Fisica I: esercizio sul pendolo
Ciao e buona domenica a tutti ,
ho un po' di dubbi con questo esercizio, spero che qualcuno possa aiutarmi a chiarirli:
TESTO
Un pendolo è formato da una sferetta di massa $M=400 g$ attaccata ad un filo lungo $l=1,6 m$
Una massa $m=200g$ poggia in quiete su una superficie priva di attrito
Il pendolo viene fatto partire da fermo con il filo inclinato che forma un angolo di $a=50$ con la verticale.
Una volta che il pendolo viene lasciato libero di muoversi, la sferetta compie un urto completamente anelastico nel punto più basso della sua traiettoria con la massa m
Si determini:
a)velocità della sferetta prima dell'urto
b) energia meccanica persa dal pendolo a seguito dell'urto
c) $h_(max)$ raggiunta dal pendolo dopo l'urto
SVOLGIMENTO
a) per determinare la velocità ho pensato di applicare la conservazione dell'energia meccanica (in quanto prima dell'urto il sistema è isolato e agiscono solo forze interne conservative: la forza peso, la forza centripeta, la tensione del filo
Cioè: $Mv^2/2=Mgl(cos(a) -1)$
però:
- $((cos(a) -1)=o,64-1$ cioè una quantità negativa! poi dovrei fare la radice ed ovviamente è impossibile
- ho preso come Altezza prima dell'urto quella coincidente con il punto più basso, cioè dove dovrebbe avvenire l'urto.... non sono convinto che questa sia una scelta esatta!
b) per trovare l'energia meccanica persa mi trovo E_(iniziale) di M e m, E_(finale) di M e m
e poi calcolo $\Delta E=$E_(finale) - E_(iniziale)=$(M+m)v_f ^2/2 - Mv^2/2$
però non conosco $v_f$! come si fa a trovarla? cmq non posso applicare la conservazione della quantità di moto in quanto la sferetta è vincolata a muoversi lungo una traiettoria dal filo cui è collegata, no?
c) per trovare $h_(max)$ volevo applicare la conservazione dell'energia(dopo che l'urto è avvenuto), però si pone il problema di come scelgo l'istante iniziale e finale?
come istante iniziale pensavo H=l, però si pone lo stesso problema del punto a) !
Grazie in anticipo a chi mi risponderà
ho un po' di dubbi con questo esercizio, spero che qualcuno possa aiutarmi a chiarirli:
TESTO
Un pendolo è formato da una sferetta di massa $M=400 g$ attaccata ad un filo lungo $l=1,6 m$
Una massa $m=200g$ poggia in quiete su una superficie priva di attrito
Il pendolo viene fatto partire da fermo con il filo inclinato che forma un angolo di $a=50$ con la verticale.
Una volta che il pendolo viene lasciato libero di muoversi, la sferetta compie un urto completamente anelastico nel punto più basso della sua traiettoria con la massa m
Si determini:
a)velocità della sferetta prima dell'urto
b) energia meccanica persa dal pendolo a seguito dell'urto
c) $h_(max)$ raggiunta dal pendolo dopo l'urto
SVOLGIMENTO
a) per determinare la velocità ho pensato di applicare la conservazione dell'energia meccanica (in quanto prima dell'urto il sistema è isolato e agiscono solo forze interne conservative: la forza peso, la forza centripeta, la tensione del filo
Cioè: $Mv^2/2=Mgl(cos(a) -1)$
però:
- $((cos(a) -1)=o,64-1$ cioè una quantità negativa! poi dovrei fare la radice ed ovviamente è impossibile
- ho preso come Altezza prima dell'urto quella coincidente con il punto più basso, cioè dove dovrebbe avvenire l'urto.... non sono convinto che questa sia una scelta esatta!
b) per trovare l'energia meccanica persa mi trovo E_(iniziale) di M e m, E_(finale) di M e m
e poi calcolo $\Delta E=$E_(finale) - E_(iniziale)=$(M+m)v_f ^2/2 - Mv^2/2$
però non conosco $v_f$! come si fa a trovarla? cmq non posso applicare la conservazione della quantità di moto in quanto la sferetta è vincolata a muoversi lungo una traiettoria dal filo cui è collegata, no?
c) per trovare $h_(max)$ volevo applicare la conservazione dell'energia(dopo che l'urto è avvenuto), però si pone il problema di come scelgo l'istante iniziale e finale?
come istante iniziale pensavo H=l, però si pone lo stesso problema del punto a) !
