[Fisica Generale - Problema di Meccanica] Urto anelastico tra un punto materiale e un disco
Ciao a tutti, ho un problemino a risolvere questo esercizio
Il disco è omogeneo di massa M, libero di ruotare senza attrito attorno a un asse che passa per O e all'istante iniziale è fermo.
Il punto materiale ha massa m e cade da una distanza R (pari al raggio del disco). Dopo l'urto il punto materiale rimane attaccato al disco.
mi viene chiesto:
1) velocità del punto materiale subito dopo l'urto
2) variazione di entropia dell'universo dopo un tempo molto lungo dall'istante iniziale, supponendo la temperatura iniziale pari a T0
3)In seguito, a un certo istante, quando il punto materiale si trova in C si stacca dal disco e mi chiede di determinare la velocità del punto dopo il distacco.
1) calcolo la velocità di caduta dalla formula $\vec v_(caduta)=sqrt(2gR)$ o sapendo che si conserva l'energia meccanica $mgR=1/2mv^2$
dato che i due corpi rimangono attaccati, l'urto è anelastico e quindi si conserva la quantità di moto
$q_(prima)=m*sqrt(2gR)=q_(dopo) = (m+M)*\vec v_(centro di massa)$ e quindi $\vec v_(CM)=(m*sqrt(2gR))/(m+M)$
e infine la velocità angolare $\omega= \vec v/R = (m*sqrt(2gR))/(R(m+M))$
questa è quindi anche la velocità del punto? o devo fare qualche altro passaggio?
3) ho calcolato l'energia meccanica del sistema dopo che urtano
$mg+Mg+T_(disco)+T_(punt)=(m+M)g+3/4MR^2\omega_i ^2+1/8mR^2\omega_i ^2$
dopo come devo procedere? ho pensato che magari girando la massa acquisisce energia cinetica diminuendo energia potenziale e quindi la velocità angolare iniziale non è uguale a quella finale e quindi calcolando l'energia meccanica otterrei
$3/4MR^2\omega_f ^2+1/8mR^2\omega_f ^2$
uguagliando le energie meccaniche otterrei $omega_f = sqrt(((m+M)g+3/4MR^2\omega_i ^2+1/8mR^2\omega_i ^2)/(3/4MR^2\omega_f ^2+1/8mR^2))$ e di conseguenza dalla formula $\vec v = \omega * R rarr \vec v_f=R*sqrt(((m+M)g+3/4MR^2\omega_i ^2+1/8mR^2\omega_i ^2)/(3/4MR^2\omega_f ^2+1/8mR^2))$
è corretto? e il secondo punto, come si calcola in un esercizio così l'entropia?
Il disco è omogeneo di massa M, libero di ruotare senza attrito attorno a un asse che passa per O e all'istante iniziale è fermo.
Il punto materiale ha massa m e cade da una distanza R (pari al raggio del disco). Dopo l'urto il punto materiale rimane attaccato al disco.
mi viene chiesto:
1) velocità del punto materiale subito dopo l'urto
2) variazione di entropia dell'universo dopo un tempo molto lungo dall'istante iniziale, supponendo la temperatura iniziale pari a T0
3)In seguito, a un certo istante, quando il punto materiale si trova in C si stacca dal disco e mi chiede di determinare la velocità del punto dopo il distacco.
1) calcolo la velocità di caduta dalla formula $\vec v_(caduta)=sqrt(2gR)$ o sapendo che si conserva l'energia meccanica $mgR=1/2mv^2$
dato che i due corpi rimangono attaccati, l'urto è anelastico e quindi si conserva la quantità di moto
$q_(prima)=m*sqrt(2gR)=q_(dopo) = (m+M)*\vec v_(centro di massa)$ e quindi $\vec v_(CM)=(m*sqrt(2gR))/(m+M)$
e infine la velocità angolare $\omega= \vec v/R = (m*sqrt(2gR))/(R(m+M))$
questa è quindi anche la velocità del punto? o devo fare qualche altro passaggio?
3) ho calcolato l'energia meccanica del sistema dopo che urtano
$mg+Mg+T_(disco)+T_(punt)=(m+M)g+3/4MR^2\omega_i ^2+1/8mR^2\omega_i ^2$
dopo come devo procedere? ho pensato che magari girando la massa acquisisce energia cinetica diminuendo energia potenziale e quindi la velocità angolare iniziale non è uguale a quella finale e quindi calcolando l'energia meccanica otterrei
$3/4MR^2\omega_f ^2+1/8mR^2\omega_f ^2$
uguagliando le energie meccaniche otterrei $omega_f = sqrt(((m+M)g+3/4MR^2\omega_i ^2+1/8mR^2\omega_i ^2)/(3/4MR^2\omega_f ^2+1/8mR^2))$ e di conseguenza dalla formula $\vec v = \omega * R rarr \vec v_f=R*sqrt(((m+M)g+3/4MR^2\omega_i ^2+1/8mR^2\omega_i ^2)/(3/4MR^2\omega_f ^2+1/8mR^2))$
è corretto? e il secondo punto, come si calcola in un esercizio così l'entropia?
