Fisica II: campo magnetico di due spire
Mi sto scervellando da tutto il pomeriggio su questo problema..
Due spire circolari di raggio R hanno in comune l'asse coincidente con l'asse Z: i centri sono nei punti X=+-d e sono percorse da corrente costante -+ I0 rispettivamente avendo assunto il versore normale k. Bisogna calcolare l'intensità del campo magnetico nel punto del piano Z =0 a distanza a>>R dall'origine. Come dati abbiamo R, I0, d e a.
Stimare la forza di repulsione delle due spire, tenendo conto del fatto che d ≪ R.
Grazie mille a chi risponderà!
Due spire circolari di raggio R hanno in comune l'asse coincidente con l'asse Z: i centri sono nei punti X=+-d e sono percorse da corrente costante -+ I0 rispettivamente avendo assunto il versore normale k. Bisogna calcolare l'intensità del campo magnetico nel punto del piano Z =0 a distanza a>>R dall'origine. Come dati abbiamo R, I0, d e a.
Stimare la forza di repulsione delle due spire, tenendo conto del fatto che d ≪ R.
Grazie mille a chi risponderà!
Risposte
Dal livello di approssimazione suggerito, suppongo tu possa risolvere il problema considerando le spire come dipoli di momento magnetico di modulo $m=\piR^2i_0$ e orientati in verso opposto. Trovi tutte le formule pronte all'uso nella voce dipolo magnetico di wikipedia.
Ciao, e grazie per la risposta. Per quanto riguarda la forza di repulsione, non ho assolutamente problemi. Ho problemi invece per quanto riguarda l'intensità del campo magnetico in z=0, potresti illuminarmi un attimo? 
Non esageriamo: poiché lavoro in ambito energia elettrica, il mio contributo nel far arrivare la corrente sul punto di consumo è anche l'unico mio reale contributo all'illuminazione ...
Comunque considerando il campo di un dipolo (a meno dei coefficienti scalari)
$\mathbf{B}(\mathbf{r-r}') \propto \frac{3 (\mathbf{r-r}')(\mathbf{m} \cdot (\mathbf{r-r}'))}{l^5}- \frac{\mathbf{m}}{l^3}$
dove $l=| \mathbf{r-r}'|=(a^2+d^2)^{1/2} = a (1+\frac{d^2}{a^2})^{1/2} \approx a$, che sul piano $z=0$ è uguale rispetto ai due dipoli: poiché i due dipoli sono opposti, la somma dei contributi dovuti al secondo addendo si annulla sul $z=0$.
Per l'altro addendo, procedendo passo passo (controlla passaggi e argomenti: sono passati molti anni dal mio esame di fisica 2 e non ho molto tempo per ricontrollare ...)
$\mathbf{m}=(0,0,\pm m)$
$\mathbf{r}=(a \cos\theta, a \sin \theta, 0)$
$\mathbf{r}'=(0,0,\pm d)$
$\mathbf{r-r}'=(a \cos\theta, a \sin \theta, -\pm d)$ (è brutto ma ho lasciato in evidenza il $-$)
$\mathbf{m} \cdot (\mathbf{r-r}') = -md$
$\mathbf{B}_{\pm} \propto \frac{-3md}{a^5}(a \cos\theta, a \sin \theta, -\pm d) + ...$ dove $...$ indica i termini che già sappiamo avere contributo totale nullo
e. a meno di errori che possono essere intervenuti, il campo nel punto del piano dovrebbe essere
$\mathbf{B}_{+} + \mathbf{B}_{-} \propto \frac{-6md}{a^4}(\cos\theta, \sin \theta, 0)$
Comunque considerando il campo di un dipolo (a meno dei coefficienti scalari)
$\mathbf{B}(\mathbf{r-r}') \propto \frac{3 (\mathbf{r-r}')(\mathbf{m} \cdot (\mathbf{r-r}'))}{l^5}- \frac{\mathbf{m}}{l^3}$
dove $l=| \mathbf{r-r}'|=(a^2+d^2)^{1/2} = a (1+\frac{d^2}{a^2})^{1/2} \approx a$, che sul piano $z=0$ è uguale rispetto ai due dipoli: poiché i due dipoli sono opposti, la somma dei contributi dovuti al secondo addendo si annulla sul $z=0$.
