
Conoscendo il parametro puoi conoscere tutto. E' evidente che il secondo modo di preocedere e' facile se vuoi conoscere la legge del moto di $x_c$, ma se vuoi conoscere la legge del moto di un punto generico della barra, il primo parametro scelto (l'angolo $\vartheta$) e' mooolto piu' conveniente dal punto di vista calcoli.
usando i tuoi cosigli sono arrivato fino a dove vedi nell'immagine, mi sai dire se è tutto corretto perfavore?
(da notare l'angolo teta che ho usato,diverso da quello che hai usato tu)
http://i57.tinypic.com/121fscl.jpg
Si, mi sembra che vada bene.
Ma l'accelerazione la puoi trovare direttamente derivando l'espressione della $v_a$ trovata.
Lasciata cosi e' in forma un po' piu' "implicita"
Ma l'accelerazione la puoi trovare direttamente derivando l'espressione della $v_a$ trovata.
Lasciata cosi e' in forma un po' piu' "implicita"
"professorkappa":
Si, mi sembra che vada bene.
Ma l'accelerazione la puoi trovare direttamente derivando l'espressione della $v_a$ trovata.
Lasciata cosi e' in forma un po' piu' "implicita"
benissimo
cmq in realtà dovrei aver sbagliato, perchè mi hanno detto che w non vale teta primo.
in pratica si fa Va=Vb+Wx(A-B) ----> w=-teta primo (segno meno)
e poi si fa Vg=Va+Wx(G-A)
???
Che vuol dire w non vale theta primo?
"in pratica si fa Va=Vb+Wx(A-B) ----> w=-teta primo (segno meno)"
No, in pratica, proprio no. Va e Vb sono entrambe incognite, per cominciare.
Secondo punto l'esercizio NON te le chiede (mai dare piu' risposte di quelle chieste nell'esercizio, si puo' cadere in errore).
..."e poi si fa Vg=Va+Wx(G-A)" - e scusa, perche fai questo giro di peppe? E' la prima equazione che hai scritto!
E se Va la ricavi da Va=Vb+Wx(A-B) ----> w=-teta primo (segno meno) e la sostituisci qui, hai sempre 2 incognite, Va e Vg.
La soluzione scritta da te e' quella giusta (in linea teorica, i calcoli non li ho controllati al 100%).
Che vuol dire w non vale theta primo?
"in pratica si fa Va=Vb+Wx(A-B) ----> w=-teta primo (segno meno)"
No, in pratica, proprio no. Va e Vb sono entrambe incognite, per cominciare.
Secondo punto l'esercizio NON te le chiede (mai dare piu' risposte di quelle chieste nell'esercizio, si puo' cadere in errore).
..."e poi si fa Vg=Va+Wx(G-A)" - e scusa, perche fai questo giro di peppe? E' la prima equazione che hai scritto!
E se Va la ricavi da Va=Vb+Wx(A-B) ----> w=-teta primo (segno meno) e la sostituisci qui, hai sempre 2 incognite, Va e Vg.
La soluzione scritta da te e' quella giusta (in linea teorica, i calcoli non li ho controllati al 100%).
Se sono sufficienti le componenti, basta derivare il vettore posizione
$u_G = a(\cos \theta, \sin \theta)$ (il punto medio si muove su un arco di circonferenza)
$\dot{u}_G = a \dot{\theta} (-\sin \theta, \cos \theta)$ (i segni possono sembrare strani, ma nel caso di caduta $\dot{\theta} < 0$)
$\ddot{u}_G = a \ddot{\theta} (- \sin \theta, \cos \theta) + a \dot{\theta}^2 ( -\cos \theta, -\sin \theta)$.
Da notare che il primo addendo di $\ddot{u}_G$ è l'accelerazione tangenziale, il secondo quella normale (o centripeta).
Per comodità di orientamento, l'angolo $\theta$ può essere definito come quello formato dal raggio vettore di $u_G$ (coincide con quelli che avete usato, ma si è sicuri che il suo verso positivo è quello antiorario dall'asse $x$ e i due valori $\theta=0$ e $\theta= \pi/2$ corrispondono rispettivamente alle posizioni orizzontale e verticale).
$u_G = a(\cos \theta, \sin \theta)$ (il punto medio si muove su un arco di circonferenza)
$\dot{u}_G = a \dot{\theta} (-\sin \theta, \cos \theta)$ (i segni possono sembrare strani, ma nel caso di caduta $\dot{\theta} < 0$)
$\ddot{u}_G = a \ddot{\theta} (- \sin \theta, \cos \theta) + a \dot{\theta}^2 ( -\cos \theta, -\sin \theta)$.
Da notare che il primo addendo di $\ddot{u}_G$ è l'accelerazione tangenziale, il secondo quella normale (o centripeta).
Per comodità di orientamento, l'angolo $\theta$ può essere definito come quello formato dal raggio vettore di $u_G$ (coincide con quelli che avete usato, ma si è sicuri che il suo verso positivo è quello antiorario dall'asse $x$ e i due valori $\theta=0$ e $\theta= \pi/2$ corrispondono rispettivamente alle posizioni orizzontale e verticale).
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