Fisica I - Piano inclinato con molla
Un corpo A di massa $m$ poggia sulla sommità di un piano inclinato B di un angolo $\alpha$ che può scorrere su un piano orizzontale. Il lato del blocco B di altezza $h$ è a contatto con un gradino N. Al''estremità inferiore del piano inclinato è fissata una molla di costante elastica $k$ e lunghezza a riposo $l_0$. Si eliminano i vincoli che tengono fermo A ed esso scivola lungo il piano. L'attrito tra A e B è trascurabile. Si calcoli:
1) il valore minimo del coefficiente di attrito statico tra il blocco B e il piano orizzontale affinché B rimanga fermo.
2) la compressione $\delta_(max)$ della molla e, corrispondentemente, l'impulso $J$ trasmesso da B al gradino N nel caso in cui tutti gli attriti siano trascurabili.
Ho già risolto il punto 1) e mi resta il 2).
Sicuramente non posso utilizzare la conservazione della quantità di moto (agisce una forza esterna impulsiva) e perciò dovrò usare la conservazione dell'energia (o è zuppa o è pan bagnato). Tutte le forze che agiscono nel sistema sono conservative (abbiamo detto che ogni attrito è trascurabile) e allora l'energia meccanica totale si conserva.
Perciò, da quando A tocca la molla, in un punto generico dovrebbe valere
$mgh = mg(l_0 - \delta)sen\alpha + 1/2mv^2 +1/2MV^2 + 1/2k\delta^2$
con $ v = V + v'$
$v$ è calcolata rispetto al S.R. inerziale (S.R.I) a terra, $v'$ è la velocità di A relativa a B e $V$ è la velocità di B misurata nel S.R.I.
Quando $\delta = \delta_(max) $ allora $v' = 0$ e quindi $v = V$.
La domanda è: come faccio a ricavarmi la velocità $V$? Devo risolvere la seguente equazione differenziale?
$kxcos\alpha -mgcos\alphasen\alpha = MA $
con $A = \ddot x$
Ed infine: come faccio a determinare l'impulso ? A quale variazione di quantità di moto corrisponde? L'urto avviene tra A e la molla e B acquista una velocità diretta concorde all'asse x, come può il gradino esercitare un impulso su B ?
L'unica cosa che mi viene in mente è questa: mentre scende il corpo A acquista velocità (avrà una componente $v_y$ e una $v_x$. Il corpo B, di conseguenza, dovrebbe assumere una velocità lungo X di verso opposto alla componente $v_x$, ma il gradino si oppone a tale variazione di velocità con una forza. Però non mi pare di tipo impulsivo. Come va risolto ?
1) il valore minimo del coefficiente di attrito statico tra il blocco B e il piano orizzontale affinché B rimanga fermo.
2) la compressione $\delta_(max)$ della molla e, corrispondentemente, l'impulso $J$ trasmesso da B al gradino N nel caso in cui tutti gli attriti siano trascurabili.
Ho già risolto il punto 1) e mi resta il 2).
Sicuramente non posso utilizzare la conservazione della quantità di moto (agisce una forza esterna impulsiva) e perciò dovrò usare la conservazione dell'energia (o è zuppa o è pan bagnato). Tutte le forze che agiscono nel sistema sono conservative (abbiamo detto che ogni attrito è trascurabile) e allora l'energia meccanica totale si conserva.
Perciò, da quando A tocca la molla, in un punto generico dovrebbe valere
$mgh = mg(l_0 - \delta)sen\alpha + 1/2mv^2 +1/2MV^2 + 1/2k\delta^2$
con $ v = V + v'$
$v$ è calcolata rispetto al S.R. inerziale (S.R.I) a terra, $v'$ è la velocità di A relativa a B e $V$ è la velocità di B misurata nel S.R.I.
Quando $\delta = \delta_(max) $ allora $v' = 0$ e quindi $v = V$.
La domanda è: come faccio a ricavarmi la velocità $V$? Devo risolvere la seguente equazione differenziale?