Per l'altro addendo, procedendo passo passo (controlla passaggi e argomenti: sono passati molti anni dal mio esame di fisica 2 e non ho molto tempo per ricontrollare ...)
$\mathbf{m}=(0,0,\pm m)$
$\mathbf{r}=(a \cos\theta, a \sin \theta, 0)$
$\mathbf{r}'=(0,0,\pm d)$
$\mathbf{r-r}'=(a \cos\theta, a \sin \theta, -\pm d)$ (è brutto ma ho lasciato in evidenza il $-$)
$\mathbf{m} \cdot (\mathbf{r-r}') = -md$
$\mathbf{B}_{\pm} \propto \frac{-3md}{a^5}(a \cos\theta, a \sin \theta, -\pm d) + ...$ dove $...$ indica i termini che già sappiamo avere contributo totale nullo
e. a meno di errori che possono essere intervenuti, il campo nel punto del piano dovrebbe essere
$\mathbf{B}_{+} + \mathbf{B}_{-} \propto \frac{-6md}{a^4}(\cos\theta, \sin \theta, 0)$
Ti ringrazio molto, anche se dici che esagero! Controllerò al più presto se tutto torna, se ci dovessero essere altri problemi lo scrivo!!! Ciao!! 
Ops, ancora problemi. Nel fare il modulo di \(\displaystyle (−6md/a^4)(cosθ,sinθ,0) \), continua a non tornare con i risultati numerici forniti nel compito..cosa ci può essere di sbagliato? Semmai ti lascio i valori, così dai una controllata anche tu:
d=9.05 mm
I=12.4 A
R=80.4 cm
a=7.06 m
Risultati in pT(pico): 0; 27.5; 254; 102; 11.7; 144;
Ricontrollo anche domani..il primo che svela l'arcano faccia sapere
d=9.05 mm
I=12.4 A
R=80.4 cm
a=7.06 m
Risultati in pT(pico): 0; 27.5; 254; 102; 11.7; 144;
Ricontrollo anche domani..il primo che svela l'arcano faccia sapere
In effetti con i valori forniti l'intensità di campo mi risulta 55 pT. Cosa indicano di preciso i valori elencati come risposta?
La domanda è esattamente questa: Calcolare l’intensita` del campo magnetico in un punto del piano \(\displaystyle z = 0 \) a distanza \(\displaystyle a ≫ R \) dall’origine.
Valori numerici: a = 7.06 m.
Il risultato, tra l'altro, è dato in pT, ovvero Tesla* exp-12. A noi non torna nell'ordine di exp-9 ?
Inoltre..il risultato ci torna esattamente il doppio di 27.5. Questo ci è d'aiuto?
Valori numerici: a = 7.06 m.
Il risultato, tra l'altro, è dato in pT, ovvero Tesla* exp-12. A noi non torna nell'ordine di exp-9 ?
Inoltre..il risultato ci torna esattamente il doppio di 27.5. Questo ci è d'aiuto?
L'ordine di grandezza mi sembra tornare, i risultati precedenti sono scritti a meno di un coefficiente scalare $mu_0/{4\pi}$:
$|\mathbf{B}| = \frac{mu_0}{4 \pi}\frac{6 \pi R^2 i_0 d}{a^4} \approx 10^{-7} \frac{6 \cdot 3.1415 \cdot (0,804)^2 \cdot 12,4 \cdot 9,05 \cdot 10^{-3}}{7,06^4} = 55,04 \cdot 10^{-12} T$
Certo è strano che sia esattamente il doppio del risultato richiesto. Potrebbe essere utile conoscere il significato degli altri risultati elencati ...
$|\mathbf{B}| = \frac{mu_0}{4 \pi}\frac{6 \pi R^2 i_0 d}{a^4} \approx 10^{-7} \frac{6 \cdot 3.1415 \cdot (0,804)^2 \cdot 12,4 \cdot 9,05 \cdot 10^{-3}}{7,06^4} = 55,04 \cdot 10^{-12} T$
Certo è strano che sia esattamente il doppio del risultato richiesto. Potrebbe essere utile conoscere il significato degli altri risultati elencati ...
Purtroppo, nessun significato. Vengono elaborati random dal programma che utilizza il professore per stampare i risultati dei compiti tutti diversi tra loro..cosicchè uno all'esame non possa copiare
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