Grazie in anticipo a chi mi risponderà
Risposte
Mi sembra che si potrebbe ragionare così....
a) Preso il livello del punto più basso della traiettoria come riferimento, l'energia potenziale alla partenza è $U_i=Mgl(1-cos alpha)$. Questa nella discesa si trasforma in energia cinetica. Nel punto più basso, subito prima dell'urto, l'energia potenziale è $=0$ e quindi si può scrivere che $1/2Mv^2=Mgl(1-cos alpha)$. Da questa equazione si può calcolare la velocità della sferetta:
$v^2=2gl(1-cos alpha)->v=sqrt(2gl(1-cos alpha))=sqrt(2*9.8*1.6*(1-cos 50°))~=3.35 \ m*s^-1$.
b) Nell'urto completamente anelastico con la massa $m$ si conserva la quantità di moto e dopo l'urto le due masse si muovono insieme. La loro velocità comune $v'$ si può calcolare dall'equazione
$Mv=(M+m)v'->v'=M/(M+m)v$.
Allora l'energia cinetica delle due masse subito dopo l'urto è
$E_c'=1/2(M+m)v'^2=1/2(M+m)(M/(M+m)v)^2=1/2M^2/(M+m)v^2=M^2/(M+m)gl(1-cos alpha)$
e la perdita di energia è
$Delta E=E_c'-U_i=M^2/(M+m)gl(1-cos alpha)-Mgl(1-cos alpha)=Mgl(1-cos alpha)(M/(M+m)-1)=$
$-(Mm)/(M+m)gl(1-cos alpha)$.
Poiché $m=1/2M$ si ha
$Delta E=-1/3Mgl(1-cos alpha)~=-0.75 \ J$.
c) L'energia cinetica delle due masse subito dopo l'urto si trasforma in energia potenziale gravitazionale $U_(f)$:
$E_c'=U_(f)->M^2/(M+m)gl(1-cos alpha)=(M+m)gh_(Max)->$
$h_(Max)=M^2/(M+m)^2l(1-cos alpha)=4/9l(1-cos alpha)~=0.25 \ m$
che è i $4/9$ dell'altezza iniziale.
a) Preso il livello del punto più basso della traiettoria come riferimento, l'energia potenziale alla partenza è $U_i=Mgl(1-cos alpha)$. Questa nella discesa si trasforma in energia cinetica. Nel punto più basso, subito prima dell'urto, l'energia potenziale è $=0$ e quindi si può scrivere che $1/2Mv^2=Mgl(1-cos alpha)$. Da questa equazione si può calcolare la velocità della sferetta:
$v^2=2gl(1-cos alpha)->v=sqrt(2gl(1-cos alpha))=sqrt(2*9.8*1.6*(1-cos 50°))~=3.35 \ m*s^-1$.
b) Nell'urto completamente anelastico con la massa $m$ si conserva la quantità di moto e dopo l'urto le due masse si muovono insieme. La loro velocità comune $v'$ si può calcolare dall'equazione
$Mv=(M+m)v'->v'=M/(M+m)v$.
Allora l'energia cinetica delle due masse subito dopo l'urto è
$E_c'=1/2(M+m)v'^2=1/2(M+m)(M/(M+m)v)^2=1/2M^2/(M+m)v^2=M^2/(M+m)gl(1-cos alpha)$
e la perdita di energia è
$Delta E=E_c'-U_i=M^2/(M+m)gl(1-cos alpha)-Mgl(1-cos alpha)=Mgl(1-cos alpha)(M/(M+m)-1)=$
$-(Mm)/(M+m)gl(1-cos alpha)$.