$kxcos\alpha -mgcos\alphasen\alpha = MA $
con $A = \ddot x$
Ed infine: come faccio a determinare l'impulso ? A quale variazione di quantità di moto corrisponde? L'urto avviene tra A e la molla e B acquista una velocità diretta concorde all'asse x, come può il gradino esercitare un impulso su B ?
L'unica cosa che mi viene in mente è questa: mentre scende il corpo A acquista velocità (avrà una componente $v_y$ e una $v_x$. Il corpo B, di conseguenza, dovrebbe assumere una velocità lungo X di verso opposto alla componente $v_x$, ma il gradino si oppone a tale variazione di velocità con una forza. Però non mi pare di tipo impulsivo. Come va risolto ?
Risposte
"fender97":
Sicuramente non posso utilizzare la conservazione della quantità di moto (agisce una forza esterna impulsiva)
A me pare di no: è durante la discesa che il piano inclinato è spinto contro il gradino, non quando A urta la molla.
Direi che puoi utilizzare la conservazione della quantità di moto in orizzontale: tutta quella acquistata da A è compensata da quella trasmessa al gradino.
Non mi convince il fatto che tale forza sia applicata per un intervallo di tempo piuttosto lungo (ovvero tutto il tempo che impiega A a raggiungere la molla). Se penso ad una forza impulsiva la immagino applicata in un $\Deltat$ molto piccolo.
Se fosse come dici tu non avrei (e difatti non ho) conservazione di quantità di moto, altrimenti B si muoverebbe in direzione opposta all'asse X.
L'impulso sarebbe uguale, istante per istante, alla quantità di moto di B, è questo che intendi ? In tal caso sarebbe un impulso variabile nel tempo
Mi confonde molto tutto ciò, Di sicuro le 1:06 del sabato sera non sono l'orario migliore per pensarci. Speriamo che domani qualcuno si esprima
Se fosse come dici tu non avrei (e difatti non ho) conservazione di quantità di moto, altrimenti B si muoverebbe in direzione opposta all'asse X.
L'impulso sarebbe uguale, istante per istante, alla quantità di moto di B, è questo che intendi ? In tal caso sarebbe un impulso variabile nel tempo
Mi confonde molto tutto ciò, Di sicuro le 1:06 del sabato sera non sono l'orario migliore per pensarci. Speriamo che domani qualcuno si esprima
Poiché il gradino cessa di esercitare una forza orizzontale sul piano inclinato B quando:
$[mgcos\alphasin\alpha-k\Deltaxcos\alpha=0] rarr [\Deltax=(mgsin\alpha)/k]$
l'impulso che trasmette nell'intervallo di tempo compreso tra l'inizio della discesa e l'istante di cui sopra è uguale alla componente orizzontale della quantità di moto del corpo A nel medesimo istante. Inoltre, conservando l'energia meccanica si può determinare la velocità del corpo A lungo il piano inclinato:
$[mgh=1/2mv^2+mg(l_0-\Deltax)sin\alpha+1/2k\Deltax^2]$
L'impulso $J$ richiesto dalla consegna ha verso opposto.
$[mgcos\alphasin\alpha-k\Deltaxcos\alpha=0] rarr [\Deltax=(mgsin\alpha)/k]$
l'impulso che trasmette nell'intervallo di tempo compreso tra l'inizio della discesa e l'istante di cui sopra è uguale alla componente orizzontale della quantità di moto del corpo A nel medesimo istante. Inoltre, conservando l'energia meccanica si può determinare la velocità del corpo A lungo il piano inclinato:
$[mgh=1/2mv^2+mg(l_0-\Deltax)sin\alpha+1/2k\Deltax^2]$
L'impulso $J$ richiesto dalla consegna ha verso opposto.
Non credo di avere capito bene 
In pratica l'impulso del gradino è uguale alla variazione della componente orizzontale quantità di moto di A ?
Se valesse la conservazione della q. di moto lungo l'orizzontale allora
$mv_x(t) - MV(t) = 0$
ma il gradino genera un impulso $J$ tale che $J = 0 -(-MV(t)) = mv_x(t)$. Il punto è che $v_x(t)$ è variabile nel tempo, perché su A agisce la forza $mgsin\alpha$, ma comunque avresti ragione.