Risposte
"Peppermint":
...l'urto è anelastico e quindi si conserva la quantità di moto...
Dato che il sistema, dopo l'urto, ha un solo grado di libertà, è necessaria una sola equazione che esprima la conservazione di una qualche grandezza fisica. Essendo l'urto totalmente anelastico, non si può giustamente trattare dell'energia cinetica. Restano la quantità di moto oppure il momento angolare rispetto a un qualche polo. Hai fatto la scelta sbagliata.
"Peppermint":
...questa è quindi anche la velocità del punto? O devo fare qualche altro passaggio?
Al netto dell'errore iniziale, per ricavare la velocità angolare dalla velocità del centro di massa del sistema, dovresti considerare la distanza di quest'ultimo dall'asse di rotazione, che non è certamente il raggio del disco. Inoltre, come può una velocità lineare essere uguale a una velocità angolare?
Insomma, limitatamente al primo punto, hai commesso $3$ errori piuttosto gravi.
"anonymous_0b37e9":
Restano la quantità di moto oppure il momento angolare rispetto a un qualche polo. Hai fatto la scelta sbagliata.
Allora, procediamo con calma..
scegliendo il momento angolare ottengo $m*v*R=m*v_1*R+I_0*\omega$ da cui ricavo $v_1=sqrt(2gR)-(1/2*M*R)/m *\omega$
che è la velocità del punto dopo l'urto giusto?
"Peppermint":
...scegliendo il momento angolare...
Ok, ma dovresti comprenderne il motivo. Viceversa, non saprai mai quale equazione impostare.
"Peppermint":
$[mvR=mv_1R+I_0\omega] rarr [v_1=sqrt(2gR)-(1/2MR)/m\omega]$
Sei sulla strada giusta. Tuttavia, come scritto in precedenza, il sistema, dopo l'urto, ha un solo grado di libertà. Invece, nella tua equazione compaiono due incognite, $[v_1]$ e $[\omega]$. Ergo, deve esistere una relazione di carattere cinematico che ti permetta di esprimere una in funzione dell'altra, $[v_1=\omegaR]$, visto che il punto materiale è rigidamente collegato al disco. Insomma, sarebbe stato meglio, partendo da questo semplice presupposto, impostare la seguente equazione:
$[mvR=(mR^2+1/2MR^2)\omega] rarr [\omega=(mv)/(mR+1/2MR)=(2m)/(2m+M)v/R]$
considerando il momento d'inerzia complessivo del sistema. A questo punto, non dovresti avere alcuna difficoltà nel determinare la velocità del punto materiale dopo l'urto.
"anonymous_0b37e9":
Ok, ma dovresti comprenderne il motivo. Viceversa, non saprai mai quale equazione impostare.
direi
- urto elastico -> si conserva l'energia cinetica
- urto anelastico direi che si conservano la quantità di moto (se ho solo forze interne o non impulsive) e il momento angolare
quindi in questo caso io non posso usare la legge di conservazione della quantità di moto perchè il vincolo del disco mi crea una forza impulsiva durante l'urto.. giusto? (ti prego dimmi che ho capito!
)ora che ho la velocità del punto attaccato al disco, per conoscere la velocità del punto dopo che si stacca, dato che non sto piu trattando urti elastici o meno visto che si stacca solamente posso usare la legge di conservazione dell'energia cinetica (o della quantità di moto), giusto?
"Peppermint":
...in questo caso non posso usare la legge di conservazione della quantità di moto perchè...
Ok. Per il resto, sarebbe troppo impegnativo fare uno schema che comprenda le strategie per affrontare un qualsiasi esercizio.
"Peppermint":
...ora che ho la velocità del punto attaccato al disco...
Spero che tu intenda $[v_1=\omegaR=(2m)/(2m+M)v]$.
"Peppermint":
...per conoscere la velocità del punto dopo che si stacca...
Dopo aver conservato l'energia meccanica tra la configurazione iniziale, quella che si ha in corrispondenza dell'urto, e la configurazione finale, quella che si ha "un momento prima del distacco", nulla cambia "un momento dopo il distacco".
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