[FISICA I] Problema sull'esplosione

[GP921]

Salve ragazzi
Vorrei capire una cosa su questo esercizio:

"Un punto materiale di massa $M$ è inizialmente in quiete in cima ad un piano inclinato di angolo $α=20°$ , avente altezza $h=1m$. Il punto esplode in due frammenti di massa $m1$ ed $m2=0.5 m1$ rispettivamente. Subito dopo l'esplosione il frammento $m1$ si muove in discesa lungo il piano inclinato con velocità $v1$. Sapendo che il coefficiente di attrito tra il piano e $m1$ è $μ=0.5$, e che $m1$ si ferma esattamente alla base del piano inclinato, determinare la quota massima raggiunta dal frammento $m2$"

Allora io ho ragionato in questo modo. L'esplosione è dovuta a forze interne quindi
$bar (F) =0=(dbar (p)) / dt$
Quindi si conserva la quantità di moto.

$bar (p) = 0$ (iniziale)
$bar(p)=m1bar(v1)+m2bar(v2)$ (finale, dove v1 e v2 sono le velocità dei due frammenti dopo l'esplosione)

$bar(v1)=-(m2)/(m1)bar(v2)$

Ora osservo la massa m1 dopo l'esplosione dato che procede lungo il piano inclinato. Oriento un sistema $xy$ con un asse lungo il piano inclinato e l'altro ortogonale al piano inclinato.

Sul frammento $m1$ agisce: $m1bar(g)+bar(R)+bar(A)=m1bar(a1)$ dove $bar(R)$ è la reazione del piano inclinato e $bar(A)$ è l'attrito dinamico. Passo a osservare le componenti prima lungo l'asse orientato come il piano inclinato e poi lungo l'altro.

$x )$ $-μR + m1gsin(α)=m1a1$
$y )$ $R-m1gcos(α)=0$

E da ciò ottengo:
$a1=-μ1gcos(α)+gsin(α)$
e quindi:
$v1(t)=(-μ1gcos(α)+gsin(α))t$

Però vedendo le soluzioni, la velocità del frammento $m1$ gli viene costante(nelle soluzioni calcola il lavoro dell'attrito e della forza peso e lo pone uguale alla differenza dell'energia cinetica). Perchè a me non viene costante? Dove sbaglio?

Poi un piccolissimo altro dubbio. Nel punto di massima altezza raggiunto da $m2$, se considero un sistema cartesiano $x'y'$ orientato classicamente(asse x come la base del piano inclinato e asse y verticale), sarà nulla solo la componente di $v2$ lungo l'asse y giusto? Oppure anche lungo x la componente di $v2$ è uguale a 0?

Grazie!

[smaug1]

Solo una domanda sciocca, ma la massa m2 compie una traiettoria parabolica oppure rettilinea perpendicolare al piano inclinato? credo che il tuo modo di trovare la velocità della massa 1 sia errato poichè non consideri il fatto che dopo aver percorso $x = \sin \20°$ si ferma

[GP921]

Dalla relazione vettoriale del momento della quantità di moto la velocità della massa m2 è opposta a quella m1 e poichè il corpo intero si trova alla sommità del piano inclinato penso che la massa m2 parta con velocità opposta a m1 e poi è soggetta solo alla forza peso conducendo quindi un moto parabolico

[smaug1]

quindi dici che l'esplosione va considerata una sorta di urto completamente anelastico centrale al contrario?

Comunque devi usare il teorema del lavoro e dell'energia cinetica poichè devi sfruttare la circostanza che dopo aver percorso il piano la massa 1 si ferma! Quindi $mg\sin\theta \int_o^0.34 dx - \mumg\cos\theta\int_0^0.34 dx = - 1/2mv_1^2$ quindi mi viene $v_1 = (2\m\ u\ g\cos20°\sin20° - g\ \sin^2(20°))^(1/2)$

Quindi siccome si conserva la quantità di moto sappiamo che prima dell'esplosione tutto è fermo poi invece no, quindi $m_1\vec v_1 = - m_2\vec v_2 -> vec v_2 = - m_1/m_2 \vec v_1 -> v_2 =-2 v_1 $

[GP921]

E' si infatti la soluzione usa il teorema del lavoro e dell'energia cinetica, ma vorrei capire perchè e dove sbaglia il mio ragionamento xD (anche perchè sinceramente non mi sarebbe venuta immediatamente l'idea di usare il teorema del lavoro e dell'energia cinetica proprio perchè c'era l'attrito xD)

[smaug1]

"GP92":E' si infatti la soluzione usa il teorema del lavoro e dell'energia cinetica, ma vorrei capire perchè e dove sbaglia il mio ragionamento xD (anche perchè sinceramente non mi sarebbe venuta immediatamente l'idea di usare il teorema del lavoro e dell'energia cinetica proprio perchè c'era l'attrito xD)

Siccome hai letto che c'è attrito ti sei confuso? Mica hai usato al conservazione dell'energia meccanica!

Il teorema del lavoro e dell'energia cinetica dice che il lavoro compiuto da QUALSIASI forza nel far passare un punto materiale da una posizione ad un'altra della traiettoria è pari alla variazione dell'energia cinetica del punto posseduta in tali punti!

comunque se la seconda massa parte con quella direzione con velocità costante possiamo dire che $v_{2y} = v_2\sin 20° - (g) t$ la quale nel punto più alto deve annullarsi, quindi ponendola uguale a zero trovi il tempo in cui la massa si trova nel punto più alto $t = ( v_2 \sin20° ) / g$ e sai che vale $y = h + v_2 \sin20°t - 1/2 (g\) t^2$ metti il tempo qui dentro e ti viene

$y = h + \tan 20° x - 1/2 g / (v_2\cos20°)^2 x^2$

ricordando che $|v_2| = 2 |v_1|$

potresti fare questi calcoli e dirmi se viene?

[smaug1]

Scusami ora da l'ultima equazione che ti ho scritto, quella della parabola, dovresti trovarti il punto di caduta della massa 2, ponendo essa uguale a zero, e dividendo a metà la x di caduta, ed inserendola nella parabola dovresti trovare il punto massimo! aspetta che qualcuno confermi!!! perchè credo di aver fatto confusione!

[smaug1]

No allora ci sei che per la massa 2 $v_y = v_2\sin20°- (g)t$ ? questa nel punto più alto è nulla al tempo $t = (v_2sin20°) / g$

Questo tempo lo inserisci nella legge oraria verticale $y = h + v_2\sin20°t - 1/2g\ t^2$ e a me viene $y = 1,2835\ m$

fammi sapere se viene così il risultato!

[GP921]

Sisi il risultato è quello ma ancora non ho trovato risposta alla mia domanda xD

Dove sbaglio nel ragionamento che faccio sulla dinamica di m1? :S

[smaug1]

secondo me non usando il teorema del lavoro e dell'energia cinetica non puoi considerare la circostanza che la massa m1 avrà una velocità tale che con quell'attrito, arriverà in fondo al piano con velocità nulla!