Allora qual è il valore di $v_x$ giusto?
Suppongo sia da considerare il valore $v_x(t_1)$ nell'istante $t_1$ in cui la compressione della molla è massima, ovvero $\delta = \delta_(max)$.
Il valore che proponi tu, ovvero
$\delta = (mgsin\alpha)/k$
sarebbe proprio il $\delta_(max)$ che sto cercando ?
Ora lo inserirei nell'equazione di conservazione dell'energia e troverei il valore di $v(t_1)$
$v_x(t_1) = v(t_1)cos\alpha$
$J = mv_x(t_1)$
Se così fosse avrei risolto il problema (anche se poi il valore di $\delta_(max)$ fornito dall'eserciziario è totalmente diverso, ma non ci faccio troppo affidamento). Il valore di $J$ invece mi corrisponderebbe abbastanza, devo provare a svolgere tutti i calcoli.
In pratica l'impulso del gradino è uguale alla variazione della componente orizzontale quantità di moto di A ? Se valesse la conservazione della q. di moto lungo l'orizzontale allora
$mv_x(t) - MV(t) = 0$
ma il gradino genera un impulso $J$ tale che $J = 0 -(-MV(t)) = mv_x(t)$. Il punto è che $v_x(t)$ è variabile nel tempo, perché su A agisce la forza $mgsin\alpha$, ma comunque avresti ragione.
Allora qual è il valore di $v_x$ giusto?
Suppongo sia da considerare il valore $v_x(t_1)$ nell'istante $t_1$ in cui la compressione della molla è massima, ovvero $\delta = \delta_(max)$.
Il valore che proponi tu, ovvero
$\delta = (mgsin\alpha)/k$
sarebbe proprio il $\delta_(max)$ che sto cercando ?
Ora lo inserirei nell'equazione di conservazione dell'energia e troverei il valore di $v(t_1)$
$v_x(t_1) = v(t_1)cos\alpha$
$J = mv_x(t_1)$
Se così fosse avrei risolto il problema (anche se poi il valore di $\delta_(max)$ fornito dall'eserciziario è totalmente diverso, ma non ci faccio troppo affidamento). Il valore di $J$ invece mi corrisponderebbe abbastanza, devo provare a svolgere tutti i calcoli.
Dovresti dividere l'esercizio in due parti. Nel mio messaggio precedente determini l'impulso trasmesso dal gradino. Dall'istante in cui il piano inclinato inizia a muoversi verso destra, risolvi conservando la quantità di moto lungo la direzione orizzontale e l'energia meccanica. Solo nel corso della seconda parte determini $\Deltax_(max)$.
Credo di aver capito, ti ringrazio molto Più tardi aggiorno
Più tardi aggiorno
Il valore dell'impulso torna
Non mi è perfettamente chiaro perché si parli di impulso in senso generico, come se esistesse solo un valore. L'impulso è variabile nel tempo ed è uguale alla quantità di moto di A istante per istante. Comunque, se lo si valuta per la condizione
$ \delta = (mgsin\alpha)/k $ allora il valore torna. Riusciresti a chiarire questa parte?
Dopo che B si è staccato dal gradino la quantità di moto lungo l'asse x vale
$MV'(t) + mv_x'(t) = mv_x(t_1) $
io devo calcolare la quantità di moto nell'istante di massima compressione della molla, ovvero l'istante per cui vale $v_x' = V'$ ossia quando A è fermo rispetto a B.
$V' = v_x(t_1) m /(M+m)$
Ed ora posso risolvere l'equazione di conservazione dell'energia, sostituendo $V'$
$mgh = 1/2(M+m) V'^2 + mg(l_0-\delta_(max)) sin\alpha + 1/2k\delta_(max)^2$
coretto?
Non mi è perfettamente chiaro perché si parli di impulso in senso generico, come se esistesse solo un valore. L'impulso è variabile nel tempo ed è uguale alla quantità di moto di A istante per istante. Comunque, se lo si valuta per la condizione
$ \delta = (mgsin\alpha)/k $ allora il valore torna. Riusciresti a chiarire questa parte?
Dopo che B si è staccato dal gradino la quantità di moto lungo l'asse x vale
$MV'(t) + mv_x'(t) = mv_x(t_1) $
io devo calcolare la quantità di moto nell'istante di massima compressione della molla, ovvero l'istante per cui vale $v_x' = V'$ ossia quando A è fermo rispetto a B.
$V' = v_x(t_1) m /(M+m)$
Ed ora posso risolvere l'equazione di conservazione dell'energia, sostituendo $V'$
$mgh = 1/2(M+m) V'^2 + mg(l_0-\delta_(max)) sin\alpha + 1/2k\delta_(max)^2$
coretto?
"fender97":
L'impulso è variabile nel tempo ed è uguale alla quantità di moto di A istante per istante.
Perfetto, a patto di considerarne la sola componente orizzontale.
"fender97":
Comunque, se lo si valuta per la condizione $\delta=(mgsin\alpha)/k$ allora il valore torna.
Il problema chiede di determinare l'impulso trasmesso dal gradino nel corso dell'intera evoluzione temporale, dall'istante in cui il corpo A inizia a scendere fino all'istante in cui la compressione della molla è massima. Tuttavia, la forza responsabile del suddetto impulso, ossia, l'interazione tra il gradino e il piano inclinato B, è nulla dall'istante in cui quest'ultimo inizia a muoversi verso destra. Proprio per questo è necessario dividere il problema in due parti, determinando la velocità del corpo A nel suddetto istante e, di conseguenza, l'impulso massimo trasmesso.
"fender97":
... corretto?
Se $t_1$ è l'istante in cui il piano inclinato B inizia a muoversi verso destra, direi proprio di sì.
Si, intendo la componente orizzontale. Favoloso, allora ho capito.
Tu parli di impulso massimo, ma secondo me è più corretto parlare di impulso nel caso limite. Proprio perché
$J = mv_x(t)$ esso è massimo dove è massimo $v_x(t)$, ovvero nell'istante in cui A tocca la molla. Quando si ha una compressione l'impulso diminuisce di intensità, poiché diminuisce $v_x(t)$.
Spero che questo sia il mio ultimo problema di fisica I. Venerdì ho l'esame (per la terza volta) e questa settimana la trascorro a ripassare la teoria. Grazie per l'aiuto
Tu parli di impulso massimo, ma secondo me è più corretto parlare di impulso nel caso limite. Proprio perché
$J = mv_x(t)$ esso è massimo dove è massimo $v_x(t)$, ovvero nell'istante in cui A tocca la molla. Quando si ha una compressione l'impulso diminuisce di intensità, poiché diminuisce $v_x(t)$.
Spero che questo sia il mio ultimo problema di fisica I. Venerdì ho l'esame (per la terza volta) e questa settimana la trascorro a ripassare la teoria. Grazie per l'aiuto
Veramente, la componente orizzontale della quantità di moto del corpo A continua a crescere anche nell'intervallo temporale relativo alla prima parte in cui la molla si comprime. Non vorrei stessi dimenticando la componente orizzontale della reazione vincolare esercitata dal piano inclinato B:
$[\Deltax lt (mgsin\alpha)/k] rarr [mgcos\alphasin\alpha gt k\Deltaxcos\alpha]$
In bocca al lupo!
$[\Deltax lt (mgsin\alpha)/k] rarr [mgcos\alphasin\alpha gt k\Deltaxcos\alpha]$
"fender97":
Venerdì ho l'esame ...
In bocca al lupo!
Verissimo, hai ragione !
Quindi per ogni $\Deltax < (mgsin\alpha)/k$ la componente x dell'accelerazione di A è positiva quindi la sua velocità aumenta.
Ti ringrazio e crepi il lupo
Quindi per ogni $\Deltax < (mgsin\alpha)/k$ la componente x dell'accelerazione di A è positiva quindi la sua velocità aumenta.
Ti ringrazio e crepi il lupo
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