Fisica, esercizio sui corpi rigidi, equilibrio.

[Ame1992]

Ciao a tutti sono nuovo su questo forum, e chiedo scusa in anticipo per eventuali errori o "inchiarezze". Volevo proporvi questo esercizio. Ho due aste di lunghezza l e massa m imperniate al loro estremo comune (che è il vertice superiore di un triangolo equilatero). Poggiano su un piano senza attrito e i baricentri di queste aste sono uniti tra loro da una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo nulla. Bisogna dire se si tratta di equilibrio stabile o instabile.

Credo che si debba trovare l'energia del sistema per poi farne la derivata seconda e verificare se è maggiore o minore di 0 (ovvero se l'equilibrio è stabile o instabile).

Il problema è che non riesco a trovare la "funzione" che devo derivare due volte.. Vi Ringrazio per eventuali aiuti!!

[Sk_Anonymous]

Si può indicare con $[theta]$ la metà dell'angolo al vertice del triangolo isoscele, non equilatero:

$[0<=theta<=pi/2] rarr [U(theta)=mglcostheta+1/2kl^2sen^2theta]$

$[U'(theta)=-mglsentheta+kl^2senthetacostheta] rarr [U'(theta)=lsentheta(-mg+klcostheta)] rarr$

$rarr [sentheta=0] vv [costheta=(mg)/(kl)] rarr [theta_1=0] vv [theta_2=arccos((mg)/(kl))]$

Considerando la soluzione $[theta_2=arccos((mg)/(kl))]$, accettabile se e solo se $[(mg)/(kl)<1]$:

$[U''(theta)=-mglcostheta+kl^2cos^2theta-kl^2sen^2theta=-mglcostheta+2kl^2cos^2theta-kl^2] rarr$

$rarr [U''(theta_2)=-mglcostheta_2+2kl^2cos^2theta_2-kl^2] rarr [U''(theta_2)=-(m^2g^2)/k+(2m^2g^2)/k-kl^2] rarr$

$rarr [U''(theta_2)=(m^2g^2)/k-kl^2] rarr [U''(theta_2)=kl^2((m^2g^2)/(k^2l^2)-1)]$

Poichè vale la seguente implicazione:

$[(mg)/(kl)<1] rarr [(m^2g^2)/(k^2l^2)<1] rarr [U''(theta_2)<0]$

si può concludere che $[theta_2=arccos((mg)/(kl))]$, quando esiste, risulta sempre di equilibrio instabile. Se il problema richiede esplicitamente che questa posizione di equilibrio si abbia quando il triangolo è equilatero, allora deve valere la seguente relazione:

$[theta_2=pi/6] rarr [costheta_2=sqrt3/2] rarr [(mg)/(kl)=sqrt3/2]$

[Ame1992]

Grazie mille, molto preciso e chiaro!