Poiché $m=1/2M$ si ha
$Delta E=-1/3Mgl(1-cos alpha)~=-0.75 \ J$.
c) L'energia cinetica delle due masse subito dopo l'urto si trasforma in energia potenziale gravitazionale $U_(f)$:
$E_c'=U_(f)->M^2/(M+m)gl(1-cos alpha)=(M+m)gh_(Max)->$
$h_(Max)=M^2/(M+m)^2l(1-cos alpha)=4/9l(1-cos alpha)~=0.25 \ m$
che è i $4/9$ dell'altezza iniziale.
intanto ringrazio entrambi per le risposte perchè mi avete chiarito la maggior parte dei miei dubbi 
Comunque, non credo che la quantità di moto si conservi:
l'urto avviene fra un corpo libero e uno vincolato a muoversi dal filo (cioè a ruotare)
Ergo, posso applicare la conservazione del momento angolare (per trovare la velocità dopo l'urto)? che ne pensate?
Poi volevo chiedervi un altra cosa:
il prof quando calcola $\Delta E$, $\Delta U$, $ \Delta K$ (k=energia cinetica, U=energia potenziale)
a volte usa la formula $\Delta E$= E_finale - E_iniziale
altre volte $\DeltaE$=E_iniziale - E_finale
Ovviamente tra le due espressioni ce una differenza enorme, in quanto cambia il segno.
Secondo voi come posso capire quando è il caso di usare la prima e quando devo usare la seconda?
Vi ringrazio nuovamente
Comunque, non credo che la quantità di moto si conservi:
l'urto avviene fra un corpo libero e uno vincolato a muoversi dal filo (cioè a ruotare)
Ergo, posso applicare la conservazione del momento angolare (per trovare la velocità dopo l'urto)? che ne pensate?
Poi volevo chiedervi un altra cosa:
il prof quando calcola $\Delta E$, $\Delta U$, $ \Delta K$ (k=energia cinetica, U=energia potenziale)
a volte usa la formula $\Delta E$= E_finale - E_iniziale
altre volte $\DeltaE$=E_iniziale - E_finale
Ovviamente tra le due espressioni ce una differenza enorme, in quanto cambia il segno.
Secondo voi come posso capire quando è il caso di usare la prima e quando devo usare la seconda?
Vi ringrazio nuovamente
In un urto la quantità di moto totale del sistema viene conservata in tutti i casi meno uno, ovvero quando le forze esterne sono di tipo impulsivo.
ok, però " se uno dei due corpi è vincolato, le reazioni vincolari assumono spesso carattere impulsivo e la conservazione della quantità di moto non è generalmente assicurata " (citando da pagina 310 di "Fisica generale" di S.Focardi, Massa,Uguzzoni)
Per quanto riguarda il mio dubbio su $\Delta E$ puoi aiutarmi?
Per quanto riguarda il mio dubbio su $\Delta E$ puoi aiutarmi?
Si, quello che cercavo di sottolineare è che risulta necessario determinare il carattere delle forze esterne.
Per il momento angolare vale lo stesso ragionamento (questo viene conservato a patto che le eventuali forze esterne non siano di tipo impulsivo).
Veniamo al tuo dubbio; la variazione di una grandezza \(G\) è definita come \(\Delta G=G_{f}-G_{i}\). Ad esempio il lavoro compiuto da una forza conservativa è
\[W=\Delta E_{k}=E_{kf}-E_{ki}\]
ma è anche uguale a
\[W=-\Delta E_{p}=-(E_{pf}-E_{pi})\]
Come vedi la variazione è sempre definita in tal modo.
Per il momento angolare vale lo stesso ragionamento (questo viene conservato a patto che le eventuali forze esterne non siano di tipo impulsivo).
Veniamo al tuo dubbio; la variazione di una grandezza \(G\) è definita come \(\Delta G=G_{f}-G_{i}\). Ad esempio il lavoro compiuto da una forza conservativa è
\[W=\Delta E_{k}=E_{kf}-E_{ki}\]
ma è anche uguale a
\[W=-\Delta E_{p}=-(E_{pf}-E_{pi})\]
Come vedi la variazione è sempre definita in tal modo.
Perfetto, adesso è tutto chiaro
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo