[Fisica Generale] GRAVITAZIONE

[SaraSueEss]

Ciao, ho provato a risolvere questo esercizio ma non sono riuscita a fare gran che, ecco la traccia:
Si ha un sistema di due masse che ruotano una attorno all'altra a distanza costante $D$, con massa totale $M$, e periodo di rotazione $T$. Si vuole conoscere $D$ in funzione di $T$ ed $M$. Si suppongano orbite circolari.

L'unica cosa che sono riuscita a fare è:
$m_1=m$
$m_2=M-m$
$F=-frac{Gm(M-m)}{D^2}$

Vi rimgrazio in anticipo

[Spremiagrumi1]

Le masse possono essere generalmente diverse, chiamiamole $m_1$ ed $m_2$, queste masse ruoteranno attorno ad un comune centro di massa. La distanza del centro di massa dalla prima e dalla seconda sarà rispettivamente $a_1$ e $a_2$ mentre $D=a_1+a_2$. Dato che percorrono orbite circolari abbiamo la relazione ($i=1,2)$ per la velocità
$v_i=(2pia_i)/T$

Adesso possiamo scrivere la forza ed eguagliarla alla forza centripeta.
$m_i/a_i((2pia_i)/T)^2=G(m_1m_2)/d^2$
quindi
$a_i=G(m_1m_2)/D^2T^2/(m_i 4pi^2)$
ancora
$a_1=Gm_2/(4pi^2D^2)T^2$
$a_2=Gm_1/(4pi^2D^2)T^2$
Sommando le due relazioni
$D=a_1+a_2=GT^2(m_1+m_2)/(4pi^2D^2)$
Ultimo passaggio:
$A^3=GM/(4pi^2)T$
che riconoscerai come la terza legge di Keplero.

Forse ci sono modi anche più semplici per ottenerla, sicuramente ce ne sono di più difficili (non troppo) e completi perché non è sempre vero che dei corpi seguono delle orbite circolari, ma sono in generale delle coniche.

[SaraSueEss]

Grazie mille!